本文作为微分几何之下：Maxwell方程组的补充，粗略地不严格介绍其中用到的一些微分几何。

数学补充1：微分形式

除了向量外，我们也可以考虑微分形式这一几何对象。这里作一个极其粗略的不严格介绍，供参考。

我们熟悉的函数微分就可以看作是1形式，引入坐标的话，可以写出\mathrm df=\sum\frac{\partial f}{\partial x^i}\mathrm dx^i。这里的各x坐标我们采用了上标来标序号，好处在于我们可以使用Einstein求和约定来简化记号。这个约定是说如果一个序号在上下标同时出现，那么我们可以省略求和号。如果把分母也看作是一种下标的话，函数微分就可以简单地写成\mathrm df=\frac{\partial f}{\partial x^i}\mathrm dx^i了。这种记号约定或许一开始让人难以适应，但由于其带来的便利还是值得适应的。

将1形式进行“相乘”，可以得到2形式，这种乘法叫楔积(wedge product)。约定反交换律：\mathrm dx^i\wedge\mathrm dx^j=-\mathrm dx^j\wedge\mathrm dx^i；令i=j知\mathrm dx^i\wedge\mathrm dx^i=0。楔积有结合律。一般地，k形式可写为\omega=\omega _ {i _ 1\dots i _ k}\mathrm dx^{i _ 1}\wedge\dots\wedge\mathrm dx^{i _ k}。

对k形式作“外导数”，得到一个(k+1)形式。如果\omega=\omega _ {i _ 1\dots i _ k}\mathrm dx^{i _ 1}\wedge\dots\wedge\mathrm dx^{i _ k}，那么其外导数是
\begin{aligned}\mathrm d\omega&=\mathrm d\omega _ {i _ 1\dots i _ k}\wedge\mathrm dx^{i _ 1}\wedge\dots\wedge\mathrm dx^{i _ k}\\&=\frac{\partial\omega _ {i _ 1\dots i _ k}}{\partial x^j}\mathrm dx^j\wedge\mathrm dx^{i _ 1}\wedge\dots\wedge\mathrm dx^{i _ k}.\end{aligned}
一个函数则看作是0形式。可以发现一个0形式f的外导数\mathrm df=\frac{\partial f}{\partial x^i}\mathrm dx^i很好地表示了梯度\nabla f。

如果是1形式\omega=\omega _ x\mathrm dx+\omega _ y\mathrm dy+\omega _ z\mathrm dz，经过计算，外导数为
\begin{aligned}\mathrm d\omega&=\mathrm d\omega _ x\wedge\mathrm dx+\mathrm d\omega _ y\wedge\mathrm dy+\mathrm d\omega _ z\wedge\mathrm dz\\&=(\partial _ y\omega _ z-\partial _ z\omega _ y)\mathrm dy\wedge \mathrm dz+(\partial _ z\omega _ x-\partial _ x\omega _ z)\mathrm dz\wedge \mathrm dx+(\partial _ x\omega _ y-\partial _ y\omega _ x)\mathrm dx\wedge \mathrm dy.\end{aligned}可以发现\mathrm d\omega很好地表示了旋度。

如果是2形式\omega=\omega _ {xy}\mathrm dx\wedge \mathrm dy+\omega _ {yz}\mathrm dy\wedge \mathrm dz+\omega _ {zx}\mathrm dz\wedge \mathrm dx，外导数为
\mathrm d\omega=(\partial _ z\omega _ {xy}+\partial _ x\omega _ {yz}+\partial _ y\omega _ {zx})\mathrm dx\wedge \mathrm dy\wedge \mathrm dz.可以发现\mathrm d\omega很好地表示了散度。

以上表明，用微分形式，可以把梯度、散度、旋度统一为一个外导数的概念。

外导数的一个性质是\mathrm d\circ\mathrm d=0，即对一个微分形式作两次外导数得到0。

数学补充2：流形上的度规

在向量空间，长度、夹角等几何概念依赖于内积这一概念；在流形上，对应的概念是度规(metric)。（不了解流形的可以直接想成是\mathbb R^n。）本节进行一些较为粗略的介绍。值得一提的是虽然英文里都叫metric，但是和度量空间的度量(metric)并不等同，尽管它们是有一些联系的。

什么是度规？首先，和内积类似，它在流形的每个点p上都是一个对称双线性函数g _ p(X _ p,Y _ p)。其次，我们要求它表现不能太怪异：设X,Y都是随p光滑变化的，那么g _ p是随p光滑变化的函数。然后，要求在任意点p上它都不是退化的：函数v _ p\mapsto g _ p(v _ p,\cdot)是一个线性同构（即要求双射）；等价地说，对每个非零切向量v _ p都存在w _ p使得g _ p(v _ p,w _ p)\neq0（用术语来说，即g _ p(v _ p,\cdot)不是零泛函；虽然可以看出这是个单射的条件，但由于维数相同单射必是满射）。

正如内积可以让我们从一组基得到一组标准正交基，在每一点p，我们也可以找一组基(E _ i)使得g _ p(E _ i,E _ j)=0（当i\neq j）、g _ p(E _ i,E _ i)=\pm1。可以证明g _ p(E _ i,E _ i)的正负符号数并不依赖基的选取，假设有r正s负，那么我们说g _ p有符号差(r,s)。数学上据称可以证明光滑流形每个连通的部分都有相同的符号差。

我们主要讨论在整个流形上符号差不变的情形。设流形是n维，如果g满足对任意p总有g _ p符号差为(n,0)，那么g _ p正定，是个内积，我们称g是Riemann度规，如果符号差总是(1,n-1)，那么称g是Lorentz度规。（也有的约定(n-1,1)的符号差叫Lorentz度规，不同领域习惯不同。）流形配备对应的度规叫Riemann流形、Lorentz流形。

例如，Minkowski时空配备了符号差为(1,3)的Minkowski度规：
g(v,w)=v^tw^t-v^xw^x-v^yw^y-v^zw^z.
度规的非退化性自动提供了一个线性同构（双射）：X\mapsto g(X,\cdot)，在局部坐标(x^i)中，设X的各分量为X^i，可以证明
g(X,\cdot)=g _ {ij}X^i\mathrm dx^j.于是定义带下标的分量X _ j：
\begin{gathered}X _ j:=g _ {ij}X^i,\\g(X,\cdot)=X _ j\mathrm dx^j.\end{gathered}正因如此，这种操作称作是对X降指标(lowering an index)得到g(X,\cdot)。音乐中，降调用 \flat (flat)表示，因此记
X^\flat:=g(X,\cdot)=(g _ {ij}X^j)\mathrm dx^i.
另一方面，由于是双射，每一点上逆映射存在，其矩阵就是(g _ {ij}) _ {n\times n}的逆，我们记为(g^{ij}) _ {n\times n}。这也是个对称矩阵。在局部坐标中，设\omega=\omega _ j\mathrm dx^j，那么类似地有
\begin{gathered}\omega^i:=g^{ij}\omega _ j,\\\omega^{\sharp}:=\omega^i\frac{\partial}{\partial x^i}=(g^{ij}\omega _ j)\frac{\partial}{\partial x^i}.\end{gathered}这种操作称作是对\omega升指标(raising an index)。这种记号是因为在音乐中，升调用 \sharp (sharp)表示。

数学补充3：Hodge星算子

在n维流形中，Hodge星算子把p形式变为(n-p)形式。这里不打算过多介绍该算子，仅通过一些简单计算表明其机理。

在三维空间\mathbb R^3中，设右手系为正向，取基\mathrm dx,\mathrm dy,\mathrm dz，则
\begin{gathered}\star\mathrm dx=\mathrm dy\wedge\mathrm dz,\quad\star\mathrm dy=\mathrm dz\wedge\mathrm dx,\quad\star\mathrm dz=\mathrm dx\wedge\mathrm dy,\\\star\mathrm dy\wedge\mathrm dz=\mathrm dx,\quad\star\mathrm dz\wedge\mathrm dx=\mathrm dy,\quad\star\mathrm dx\wedge\mathrm dy=\mathrm dz,\\\star1=\mathrm dx\wedge\mathrm dy\wedge\mathrm dz,\quad \star\mathrm dx\wedge\mathrm dy\wedge\mathrm dz=1.\end{gathered}Hodge星算子是线性映射，因此从上式可推出所有形式的对偶（\star\omega称作\omega的对偶）。

可以发现此时Hodge星算子复合是恒等映射：
\star^2=\mathbf1.
现在考虑四维的正定向的Minkowski空间，主要看2形式间的对偶和3形式的对偶。设局部坐标下的基\mathrm dt,\mathrm dx,\mathrm dy,\mathrm dz，那么
\begin{gathered}\star(\mathrm dt\wedge\mathrm dx)=-\mathrm dy\wedge\mathrm dz,\quad\star(\mathrm dt\wedge\mathrm dy)=-\mathrm dz\wedge\mathrm dx,\quad\star(\mathrm dt\wedge\mathrm dz)=-\mathrm dx\wedge\mathrm dy,\\\star(\mathrm dx\wedge\mathrm dy)=\mathrm dt\wedge\mathrm dz,\quad\star(\mathrm dy\wedge\mathrm dz)=\mathrm dt\wedge\mathrm dx,\quad\star(\mathrm dz\wedge\mathrm dx)=\mathrm dt\wedge\mathrm dy.\end{gathered}此时
\star^2=-\mathbf 1.对于3形式，
\star(\mathrm dt\wedge\mathrm dx\wedge\mathrm dy)=\mathrm dz,\quad \star(\mathrm dt\wedge\mathrm dx\wedge\mathrm dz)=-\mathrm dy,\\\star(\mathrm dt\wedge\mathrm dy\wedge\mathrm dz)=\mathrm dx,\quad \star(\mathrm dx\wedge\mathrm dy\wedge\mathrm dz)=\mathrm dt.此时\star^2=1，可由此推出1形式的对偶，此处为了省事就省略不写了。

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考虑电磁场2形式F=B+E\wedge\mathrm dt，矩阵为
\begin{bmatrix}0&-E _ x&-E _ y&-E _ z\\E _ x&0&B _ z&-B _ y\\E _ y&-B _ z&0&B _ x\\E _ z&B _ y&-B _ x&0\end{bmatrix}.那么，\star F的对应矩阵就是
\begin{bmatrix}0&B _ x&B _ y&B _ z\\-B _ x&0&E _ z&-E _ y\\-B _ y&-E _ z&0&E _ x\\-B _ z&E _ y&-E _ x&0\end{bmatrix}.可以看到对F作Hodge对偶，相当于作代换
B\leftarrow E,\quad E\leftarrow -B.