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数论与群的结构
下面利用数量关系分析群的结构。
p群
p群(p-group)是指阶数只有一个质因子p的群。这种群不难分析它的一些性质。
命题：p群G的中心Z（可与任意群元素交换的元素构成的集合）不是平凡群。
定理：设p群G作用于有限集S，若p\nmid|S|，那么群作用有一个不动点，即S有一个元素的稳定子是整个群G。
命题：p^2阶群都是Abel群。
推论：p^2阶群是循环群或是两p阶循环群的积。
逐一来看。回顾前面，我们已有x\in Z\iff Z(x)=G\iff C(x)=\{x\}。考察共轭类方程，右边|C _ 1|+|C _ 2|+\dots+|C _ k|的每一项都整除群的阶数，因而都是p的幂。如果中心是平凡群，那么只有|C _ 1|=1，其余项都是正幂次，从而右边模p的余数是1，矛盾。
类似地，对于群作用，考察轨道划分方程|S|=|O _ 1|+|O _ 2|+\cdots+|O _ k|，轨道阶数整除群阶数，因而是p的幂，由于左边不被p整除，右边不可能全是正幂次，不妨设|O _ 1|=1，这个所含的就是群作用的不动点。
现在考虑p^2阶群G。我们已经知道其中心Z不是平凡群，那么其阶数是p或p^2，如果是p^2那么Z=G，立知G是Abel群。如果是p，取x\notin Z，那么Z(x)\neq G，另一方面，作为子群，|Z(x)|整除|G|，而且包含x和Z，阶数必比p大，从而|Z(x)|=p^2=|G|，Z(x)=G，矛盾，因而这种情况不可能。
再证G是循环群或是两p阶循环群的积。如果有一个阶数是p^2的元素，那么G是循环群。否则，每个非单位元素都是p为阶数。取非单位元素x,y，满足y\notin\langle x\rangle。回顾乘积群，\langle x\rangle\times\langle y\rangle同构于G的充要条件是\langle x\rangle\cap\langle y\rangle=\{1\}，\{x^my^n\mid m,n\in\mathbb N\}=G，且\langle x\rangle,\langle y\rangle都是G正规子群。前面两点不难看出，最后一点是因为Abel群的子群都是正规的。
p^2阶群是结构比较简单的，但对于阶数幂次较大的p群，同构类的数量会增长迅速。查阅可知，2^n阶群的同构类当n=3,4,5时，分别有5,14,51。
Sylow定理
Sylow定理描述的是任意有限群G的p子群（阶数是p的幂的子群）的性质。
设|G|=n，取n的质因子p，设n=p^em，其中p不整除m。如果G的一个子群阶数恰为p^e，那么这种叫做Sylow p子群。现在来叙述并证明Sylow定理。
定理（第一Sylow定理）：Sylow p群存在。
推论：G包含一个p阶的元素。
定理（第二Sylow定理）：
- G的所有Sylow p子群相互共轭。
- G的p子群包含于一个Sylow p子群。
推论：G只有一个Sylow p子群，当且仅当该子群是正规的。
定理（第三Sylow定理）：设s是Sylow p子群的个数，那么s\mathbin|m，而且还有s\equiv 1\, (\operatorname{mod}p)，即s=kp+1。
先来证简单的推论。取一个Sylow p子群中的非单位元素x，其阶数整除p^e，设为p^k>1，那么x^{p^{k-1}}的阶数为p，第一个推论得证。第二个推论是显然的。
证明定理前，先证两个引理。
引理：设U是一个群G的子集。考察子集上的群作用，U的稳定子的阶数整除|U|与|G|。
引理：p\nmid\binom n{p^e}。
稳定子作为子群其阶数当然整除|G|。设U稳定子为H，那么对每一h\in H，hU=U，也就是HU=U，这表明U可以划分为一些陪集Hu的并，每个陪集阶都是|H|，从而|U|是|H|的倍数。
对于\binom{n}{p^e}=n(n-1)\cdots(n-p^e+1)\mathbin/[p^e(p^e-1)\cdots1]，分子的每一项(n-k)都对应分母的一项(p^e-k)，它们质因数分解中p的幂次指数都相同（取决于k的p幂次指数）。因此分子/分母的结果的p幂次指数为0。
现在证明Sylow第一定理。对G的所有p^e阶的子集，可以证明有一个是Sylow子群。考虑G在这些子集的集族\mathcal S上的群作用，写出轨道划分公式|\mathcal S|=\sum _ i|O _ i|。由引理，|\mathcal S|=\binom n{p^e}不被p整除。这表明至少有一个轨道的阶数不被p整除，设是子集U的轨道，又设U的稳定子是H。由引理，|H|整除|U|=p^e，从而是p的幂次。由轨道-稳定子定理，|H|\cdot|O _ U|=|G|=p^em，而|O _ U|不被p整除，所以|O _ U|=m、|H|=p^e。这就证明了第一定理。
接着是第二定理。现在已经知道至少有一个Sylow p子群H存在。考察G在H的陪集（形如aH，a\in G）上的群作用，H的陪集个数有[G:H]=|G|/|H|=m个。在前面讨论这种陪集上的群作用时，提及过这个群作用是传递的，而且H的稳定子恰为H。
设K是G的一个p子群，考虑K作用在陪集上。前面的不动点定理是说p群作用在一个阶数不被p整除的集合上时，必存在一个群作用不动点。现在陪集个数m不被p整除，于是有一个陪集[H']是K的作用的不动点。G的作用是传递的，表明有某g\in G使得[H']=g[H]。在讨论稳定子时，证明过命题：设a\in G，那么s'=as的稳定子是G _ s的共轭子群aG _ sa^{-1}。应用到这里，[H']的稳定子是g[H]g^{-1}，[H']是K的作用的不动点，故K \subseteq gHg^{-1}。
H是Sylow p子群，那么gHg^{-1}也是Sylow p子群，这证明了定理第二部分。如果K也是Sylow p子群，那么K=gHg^{-1}，即K,H共轭，这证明了定理第一部分。
最后看第三定理。第二定理表明p^e阶子群的集族\mathcal S上的群共轭作用是传递的。设H是一个Sylow p子群，回顾：我们前面定义过共轭作用的稳定子，叫正规子，设H的正规子是N=N(H)，那么H是N的正规子群。群作用是传递的说明H的轨道是整个\mathcal S，从而s=|\mathcal S|=|G|/|N|=|G|/|H|\cdot|H|/|N|=m/[N:H]，所以，s\mathbin| m。
然后，考虑群H共轭作用在\mathcal S上，这将\mathcal S划分为若干轨道。[H]的轨道只有自己，轨道阶数为1。所有轨道的阶数整除|H|=p^e，从而是p的幂，因而要证s\equiv1模p，考虑证除了[H]其它的轨道阶数都大于1，如果[H']\in\mathcal S满足\{hH'h^{-1}\mid h\in H\}=H'，那么需要证H'=H。设H'是满足这条件的Sylow p子群，那么H\subseteq N(H')=:N'。这样H,H'都是N'的Sylow p子群。第二定理表明它们都是N'的共轭子群。H'是N'的正规子群。所以，H'=H。这就证明了第三定理。
合数阶的群
Sylow定理为我们提供了分析群的结构的有力工具。下面对一些阶数为合数的群分析结构，可以看到如果阶数的质因数分解并不简单时，群的结构分析将变得复杂起来。
要考虑的比较典型的群是：15阶群、6阶群、21阶群、12阶群。
定理：
- 15阶群都是循环群。
- 6阶群同构类有循环群C _ 6和对称群S _ 3。
- 21阶群同构类有循环群C _ {21}和\langle x,y\mid x^7=1,\, y^3=1,\, yx=x^2y\rangle，后面的符号表示由满足右边三个关系的x,y生成的群。
- 12阶群同构类有5种：
- 循环群的积C _ 4\times C _ 3；
- 循环群的积C _ 2\times C _ 2\times C _ 3；
- 交错群A _ 4；
- 二面体群D _ 6；
- \langle x,y\mid x^4=1,\, y^3=1,\, xy=y^2x\rangle。
15阶群
设G是15阶群，考虑Sylow 3子群的数量，由Sylow第三定理，这个数整除5且模3余1，只能是1。这表明G只有一个Sylow 3子群H，从而也是正规子群。同样，G也只有一个Sylow 5子群K，也是正规子群。H,K分别是三阶、五阶循环群。回顾乘积群，H\times K同构于G充要条件是H\cap K=\{1\}、HK=G且H,K都是G正规子群。这些条件都满足，所以任一15阶群彼此同构且同构于C _ 3\times C _ 5，C _ {15}也在其中，所以所有15阶群都是循环群。
6阶群
设G是6阶群，考虑Sylow 3子群的数量，由Sylow第三定理，这个数整除2且模3余1，只能是1。这表明G只有一个Sylow 3子群H，从而也是正规子群。考虑Sylow 2子群的数量，这个数整除3且模2余1，所以是1或3。如果是1，设Sylow 2子群是K，那么类似上面，G同构于H\times K，又因为有如下命题，第一种情况就搞清楚了。
命题：设r,s是互质正整数，rs阶循环群同构于r阶循环群和s阶循环群的积。
对于第二种情况，G有三个Sylow 2子群，设为K _ 1,K _ 2,K _ 3。考察G在\mathcal S=\{K _ 1,K _ 2,K _ 3\}上的共轭作用。回顾群作用的置换表示，我们有一个群同态\varphi:G\to S _ 3，可以证明这是个同构。由Sylow第二定理，共轭作用是传递的，所以K _ i的稳定子，也就是K _ i的正规化子N(K _ i)，阶数是2（轨道-稳定子定理），从而就是K _ i。由于K _ i两两交于平凡群，可知只有1表示的置换是恒等置换，前面证明过这样的群作用是忠实的，置换表示是单射。因为S _ 3也是6阶群，\varphi:G\to S _ 3是同构。
21阶群
设G是21阶群。利用Sylow第三定理，Sylow 7子群的数量是1，这是个正规子群且是循环群，记为K=\langle x\rangle。Sylow 3子群的数量是1或7，设H=\langle y\rangle是一个Sylow 3子群。显然H\cap K=\{1\}，在讨论乘积群时已经知道这表明(h,k)\mapsto hk是单射，进而可知是双射。因此G=\{x^iy^j\mid 0\leqslant i<7,\, 0\leqslant j<3\}。
由于K正规，yxy^{-1}\in K，设yxy^{-1}=x^i，那么现在已有
x^7=1,\, y^3=1,\, yx=x^iy.这三个关系已足以把群确定下来。但也可以进一步分析缩减i的可能。利用yx^i=x^iyx^{i-1}=\dots=x^{i^2}y，可知
x=y^3xy^{-3}=y^2x^iy^{-2}=yx^{i^2}y^{-1}=x^{i^3}\implies i^3\equiv 1\, (\operatorname{mod}7).i的可能是1,2,4。如果yxy^{-1}=x，则x,y可交换，那么H\times K\to G是同态，由于是双射进而是同构。可知，G是21阶循环群。如果yxy^{-1}=x^4，那么y^2xy^{-2}=x^2，y^2也是阶数3，这情况化归为i=2。如果yxy^{-1}=x^2，考虑\mathbb F _ 7上的矩阵
x=\begin{bmatrix}1&1\\&1\end{bmatrix},\quad y=\begin{bmatrix}2&\\&1\end{bmatrix}.它们生成一个21阶群，说明这样的群确实存在。
12阶群
设G是12阶群。Sylow第一定理表明存在Sylow 2子群H使|H|=4以及存在Sylow 3子群K\cong C _ 3。四阶群前面已经讨论过，H\cong C _ 4或Klein四群C _ 2\times C _ 2。利用Sylow第三定理，Sylow 2子群数量是1或3，Sylow 3子群数量是1或4。
由于H\cap K=\{1\}，可知H\times K\to G是双射，就是说G=\{hk\mid h\in H,\, k\in K\}。
情况1：H,K都是正规子群。此时G同构于H\times K，从而
G\cong C _ 4\times C _ 3,\quad/\quad G\cong C _ 2\times C _ 2\times C _ 3.情况2：K不正规。则Sylow 3子群有4个，设为K _ 1,K _ 2,K _ 3,K _ 4，它们两两交于平凡群，从而|\bigcup _ i K _ i|=9，有3个元素不在任一K _ i中。而H\cap K _ i=\{1\}，于是H就是由1和不在所有K _ i的3个元素组成。只有一个Sylow 2子群，从而H正规。
考察G在\{K _ 1,K _ 2,K _ 3,K _ 4\}上的共轭作用，其置换表示给出一个群同态\varphi:G\to S _ 4。可以证明\varphi是G到交错群A _ 4上的同构。类似6阶群的第二种情况，可知\varphi是单射，G同构于\varphi(G)。G有8个阶数为3的元素，它们是诸K _ i的并集中的非单位元素。这些元素的像对应S _ 4中的三循环，S _ 4的三循环有8个，因而都是\varphi的像。而对于交错群的结构，在前面讨论群的共轭作用时，已经证明过A _ n可由三循环生成，故\varphi(G)包含A _ 4。又|G|=|A _ 4|，可知\varphi(G)=A _ 4。
情况3：K是正规子群；H不正规，从而Sylow 2子群有3个。K正规，可令H共轭作用在K=\{1,y,y^2\}上。H不是正规子群，则必存在x\in H使yxy^{-1}\neq x，那么xyx^{-1}\neq y，只能xyx^{-1}=y^2。接下来讨论H是C _ 4或C _ 2\times C _ 2的两种情况。
- 情况3(1)：设H是四阶循环群。G由满足x^4=1，y^3=1及xy=y^2x的x,y生成，这三个关系完全确定了G，也就是这种情况只有一种同构类。这样的G存在：设\omega=\mathrm e^{2\pi\mathrm i/3}，令
x=\begin{bmatrix}&-1\\1&\end{bmatrix},\quad y=\begin{bmatrix}\omega&\\&\omega^2\end{bmatrix}. 可以验证此时的G是12阶群。 -
情况3(2)：设H\cong C _ 2\times C _ 2。对于H在K上的共轭作用，考察y的稳定子，轨道阶为2，故稳定子阶为2，所以存在z\in H使得zyz^{-1}=y。讨论Klein四群时已经知道它是Abel群，所以有xz=zx。从而得知G由满足下述关系的x,y,z生成：
x^2=1,\, y^3=1,\, z^2=1,\, yz=zy,\, xz=zx,\, xy=y^2x. 这种情况也只有一种同构类。二面体群D _ 6不属于前面任意一种情况，因而属于这种情况。G\cong D _ 6。
自由群、生成元
本节讨论生成群的生成元(generator)和关系(relation)。先看只有生成元、满足最少的关系的群，叫自由群。
自由群
定义：一个群元素的集合如果里面的元素只要求满足群公理蕴含的关系，那么叫做是自由的。如果一个群有一个自由的生成元的子集，那么叫自由群。
为了描述一个自由群，取一个集合S=\{a,b,c,\cdots\}，其中元素叫做”字“，再定义一个”拼接“运算，如a,b的运算结果是ab。把这种由有限个字拼接起来的叫做”词“。设W为词的集合，那么拼接运算满足结合律。再引入一个”空词“1，和任意词的拼接都是本身。为了成为群还需要有逆元，令S'为包含了逆元的字的集合：S'=\{a,a^{-1},b,b^{-1},\dots\}，对应的词的集合为W'。定义字和逆元的运算结果是1：设x\in S， 那么xx^{-1}=x^{-1}x=1。一个词可以通过这种方式约化，如果已经约化到最简形式，那么称为约化形式。设w\in W'，从可以通过有限次约化后变为约化形式w _ 0。或许有多种约化方式，但下面命题表明最后得到的结果都是一样的。用归纳法不难证明。
命题：一个给定的词只有唯一的约化形式。
这样对于一个词可以只考虑它的约化形式，在以上构造下，我们就得到了一个群。
命题：约化形式的词构成的集合以拼接运算作为群运算是一个群。上述记号下，称作S上的自由群。
生成元和关系
通常遇到的群不会那么”自由“，会有一些关系relation作为约束。
定义：群G中x _ 1,\dots,x _ n上的一个关系relation是指它们生成的自由群中的一个词r，且在G中取值为1。写出来就是r=1，通常会简单写作r。
引理：设R是群G的子集，那么存在唯一的正规子群N，使R\subseteq N，叫做R生成的正规子群。也就是说，如果一个正规子群包含R，那么也包含N。显然，N是由R中元素进行有限次乘法、取逆、共轭所得结果所构成的集合。
N也可以有另一种表示。令R'=R\cup\{r^{-1}\mid r\in R\}，S=\{gr'g^{-1}\mid r'\in R',\, g\in G\}，那么N是由有限个S中元素的乘积构成的集合（记为N'，意即N=N'）。任取s _ 1s _ 2\dots s _ n\in N'，按定义其属于N，有N'\subseteq N。另一方面N'不难看出是正规子群，因此N\subseteq N'。所以N=N'。
对于空集，其生成的是平凡群\{1\}。
定义：设F是集合S=\{x _ 1,\dots,x _ n\}上的自由群，R=\{r _ 1,\dots,r _ k\}是F中元素表达的一些关系。商群\mathcal G=F/\mathcal R称作是S用这些关系生成的群，其中\mathcal R是F的由R生成的正规子群。符号上也记作
\mathcal G=\langle x _ 1,\dots,x _ n\mid r _ 1,\dots,r _ k\rangle.
回顾商群，用商群进行定义，那么就给出了一个典则的同态
\begin{aligned}
\pi:F&\to\mathcal G,\\
w&\mapsto \overline w=w\mathcal R.
\end{aligned}习惯上，词w的像也记作w\in\mathcal G，而不是上面的\overline w。
因为F中的关系r _ i\in\mathcal R，\pi是同态，从而不难看出在\mathcal G中有r _ i=1。R越大，\mathcal G的约束就越多，极端情形是\mathcal R=F，\mathcal G变为了平凡群。平凡群中任何关系都成立。
可以证明，每个群都是自由群的商群。为此先看两个命题。
命题（自由群的映射性质）：设F是集合S=\{a,b,\dots\}上的自由群，G是另一群，f:S\to G是一个映射。那么，f可以唯一地扩张为一个群同态\varphi: F\to G。
命题（商群的映射性质）：设\varphi:G'\to G是一个群同态，K是其核，N是包含在K中的一个正规子群。令\overline{G'}=G'/N，\pi:G'\to \overline {G'}是其典则映射，即a\mapsto \pi(a)=\overline a。定义映射
\begin{aligned}
\overline\varphi:\overline{G'}&\to G,\\
\overline a&\mapsto\overline\varphi(\overline a)=\varphi(a).
\end{aligned}N\subseteq K是正规子群表明映射良定。这还是一个群同态，且满足\varphi=\overline \varphi\circ\pi。
\begin{array}{ccccc}
G'&-&\overset{\varphi}{-}&\rightarrow&G\\
&\underset{\smash\pi}{\searrow}&&\underset{\smash{\overline\varphi}}{\nearrow}&\\
&&\smash{\overline{G'}}&&
\end{array}这个性质推广了前面讨论商群时所叙述的同构基本定理。把它应用到生成元和关系定义的商群上，就有如下推论。
推论：设S=\{x _ 1,\dots,x _ n\}是群G的一个子集，F是S上的自由群，R=\{r _ 1,\dots,r _ k\}是F中元素表示的G的一些关系，\mathcal R是F的由R生成的正规子群，\mathcal G=F/\mathcal R=\langle x _ 1,\dots,x _ n\mid r _ 1,\dots,r _ k\rangle。那么，
- 有一个典则同态\psi；\mathcal G\to G使x _ i\mapsto x _ i；
- \psi是满射当且仅当S生成G；
- \psi是单射当且仅当所有S元素的关系都在\mathcal R中。
首先，由自由群的映射性质，映射S\hookrightarrow G（即x _ i\mapsto x _ i）可以扩张为一个群同态\varphi:F\to G。R中元素是G的关系，每个在G中都是1，这表明R\subseteq \ker\varphi，核是正规子群，所以\mathcal R\subseteq \ker\varphi。利用商群的映射性质，就有一个同态\overline\varphi:\mathcal G\to G，这就是要找的\psi。它满足\varphi=\psi\circ\pi。
然后，由于\pi是满射，有\operatorname{im}\psi=\operatorname{im}\varphi。\psi是满射即\varphi是满射，即任意g\in G可写成g=\varphi(w)，w\in F，将词w的字的形式写出来，利用\varphi是同态且对每个字s都有\varphi(s)=s，可知这即为S生成G。
最后，群同态\psi是单射即\ker\psi是平凡群。设x\mathcal R\in\ker\psi，这等价于\varphi(x)=1，即x\in\ker\varphi。\ker\psi是平凡群，当且仅当\ker\psi中的x\mathcal R必有x\in\mathcal R，也就是说x\in\ker\varphi时必有x\in\mathcal R，此即\ker\varphi\subseteq\mathcal R。这意思就是S元素的所有关系都在\mathcal R中。
如果\psi是双射，那么R就是生成元S的一个完备关系集。
Todd-Coxeter算法
Todd-Coxeter算法可以用来确定有限群G在子群H的陪集上的作用。
设G,H被具体给出，G=\langle x _ 1,\dots,x _ m\mid r _ 1,\dots,r _ k\rangle，而H由\{h _ 1,\dots,h _ s\}生成。算法构建的是右陪集的群作用的表格。要确定这样的群作用，只需要四个条件：
- 生成元的群作用是一个置换；
- 关系的作用是平凡的：作用在陪集上结果不变；
- H的生成元作用在陪集[H]上结果不变；
- 作用是传递的。
先用这些条件来看一个实例。通常，陪集会以1,2,3,\dots进行标序，其中1代表的是陪集[H]。
例：设G=\langle x,y,z\mid x^3,y^2,z^2,xyz\rangle，而H是循环群\langle z\rangle。首先，条件3表明1\stackrel z\to1，这就把条件3的信息用完了，条件4只会隐性地用到，于是条件1,2是“主力军。
考察x对1的作用，我们需要一个新的2使得1\stackrel x\to2（其中2即Hx，但具体形式不重要）。考察x对2的作用，我们需要一个新的3使得2\stackrel x\to3。考察x对3的作用，由于x^3是一个关系，只能3\stackrel x\to1。通常，将x的作用写成如下的表格，同理y,z的表格也可以写，再写一个关系xyz对1的作用的表格。
\frac{x\quad x\quad x}{1\quad2\quad3\quad1}\qquad \frac{y\quad y}{1\quad 4\quad1}\qquad\frac{z\quad z}{1\quad1\quad1}\qquad\frac{x\quad y\quad z}{1\quad 2\quad\phantom{?}\quad1}由于z的群作用是一个置换（条件1），且第三个表格说明是保持1不变的置换，因而第四个表格缺失的是1。填进去后得知2\stackrel y\to1，从第二个表格可知4=2，现在表格可以进一步扩写。
\frac{x\quad x\quad x}{\begin{array}{cccc}1\quad2\quad3\quad1\\2\quad3\quad1\quad2\\3\quad1\quad2\quad3\end{array}}\qquad \frac{y\quad y}{\begin{array}{ccc}1\quad 2\quad1\\2\quad1\quad2\\3\quad\phantom{?}\quad3\end{array}}\qquad\frac{z\quad z}{\begin{array}{ccc}1\quad1\quad1\\2\quad\phantom{?}\quad2\\3\quad\phantom{?}\quad3\end{array}}\qquad\frac{x\quad y\quad z}{\begin{array}{cccc}1\quad 2\quad1\quad1\\2\quad3\quad\phantom{?}\quad2\\3\quad1\quad2\quad3\end{array}}第四个表格可看出2\stackrel z\to3，填入第三个表格知3\stackrel z\to2，从而第四个表格缺失的是3，有3\stackrel y\to3，第二个表格也确定了。
现在，可知
x=(123),\, y=(12),\, z=(23).
从这些表格，我们可以知道[G:H]，也就是用了多少个序号，上例中是3。由于z^2=1，z阶数是1或2，舍去1可知|H|=2。所以，|G|=3\cdot2=6。不难看出，G\cong S _ 3。
如果让H为平凡群，那么陪集就是群元素，最后确定的置换表示也就确定了群G。不过，这样做会需要大量的序号，工作量激增。
上面的例子中我们让H=\langle x _ i\rangle，而如果H是由一个词h生成的话，我们引入一个新的生成元u使得u^{-1}h=1（即u=h），G同构于G=\langle x _ 1,\dots,x _ m,u\mid r _ 1,\dots,r _ k,u^{-1}h\rangle。现在H=\langle u\rangle是由一个生成元生成的了。如果H有多个生成元，可以对每个都这么做。
下面不会对算法进行正式的介绍。因此，前面的四条件是否真的确定了群作用，暂时作为已知事实看待。可以问，算法是否会终止？回答是肯定的，但下面也不会证明。终止后，我们得到的置换也会是正确的群作用。
附：平面图形的对称
群论是描述对称的代数语言。对称在日常里是十分常见的现象，是群论的核心起源。抽象为群论，使得我们可以从数学的角度来看待对称，另一方面来说，对称也为抽象理论提供了丰富的具体实例。本节粗略讨论一些平面图形的对称性，重叙述轻证明，当证明过长时将会略过不证。
什么叫对称？如何与群论产生联系？粗略地说，如果一个对象进行一个对称的变换后还是自身，那么这个对象就是对称的。对称性的特点在于，它可以构成一个群。例如对称变换复合起来还是对称变换，因为对称变换保持对象不变，复合起来当然也不变。这样，对称性的群G里的任一对称变换，都使得对象S保持不变。这就导出了一个映射G\times S\to S，可以发现恰可以用群作用来描述。群作用不要求作用的结果和原来一模一样，是对称变换的一般化。
\mathbb C的复平面提供了一个对称的实例，它关于实轴轴对称，a+b\mathrm i\mapsto a-b\mathrm i给出了一个\mathbb C到\mathbb C的双射，一种镜面反射——\mathbb C变换后的结构是不变的。从代数的角度上来讲，“结构不变”指的是\bar a+\bar b=\overline{a+b}、\bar a\cdot \bar b=\overline{ab}，事实上共轭变换给出了\mathbb C上的一个自同构。代数的语言好处在于能描述一些没有几何直观的对称，例如考虑\mathbb Q(\sqrt 2)=\{a+b\sqrt2\mid a,b\in\mathbb Q\}，“共轭”a+b\sqrt2\mapsto a-b\sqrt2也是一个自同构，但我们一般不会几何上将这画出来。
这样，几何上的“对称”在代数上对应的是“自同构”。对称性构成一个群，而在代数上一个代数系统的自同构也构成一个群，其中的每个自同构都是这个代数系统的一种对称，在保持代数结构不变的情况下对所有元素进行“对称变换”。
对称的种类
下面主要考虑平面图形的对称。考虑如下几种对称：
- 轴对称。例如y=\cos x的图像是关于y轴对称的，进行变换(x,y)\mapsto (-x,y)，还是得到自身。
- 旋转对称。例如y=\sin x的图像是关于原点中心对称的，进行变换(r,\theta)\mapsto (r,\theta+\pi)，还是得到自身。
- 平移对称。三角函数的图像是有平移对称性的，进行变换(x,y)\mapsto(x+2\pi,y)，还是得到自身。
- 滑动对称。一种平移、镜像的”复合对称“，无论是平移+镜像还是镜像+平移都得到自身。例如y=\sin x，进行变换(x,y)\mapsto(x+\pi,-y)，那么还是得到自身。
这些对称可以统一起来定义。考虑\mathbb R^2的一个子集F，如果对它进行一个等距变换isometry，对应于物理上的刚体运动，如果变换后的结果也是F，那么这叫做F的一种对称。
为了看到对称的定义如何统一起来，下面分析等距变换isometry的结构。
等距变换
定义：一个映射\varphi:\mathbb R^n\to\mathbb R^n是等距变换，如果说总有|\varphi(u)-\varphi(v)|=|u-v|。
不加证明地给出如下定理。
定理：下述条件等价。
- \varphi是满足\varphi(0)=0的等距变换；
- \varphi保持点乘不变：\varphi(u)\cdot\varphi(v)\equiv u\cdot v；
- \varphi是线性变换，且是正交变换。
推论：\mathbb R^n上的等距变换是正交变换和平移变换的复合。设f是等距变换，那么f可以唯一写为t _ a\varphi的形式，其中a=f(0)，t _ a表示平移变换，\varphi是正交变换。
推论：不难验证，等距变换关于映射复合构成一个群，记为M _ n。
来证明第一个推论。令\varphi=t _ {-a}f，那么f=t _ a\varphi，只需证\varphi是正交变换。\varphi是等距变换的复合，因此是等距变换。而\varphi(0)=t _ {-a}(a)=0，由上述定理，\varphi是正交变换。唯一性也不难看出。
我们可以只关注等距变换里的非平移部分。记正交矩阵构成的正交群为O _ n，或\mathrm O(n,\mathbb R)，这是\mathrm{GL}(n,\mathbb R)的子群。设f=t _ a\varphi，那么定义
\begin{aligned}
\pi:M _ n&\to O _ n,\\
f&\mapsto\varphi=\pi(f).
\end{aligned}不难看出
命题：\pi是满射的同态。其核为平移变换\{t _ a\}，是M _ n的正规子群。
换系
设b=f(a)，其中f=t _ v\varphi是等距变换，在一坐标系下写成x _ b=g(x _ a)，我们进行（等距）换系：x _ a= h(x' _ {a})，x _ b= h(x' _ {b})，那么h(x' _ {b})=g(h(x' _ {a}))，从而x _ b'=h^{-1}(g(h(x _ a')))，这表明新坐标系下f的表达式是h^{-1}gh，和原来的表达式g形似”共轭“关系。
设换系是平移t _ {v}，那么\pi(h^{-1}gh)=\pi(h^{-1})\pi(g)\pi(h)，平移是\pi的核，因此\pi(h^{-1}gh)=\pi(g)。
命题：对坐标原点进行平移不改变\pi的结果。
平面中的等距变换
对于一个平面，我们可以任取一点作为原点，然后将平面看作\mathbb R^2。线性代数中可知，平面上的正交变换是绕原点的旋转（旋转\theta记作\rho _ \theta），或者是旋转和关于x轴镜面反射（记作r）的复合。这样就知道如下命题。
命题：\mathbb R^2上的等距变换可唯一地写成t _ v\rho _ \theta，或是t _ v\rho _ \theta r。
这是代数的描述，也可以用几何的描述。可以用上面的代数描述来推导，具体过程省略了。
定理：平面上的等距变换可分为保向的和反向的：
- 保向的变换有两种可能：平移（t _ v(p)=p+v），绕某点旋转；
- 逆向的变换有两种可能：关于某条直线的镜面反射，滑动反射（关于l镜面反射后沿平行l的方向平移）。
命题：我们知道在\mathbb R^2上原点是正交变换的不动点。使得p是不动点的等距变换构成一个群，恰是t _ pO _ 2t _ {p}^{-1}。
可以这么理解：先平移坐标使得p是原点，然后变换群就是O _ 2，再平移回去。
平面正交变换的有限群
一个正五边形，关于中心有5种旋转对称，也有5种轴对称。如前面所说，这些对称变换可以构成一个群。对于一般的正n边形，也有这种对称构成的群，旋转对称和轴对称各n种，所以群的阶是2n。这种群叫二面体群Dihedral group。
命题：二面体群D _ n由x,y生成，其中x^n=1（代表旋转），y^2=1（代表反射），yx=x^{-1}y。这个2n阶群的所有元素为1,x,\dots,x^{n-1},y,xy,\dots,x^{n-1}y。
不加证明地给出下面的定理。
定理：设G是正交变换的群O _ 2的子群，且是有限群。那么G有两种可能：
- G由旋转\rho _ \theta生成，其中\theta=2\pi/n，也就是说G是循环群C _ n；
- G由旋转\rho _ \theta和反射r生成，其中\theta=2\pi/n，r是关于某过原点直线的镜面反射，也就是说G是二面体群D _ n。
注意到坐标原点是不动点，于是有如下定理。
定理：设平面上等距变换的对称构成一个有限群G，那么平面上有一点p使得g(p)=p，对所有g\in G成立。
平面等距变换的离散群
平移变换的对称也考虑进来时，图形就变成无限的了。我们考虑平面上的等距变换构成的离散群，意即它不能包含任意小的平移或旋转。
平移群
第一种重要的离散群是平移群，由群里所有的平移向量构成：L=\{v\in V\mid t _ v\in G\}。显然，这是所有向量组成的加法群(V,+)构成的子群。下面的定理给出了平移群的结构。
定理：设L是(V,+)（或者说(\mathbb R^2,+)）的离散子群，那么它有三种可能：
- 只有零向量，L=\{0\}；
- 一个向量的整数倍，L=\mathbb Za=\{na\mid n\in\mathbb Z\}；
- 两线性独立的向量的整线性组合，L=\mathbb Za+\mathbb Zb=\{ma+nb\mid m,n\in \mathbb Z\}。这种叫做lattice，中文可称格、晶格、点阵等，由lattice基(a,b)生成。
定理证明略过了。
点群
前面建立过\mathbb R^2上的等距变换到正交变换的同态\pi:M\to O _ 2。当G是平面上的等距变换M的离散子群时，群\overline G=\pi(G)称作点群，是正交群子群，群同态此时写作g\mapsto\overline g\in O _ 2。
点群的结构是容易确定的。一个旋转\overline{\rho _ \theta}\in \overline G，也就是G包含某t _ a\rho _ \theta，也就是绕某点转\theta。记r为关于x轴的镜面变换，那么\overline G包含\overline {\rho _ \theta r}时，就是说G包含某t _ a\rho _ \theta r，这是关于某直线（与x轴夹角不难得知是\theta/2）的镜面反射或滑动反射。
简单地说，点群包含的信息即G里的旋转角以及反射线滑动线的倾斜角。
命题：O _ 2的离散子群\overline G是有限群，因而是循环群或二面体群。
晶体学限制
设G是M的离散子集且其平移群是平凡群，那么\pi| _ G是单射，此时G与点群\overline G同构，从而是循环群或二面体群。下面的命题给出了平移群和点群更多的联系。
命题：设G是M的离散子集，其平移群是L。设\overline g\in\overline G\subseteq O _ 2，那么对任一a\in L，有\overline g(a)\in L，也就是\overline G将L映为L。
证明是不难的。设a'=\overline g(a)，要证a'\in L，即t _ {a'}\in G。将g表示为t _ b\varphi的形式，其中\varphi\in O _ 2，那么\overline g=\overline \varphi。计算gt _ ag^{-1}：
gt _ ag^{-1}=(t _ b\varphi)t _ a(\varphi^{-1}t _ {-b})=t _ bt _ {a'}\varphi\varphi^{-1}t _ {-b}=t _ {a'。}这里面平移变换和正交变换的交换顺序法则是可验证的。这个计算表明了t _ {a'}\in G。
注意：G作用的是平面（上的点），而非平移群L（的向量）。平面上能否变更原点以换到某坐标系，这个坐标系下将G作用到L，会有G将L映为L？这不一定：举个例子，在\mathbb R^2中令G由t _ {(1,0)},t _ {(0,1)}以及滑动反射t _ {(1/2,0)}r生成，其中r表示关于x轴的镜面反射，而平移群是L=\mathbb Z\times \mathbb Z，可以发现不论何点作为新原点，G都不能将L映为L。
前面考虑了平凡的平移群，下面定理考虑的是非平凡平移群。
定理（晶体学限制）：设L是非平凡的(V,+)离散子群（或(\mathbb R^2,+)），又设L的对称构成的群包含O _ 2的一个子群H，那么
- H中的旋转的阶数只能有以下几种可能：1,2,3,4,6；
- H是C _ n或D _ n，其中n可能取值1,2,3,4,6。
可以看到5并不包含其中，没有pattern可以有五重的旋转对称。设\rho\in H是旋转，a\in L是L中最短的向量，如果这个旋转是2\pi/5，那么\rho^2a\in L，\rho^2a+a\in L，画图可发现a,\rho^2a是72^\circ底角的等腰三角形的两腰，\rho^2a+a是底边，比腰更短，这与a长度最短矛盾。
对于其它可能，考虑b=\rho a-a\in L，如果要求b长度大于等于a，\rho旋转角必须至少\pi/3=2\pi/6，从而H是离散群，阶数最多到6。
如果L是lattice，那么G叫二维晶体群two dimensional crystallographic group。这种群有17种分类。考察平面上正六边形的密铺，并将中心和六顶点连接，这个密铺的对称性构成的群就是一个二维晶体群的例子。
SO(3)的有限子群
\mathbb R^3的旋转构成的有限子群只有5种可能。证明因为比较长将略过了，虽然如此但它还是非常值得一看的。
定理：\mathrm{SO}(3)的有限子群是如下的一种：
- 循环群C _ k：绕某线旋转2\pi/k的倍数；
- 二面体群D _ k：正k边形的对称；
- 正四面体群T：正四面体的12种旋转对称；
- 正八面体群O：正方体或是正八面体的24种旋转对称；
- 正二十面体群I：正十二面体或正二十面体的60种旋转对称。
正方体的六个面的中心连接起来就是个正八面体，因此它们的旋转对称是一回事。或者也可以将正八面体的中心连接成正方体。正十二面体和正二十面体同理。
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