杂项

证明主定理时，可以看到正则表示的分解是非常特别的。把它单独列出来如下。

命题：对于正则表示，有
\begin{gathered}\chi^{\mathrm{reg}}=d _ 1\chi _ 1+\dots+d _ r\chi _ r,\\\rho^{\mathrm{reg}}= d _ 1\rho _ 1\oplus\dots\oplus d _ r\rho _ r,\end{gathered}其中d _ i=\dim \chi _ i。

证明过程还可以得知以下命题。注意到g\neq1时正则表示为0，有：

命题：若g\neq1，那么n _ 1\chi _ 1(g)+\dots+n _ r\chi _ r(g)=0。

命题：所有不同构的不可约特征标构成类函数的空间\mathcal H的一组标准正交基。

知道了\langle\chi,\chi\rangle=n _ 1^2+\dots+n _ r^2，可以直接分析一些简单的情况，例如

1. \langle\chi,\chi\rangle=1，那么\chi是不可约特征标；
2. \langle\chi,\chi\rangle=2，那么\chi是两不同构的不可约特征标的和；
3. \langle\chi,\chi\rangle=3，那么\chi是三不同构的不可约特征标的和；
4. \langle\chi,\chi\rangle=4，那么\chi是四不同构的不可约特征标的和，或是\chi=2\chi _ i，其中的\chi _ i是某不可约特征标。

Abel群

Abel群的特征标有简单的结构。Abel群每个共轭类都只有单独的一个元素，每个元素就是一个共轭类，因此|G|=d _ 1^2+\dots+d _ {|G|}^2，可知对任意i有d _ i=1。

定理：设G是有限Abel群，那么它的每个不可约特征标都是一维的，因而不可约特征标的数量等于|G|。

定理：用矩阵语言，G的每个矩阵表示都可对角化：存在可逆P使得对任意g都有P^{-1}R _ gP成对角形。

反过来当然也是对的，如果只有一维的不可约特征标，那么群是Abel群。

推论：设H是群G的一个Abel子群，那么G的不可约表示的维数小于等于|G|/|H|=[G:H]。

设G的一个不可约表示\rho:G\to\mathrm{GL}(V)，下证\dim V\leqslant |G|/|H|。由于H是Abel群，表示\rho| _ H:H\to\mathrm{GL}(V)的不可约子表示都是一维的。设一维子空间W是H-不变的，考察V'=\sum _ {g\in G}gW，这是个G-不变的子空间，\rho不可约表明V'=V。

同时，对h\in H，(gh)W=g(hW)=gW，这表明最多只有[G:H]个不同的gW。故\dim V\leqslant [G:H]\dim W，这就证明了结论。

例：简单的例子，考虑C _ 3=\{1,x,x^2\}，有三个不可约特征标。设\chi是其中一个，那么\chi(1)=1，\chi(x)是三次单位根，\chi(x^2)=\chi(x)^2。三个特征标就可以轻易确定：
\frac{\phantom{\chi_01{}}1\quad\quad x\quad\quad \phantom{1}x^2}{\begin{array}{ccc}\chi _ 1 \mid1&1&1\\\chi _ 2\mid1&\mathrm e^{2\pi i/3}&\mathrm e^{4\pi i/3}\\\chi _ 3\mid1&\mathrm e^{4\pi i/3}&\mathrm e^{2\pi i/3}\end{array}}

特征标表格的列

主定理表明r个不同构的不可约特征标是标准正交的，即
\langle\chi _ i,\chi _ j\rangle=\frac1{|G|}\sum _ {g\in G}\overline{\chi _ i(g)}\chi _ j(g)=\delta _ {ij}.这也就是说特征标表格的r个行是标准正交的。之前提过，可以把同个共轭类的项并在一起，对应于合并表格的一些列，内积就写作\frac1{|G|}\sum _ {k}c _ k\overline{\chi _ i(g _ k)}\chi _ j(g _ k)=\delta _ {ij}，这里面g _ i取自各个共轭类g _ i\in C _ i。

合并这些列后，特征标表格就是r\times r的方阵形式了。构造r阶方阵，其第i行为向量\frac1{\sqrt{|G|}}(\sqrt{c _ 1}\chi _ i(g _ 1),\dots,\sqrt{c _ r}\chi _ i(g _ r))，那么这是个酉矩阵，因为这些行构成标准正交基，那么列也是标准正交基。而这些列与原来特征标表格的列是缩放的关系，缩放不改变正交关系，因而表格的列也是相互正交的。

张量积(*)

除了“直和”操作，表示还有“乘法”操作，叫做张量积(tensor product)。这里简单讨论一下（可跳过大量线性空间的张量积的内容）。

首先引入张量的语言。这里考虑的是抽象的（用商空间定义的）张量积。虽然略显抽象，但是思路是不复杂的：给定k个线性空间，构建一个“乘积空间”，使得维数等于k个维数乘积，其中一些元素就是向量的张量积，且对每个向量都有线性性。

设V _ 1,\dots,V _ k是k个线性空间，考察V _ 1\times \dots\times V _ k上的自由线性空间（定义参见前文“正则表示”一节的补充），也就是某些(v _ 1,\dots,v _ k)的形式线性组合所构成的集合，记作\mathcal F(V _ 1\times\dots\times V _ k)。考虑所有的形如下面两种形式的向量：
\begin{gathered}
(v _ 1,\dots,av _ i,\dots,v _ k)-a(v _ 1,\dots,v _ k),\\
(v _ 1,\dots,v _ i+v _ i',\dots,v _ k)-(\dots,v _ i,\dots)-(\dots,v _ i',\dots).
\end{gathered}它们构成的集合记为\mathcal R，不难看出这是\mathcal F(V _ 1\times\dots\times V _ k)的一个子空间。

V _ 1,\dots,V _ k的张量积，记为V _ 1\otimes\dots\otimes V _ k，就是商空间\mathcal F(V _ 1\times \dots\times V _ k)\mathbin/ \mathcal R。而(v _ 1,\dots,v _ k)对应的[(v _ 1,\dots,v _ k)]就是向量v _ 1,\dots,v _ k的（抽象）张量积，记作v _ 1\otimes\dots\otimes v _ k。

在以上定义下，张量积对每个变量都有线性，
\begin{gathered}
v _ 1\otimes\dots\otimes av _ i\otimes\dots\otimes v _ k=a(v _ 1\otimes\dots\otimes v _ k),\\
v _ 1\otimes\dots\otimes(v _ i+v _ i')\otimes\dots\otimes v _ k=(\dots\otimes v _ i\otimes\dots)-(\dots\otimes v _ i'\otimes\dots).
\end{gathered}值得注意的是，形如v _ 1\otimes\dots\otimes v _ k的向量并不是V _ 1\otimes\dots\otimes V _ k的所有向量，V _ 1\otimes\dots\otimes V _ k由所有这种向量的线性组合构成。

V _ 1\times\dots\times V _ k上的多线性映射可以诱导出一个V _ 1\otimes\dots\otimes V _ k上的线性映射。V _ 1\times\cdots\times V _ k上的映射可以唯一地延拓成自由空间\mathcal F(V _ 1\times\cdots\times V _ k)上的线性映射（不难看出）。设f延拓成\overline f，由多线性性，延拓之后有
\begin{gathered}\overline f(\dots,av _ i,\dots)=f(\dots,av _ i,\dots)=af(\cdots)=f(a(\cdots))=\overline f(a(\dots,v _ i,\dots)),\\\overline f(\cdots,v _ i+v _ i',\dots)=\dots=\overline f[(\dots,v _ i,\dots)+(\dots,v _ i',\dots)].\end{gathered}这表明\mathcal R\subseteq\ker\overline{f}。所以，这诱导出一个V _ 1\otimes \cdots\otimes V _ k=\mathcal F(V _ 1\times \cdots\times V _ k)\mathbin/\mathcal R上的线性函数\widetilde{f}，满足\widetilde f(v _ 1\otimes\cdots\otimes v _ k)=f(v _ 1,\dots,v _ k)。不难看出，这样的\widetilde f是唯一的。

对有限维空间，各取一组基，设V _ j的基为(e _ i^{(j)})，i=1,\dots,\dim V _ j。把维数记为n _ 1,\dots,n _ k，可以证明\{e _ {i _ 1}^{(1)}\otimes\dots\otimes e _ {i _ k}^{(k)}\mid 1\leqslant i _ j\leqslant n _ j\}构成V _ 1\otimes \dots\otimes V _ k的一组基，因此张量积空间的维数是n _ 1\dots n _ k。

---

（

附：具体验证这一点。一方面张量积空间是v _ 1\otimes\dots\otimes v _ k这样的向量的线性组合，而每个v _ 1\otimes\dots\otimes v _ k中的每个v _ i都被各自的基线性表示，因此(e _ {i _ 1}^{(1)}\otimes\dots\otimes e _ {i _ k}^{(k)})确实可表示所有的张量积空间中的向量，只需考虑它们线性无关。设a^{i _ 1\cdots i _ k}e _ {i _ 1}^{(1)}\otimes\dots\otimes e _ {i _ k}^{(k)}对i _ 1,\dots,i _ k求和等于零，需要每个系数a^{i _ 1\cdots i _ k}=0。

定义V _ 1\times\dots\times V _ k上的函数\varepsilon^{m _ 1\cdots m _ k}(v _ 1,\dots,v _ k)=\varepsilon^{m _ 1} _ {(1)}(v _ 1)\cdots\varepsilon^{m _ k} _ {(k)}(v _ k)，其中\varepsilon _ {(j)}^{i}定义为\varepsilon _ {(j)}^i(v _ j)=x^i，而x^i取自基展开式v _ j=x^1e^{(j)} _ 1+\dots+x^{n _ j}e^{(j)} _ {n _ j}。这样，\varepsilon^{m _ 1\cdots m _ k}是一个多线性函数，这诱导出一个V _ 1\otimes \cdots\otimes V _ k=\mathcal F(V _ 1\times \cdots\times V _ k)\mathbin/\mathcal R上的线性函数\widetilde{\varepsilon}^{m _ 1\cdots m _ k}，满足\widetilde\varepsilon^{m _ 1\cdots m _ k}(v _ 1\otimes\cdots\otimes v _ k)=\varepsilon^{m _ 1\cdots m _ k}(v _ 1,\dots,v _ k)。将这个函数作用在a^{i _ 1\cdots i _ k}e _ {i _ 1}^{(1)}\otimes\dots\otimes e _ {i _ k}^{(k)}的求和上，得a^{i _ 1\cdots i _ k}\varepsilon^{m _ 1\cdots m _ k}(e _ {i _ 1}^{(1)},\dots,e _ {i _ k}^{(k)})=a^{i _ 1\cdots i _ k}\delta _ {i _ 1m _ 1}\dots\delta _ {i _ km _ k}，不为零的项只有\delta _ j=m _ j，j=1,\dots,k，故a^{m _ 1\cdots m _ k}=0。而每个m _ j可任取自1,\dots,n _ j，故所有这样的系数都为零。

）

（

附：以上定义下，还有结合律：V _ 1\otimes V _ 2\otimes V _ 3\cong (V _ 1\otimes V _ 2)\otimes V _ 3\cong V _ 1\otimes (V _ 2\otimes V _ 3)；其中，形如v _ 1\otimes v _ 2\otimes v _ 3，(v _ 1\otimes v _ 2)\otimes v _ 3和v _ 1\otimes (v _ 2\otimes v _ 3)是对应的。

只考虑第一个同构，后面那个同理。考虑映射(v _ 1,v _ 2,v _ 3)\mapsto (v _ 1\otimes v _ 2)\otimes v _ 3，这是多线性的，因此诱导出一个张量积空间上的映射v _ 1\otimes v _ 2\otimes v _ 3\mapsto(v _ 1\otimes v _ 2)\otimes v _ 3，易见这是个满射。而空间维数相等，所以还是双射。不难看出，这同构还是唯一的。

）

（

附：抽象定义外，张量积也有具象定义。设V _ 1,\dots,V _ k是有限维线性空间，V _ j上的线性函数的全体叫对偶空间V _ j^\ast，即\mathcal L(V _ j;\mathbb C)。设f _ j是V _ j上的一个线性函数，那么张量积f _ 1\otimes\cdots\otimes f _ k定义为一个\mathcal L(V _ 1,\dots,V _ k;\mathbb C)里的函数
f _ 1\otimes \cdots\otimes f _ k(v _ 1,\dots,v _ k)=f _ 1(v _ 1)\cdots f _ k(v _ k).可以证明有一个典则的同构
V _ 1^\ast\otimes\dots\otimes V _ k^\ast\cong \mathcal L(V _ 1,\dots,V _ k;\mathbb C),且同一个(f _ 1,\dots,f _ k)定义出的f _ 1\otimes\dots\otimes f _ k是对应的。

取(f _ 1,\dots,f _ k)\in V _ 1^\ast\times\dots\times V _ k^\ast，定义映射\Phi:V _ 1^\ast\times\dots\times V _ k^\ast\to\mathcal L(V _ 1,\dots,V _ k;\mathbb C)：
\Phi(f _ 1,\dots,f _ k)(v _ 1,\dots,v _ k)=f _ 1(v _ 1)\dots f(v _ k)\in\mathcal L(V _ 1,\dots,V _ k;\mathbb C).而且\Phi还是f _ 1,\dots,f _ k的多线性函数。多线性则诱导出V _ 1^\ast\otimes\dots\otimes V _ k^\ast上的映射
\begin{gathered}
\widetilde\Phi:V _ 1^\ast\otimes\dots\otimes V _ k^\ast\to\mathcal L(V _ 1,\dots, V _ k;\mathbb C)\\
\widetilde\Phi(f _ 1\otimes\dots\otimes f _ k)(v _ 1,\dots,v _ k)=f _ 1(v _ 1)\dots f _ k(v _ k).
\end{gathered}其中的张量积是抽象定义。这个对应不难看出是1{-}1的。

由于考虑的是有限维空间，具有自反性，即每个空间V _ j典则地同构于对偶的对偶V _ j^{\ast\ast}，因此
V _ 1\otimes\dots\otimes V _ k\cong\mathcal L(V _ 1^\ast,\dots,V _ k^\ast;\mathbb C).）

---

现在设\rho^1:G\to\mathrm{GL}(V _ 1)和\rho^2:G\to\mathrm{GL}(V _ 2)是两个群表示，我们可以得到V _ 1\otimes V _ 2上的一个表示\rho，叫做\rho^1,\rho^2的张量积。设v _ 1\in V _ 1，v _ 2\in V _ 2，考虑双线性函数(v _ 1,v _ 2)\mapsto\rho^1 _ g(v _ 1)\otimes\rho^2 _ g(v _ 2)，可以诱导出一个V _ 1\otimes V _ 2上的线性映射\rho _ g，满足
\rho _ g(v _ 1\otimes v _ 2)=\rho^1 _ g(v _ 1)\otimes \rho _ g^2(v _ 2),\quad g\in G.这就是张量积，记作\rho=\rho^1\otimes\rho^2。（线性映射的张量积也这么定义）

两个不可约表示的张量积一般不是不可约的。可以通过分解张量积的手段得到新的表示，例如\mathrm {SO}(3)的3维标准表示和自身作张量积，得到9维表示，分解得到1、3、5维不可约表示。（3\otimes 3=1\oplus3\oplus5）

考虑矩阵语言下的张量积。可以证明，适当的基下，\rho^1\otimes\rho^2的矩阵表示（暂时忽略下标g）等于\rho^1,\rho^2各自矩阵A,B的Kronecker积A\otimes B。矩阵的Kronecker积前面已提及，定义为分块矩阵(a _ {ij}B)。设维数分别为m,n，各取一组基(e _ i),(f _ i)，那么\rho^1(e _ i)=\sum _ k a _ {ki}e _ k、\rho^2(f _ j)=\sum _ l b _ {lj}f _ l。对于V _ 1\otimes V _ 2，按字典序给出一组基e _ 1\otimes f _ 1,e _ 1\otimes f _ 2,\dots,e _ m\otimes f _ n，即e _ i\otimes f _ j排在第(i-1)n+j个。
\rho^1(e _ i)\otimes \rho^2(f _ j)=\Big(\sum _ {k=1}^ma _ {ki}e _ k\Big)\otimes\Big(\sum _ {l=1}^nb _ {lj}f _ l\Big)=\sum _ {k=1}^m \sum _ {l=1}^na _ {ki}b _ {lj}(e _ k\otimes f _ j)第(k-1)n+l个项的系数是a _ {ki}b _ {lj}。而A\otimes B的第(k-1)n+l行、第(i-1)n+j列也恰是a _ {ki}b _ {lj}（不难验证），因此\rho^1\otimes\rho^2的矩阵是A\otimes B。

考虑张量积的特征标。V _ 1\otimes V _ 2上的张量积表示的特征标\psi=\chi _ 1\cdot\chi _ 2。这是因为\mathrm{tr}(A\otimes B)=\mathrm{tr}(A)\mathrm{tr}(B)。

乘积群上的张量积

可以类似定义乘积群上的张量积表示。设群G _ 1,G _ 2分别有表示\rho^1,\rho^2，再设g _ 1\in G _ 1，g _ 2\in G _ 2，则G _ 1\times G _ 2上的乘积群张量积\rho^1\otimes\rho^2:G _ 1\times G _ 2\to\mathrm {GL}(V _ 1\otimes V _ 2)定义满足
(\rho^1\otimes \rho^2) _ {(g _ 1,g _ 2)}(v _ 1\otimes v _ 2)=\rho^1 _ {g _ 1}(v _ 1)\otimes\rho^2 _ {g _ 2}(v _ 2).其特征标也有\chi(g _ 1,g _ 2)=\chi _ 1(g _ 1)\chi _ 2(g _ 2)。

注记：令G _ 1=G _ 2=G，以上定义得到一个G\times G的表示，这个表示在“对角子群”\{(g,g)\mid g\in G\}上就是前面定义的同一个群的两个表示的张量积。尽管有着这层联系，但是还是要明确区分这两种记号复用的定义。

下面的定理表明，对于G _ 1\times G _ 2的表示，只需要分别研究G _ 1,G _ 2的表示。

定理：若\rho^1,\rho^2不可约，那么\rho^1\otimes \rho^2是G _ 1\times G _ 2的不可约表示；反之，G _ 1\times G _ 2的不可约表示都同构于某两个不可约\rho^1,\rho^2的张量积\rho^1\otimes \rho^2。

一方面，设\rho^1,\rho^2不可约，那么特征标满足\langle\chi _ 1,\chi _ 1\rangle=1=\frac1{|G _ 1|}\sum _ 1\overline{\chi _ 1(g _ 1)}\chi _ 1(g _ 1)、\langle\chi _ 2,\chi _ 2\rangle=1=\frac1{|G _ 2|}\sum _ 2\overline{\chi _ 2(g _ 2)}\chi _ 2(g _ 2)，相乘得到
\frac1{|G _ 1\times G _ 2|}\sum _ {g _ 1,g _ 2}\overline{\chi _ 1(g _ 1)\chi _ 2(g _ 2)}\chi _ 1(g _ 1)\chi _ 2(g _ 2)=1,从而\rho^1\otimes\rho^2不可约。另一方面，可以证明所有这种张量积表示的特征标张成整个G _ 1\times G _ 2上的类函数空间，考虑证这空间的正交补是零。设f是G _ 1\times G _ 2上的一个类函数，若它和所有形如\chi _ 1(g _ 1)\chi _ 2(g _ 2)的特征标正交，那么f是零函数。由假设，
\langle\chi _ 1\chi _ 2,f\rangle=\sum _ {g _ 1,g _ 2}\overline{\chi _ 1(g _ 1)\chi _ 2(g _ 2)}f(g _ 1,g _ 2)=\sum _ {g _ 1}\overline{\chi _ 1(g _ 1)}\Big[\sum _ {g _ 2}\overline{\chi _ 2(g _ 2)}f(g _ 1,g _ 2)\Big]=0,固定\chi _ 2，上式对任意\chi _ 1成立表明\sum _ 2\overline{\chi _ 2(g _ 2)}f(g _ 1,g _ 2)是g _ 1的零函数，因为已经证明过和所有特征标正交的函数只有零函数。而它对任意\chi _ 2都是零函数又进一步表明所有f(g _ 1,g _ 2)是g _ 2的零函数。从而对任意g _ 1,g _ 2，都有f(g _ 1,g _ 2)=0。

诱导表示(*)

设H是G的子群，还有一个H的表示\tau:H\to\mathrm{GL}(W)，我们可以用这个表示诱导出一个G的表示。

将G陪集分解，分解成[G:H]=:m个陪集g _ 1H,\dots,g _ mH，把这m个陪集代表元的集合记作R=\{g _ 1,\dots,g _ m\}，这样任意的g\in G都唯一写成g=g _ ih，g _ i\in R、h\in H的形式。要诱导一个G的表示，考察其在W上的作用，需要gW=g _ ihW=g _ iW，确定G在W上的群作用也就是确定g _ 1W,\dots,g _ mW。对具体的元素w，须令gw=(g _ ih)w=g _ i(hw)。

对每一g _ iW，除了g _ i\in H时g _ iw本身已有了定义，其余的g _ i的作用并没有什么特别限制。于是我们可以形式上定义g _ iw，只要求对w有线性：g _ i(w+w')=g _ iw+g _ iw'、g _ i(cw)=c\, g _ i(w)。这样就有了g _ iW，再考虑g _ iW上G的作用，也就是g(g _ iw)，群作用要求结合律，因而令g(g _ iw)=(gg _ i)w，将gg _ i\in G写成g _ jh（h\in H）的形式，那么g(g _ iw)=(gg _ i)w=(g _ jh)w=g _ j(hw)\in g _ jW。同时也能看出g在g _ iW上有线性性。

现在把m个g _ iW拼在一起，写成直和：V=\bigoplus _ i g _ iW。设v=g _ 1w _ 1+\dots+g _ mw _ m\in V，对任一g\in G，令gv=gg _ 1w _ 1+\dots+gg _ mw _ m。可以验证，我们已经得到了G的一个V上的表示。

一方面，对任一g\in G，v\mapsto gv是线性的：由gv的定义，g在V上的线性归结到在诸g _ iW上的线性，而前面已经建立了这个线性。另一方面，这确实是个群作用，因为满足封闭性gv\in V、1v=v、结合律(rs)v=r(sv)，其中r,s\in G，前两点易见，验证结合律，由线性性不妨设v=g _ 1w _ 1，要验证(rs)(g _ 1w _ 1)=r(s(g _ 1w _ 1))。设sg _ 1=g _ ih、rg _ i=g _ jh'，其中h,h'\in H，那么(rs)(g _ 1w _ 1)=(rsg _ 1)w _ 1=(g _ jh'h)w _ 1以及r(s(g _ 1w _ 1))=r(g _ i(hw _ 1))=g _ j(h'(hw _ 1))，从而可见二者相等。

得到的这个表示就是\tau的诱导表示。虽然看起来有很多琐碎的验证细节，但要点只是保证群作用、线性性，以确保G线性作用于V。归结起来，可以给出如下定义：

诱导表示(induced representation)：设\rho:G\to\mathrm{GL}(V)是G的线性表示，\tau:H\to\mathrm{GL}(W)是子群H的表示，且表示空间W是V的子空间。取[G:H]个陪集代表元g _ 1,\dots,g _ m，如果V是诸g _ iW的直和，即V=\bigoplus g _ iW，那么\rho是\tau的诱导表示，可以记为\rho=\operatorname{Ind} _ {H}^G\tau。这个表示的维数为[G:H]\cdot\dim W。

例：G的正则表示\rho是V _ G上的表示（V_G还是表示G的所有元素构成一组基的空间），设\tau是子空间V _ H上对H的正则表示，那么\rho是\tau的诱导表示。

命题：如果两个表示\rho^1,\rho^2分别由\tau^1,\tau^2诱导，那么是直和时\rho^1\oplus\rho^2可由\tau^1\oplus\tau^2诱导。

命题：设(W,\tau)的诱导表示是(V,\rho)，W'是W的一个H-不变子空间，那么V'=\sum g _ iW'是G-不变子空间，且\rho在V'上对G的表示是\tau在W'上对H表示的诱导表示。

利用这个例子和这两个命题，可以用另一种方式给出诱导表示。设有一个表示\tau，可以分解成不可约表示直和，分别考察各自的诱导，因此不妨设\tau不可约。注意到H的正则表示分解里包含所有不可约表示，\tau同构于其中一个。而H的正则表示诱导到G的正则表示，再利用第二个命题就知道了这其中包含\tau的诱导表示。数学上还证明诱导表示的唯一性。

定理：G上由H诱导的表示存在，而且在同构意义下唯一。

特征标：唯一性意味着知道了\chi _ \tau，也应能计算\chi _ \rho。任取g\in G，来计算\chi _ \rho(g)。已知的是V=\bigoplus g _ iW，依次各取g _ iW的一组基，合并得到V的一组基。设gg _ i=g _ {\sigma(i)}h _ i，其中h _ i\in H、\sigma是对\{1,\dots,m\}的一个置换，那么对v=\sum g _ iw _ i，有gv=\sum g _ {\sigma(i)}(h _ iw _ i)。要计算阶数为[G:H]\cdot\dim W的矩阵的迹，不难看出现在这组基下的矩阵可以分块，由于g的作用使得g _ iW的基变为g _ {\sigma(i)}W的基，因此，只有{\sigma(i)}=i时对角块不为零，设这些i的集合为I，都满足gg _ i=g _ ih _ i，即g _ i^{-1}gg _ i\in H。矩阵的迹就是\sum _ {i\in I} \mathrm{tr} _ {g _ iW}(\rho _ g| _ {g _ iW})。而\mathrm{tr} _ {g _ iW}(\rho _ g| _ {g _ iW})=\mathrm{tr}(\rho _ {g _ i^{-1}gg _ i})=\chi _ \tau(g _ i^{-1}gg _ i)。

定理：设g _ i（i=1,\dots,[G:H]）是陪集代表元，给定g\in G，令I=\{i\mid g _ i^{-1}gg _ i\in H\}、A=\{x\in G\mid x^{-1}gx\in H\}，诱导表示特征标为
\chi _ \rho(g)=\sum _ {i\in I}\chi _ \tau(g _ i^{-1}gg _ i)=\frac1{|H|}\sum _ {x\in A}\chi _ \tau(x^{-1}gx).后一个等式是因为g _ i^{-1}gg _ i\in H等价于整个陪集里元素g _ ih\in g _ iH都满足(g _ ih)^{-1}g(g _ ih)\in H。对i\in I求和等价于对x^{-1}gx\in H（x\in G）的项每|H|平均一次。

紧群(*)

稍微考虑紧群的表示，这样就不再局限于有限群。

要有紧群首先得有一个拓扑群(topological group)，也就是同时是一个群和一个拓扑空间的G，此外还要求连续性：群运算G\times G\to G,\, (g,h)\mapsto gh连续、逆运算G\to G,\, g\mapsto g^{-1}连续。紧群(compact group)则是拓扑是紧的拓扑群。

例：有限群当然是紧群。旋转群如\mathrm{SO(2)}也是紧群。而平移向量构成的平移群不是紧群。

定义紧群G的有限维线性空间V上的线性表示：一个连续的同态\rho:G\to\mathrm{GL}(V)。（还可以类似定义Hilbert空间上的表示，从而表示空间也可以不局限在有限维。数学上证明，这样的表示同构于有限维的酉表示的Hilbert直和，从而让我们有机会能够把重点放在有限维表示上。）

大部分有限群的讨论都可以直接应用到紧群的有限维表示上。

有限群时，Maschke定理表明有限维表示都是不可约表示的直和。证明时，先用这个表示构造了一个内积，使其是G-不变的，即得到了一个酉表示；再证明酉表示可以分解为直和，Maschke定理就得证了。中间的一个关键步骤是在群G上取平均，也就是\frac1{|G|}\sum _ g。如果G是紧群，结论也成立，但考虑平均考虑的不是有限和，而是对一个测度\mu的积分\int _ G\ast\, \mathrm d\mu(g)。

对紧群G，数学上证明，满足如下两个条件的测度\mu的存在唯一性：

1. 右平移不变性：对任意的连续函数f与h\in G，
   \int _ Gf(g)\, \mathrm d\mu(g)=\int _ Gf(gh)\, \mathrm d\mu(g).
2. 归一化：
   \int _ G\, \mathrm d\mu(g)=1.

这个测度叫群G的Haar测度，它也满足左平移不变性：
\int _ Gf(g)\, \mathrm d\mu(g)=\int _ Gf(hg)\, \mathrm d\mu(g).如果G是有限群，对每个g\in G都是\mu(g)=\frac1{|G|}。再如平面上的旋转群，每个群元素对应\mathrm e^{\mathrm i\theta}，那么\mathrm d\mu=\frac1{2\pi}\mathrm d\theta。

Maschke定理、Schur引理可轻易推广到紧群的有限维表示。

特征标理论也类似。对\chi,\chi'，定义的是
\langle\chi,\chi'\rangle=\int _ G\overline{\chi(g)}\chi'(g)\, \mathrm d\mu(g).对于正则表示，前面的定义是V _ G上的置换表示；对h\in G，有\rho^{\mathrm{reg}} _ g(e _ h)=e _ {gh}。紧群时，表示空间会推广到一个函数空间上。在有限群的情况下，对基向量e _ g，用特征函数\delta _ g来代替（取g时值为1否则为0）。现在对任意的基\delta _ h，正则表示在k\in G上的取值为\rho _ g\delta _ h(k)=\delta _ {gh}(k)=\delta _ h(g^{-1}k)。

推广到一般的紧群，正则表示的表示空间变成了Hilbert空间
L^2(G)=\Big\{f:G\to\mathbb C\mathbin{\Big|} \int _ G|f(g)|^2\, \mathrm d\mu(g)<+\infty\Big\}.任取f\in L^2(G)，左正则表示\lambda满足\lambda _ gf(h)=f(g^{-1}h)。几何上看，相当于\lambda _ g将函数f的值向左平移g单位。可以验证，\lambda是群同态：有需要的连续性且\lambda _ {g _ 1g _ 2}=\lambda _ {g _ 1}\lambda _ {g _ 2}；\lambda还是保内积的酉算子：\langle\lambda _ g f,\lambda _ g f'\rangle=\langle f,f'\rangle。这就是（左）正则表示\lambda:G\to\mathrm{U}(L^2(G))在紧群上的定义，这是个无穷维表示。无穷维意味着不能考虑特征标了，而有限群正则表示的特征标是非常简单的，损失不小。但是原结论\rho^{\mathrm{reg}}= d _ 1\rho _ 1\oplus\dots\oplus d _ r\rho _ r有相应推广：紧群的正则表示的表示空间L^2(G)可分解为有限维的不可约表示\pi（设维数d _ \pi）的直和，且分解的重数是d _ \pi。

不可约表示的正交关系仍成立，即\langle\chi _ {\pi _ 1},\chi _ {\pi _ 2}\rangle=\delta _ {\pi _ 1,\pi _ 2}。不可约特征标仍构成L^2(G)的类函数子空间的标准正交系。另一方面，由于紧群可以有无穷多共轭类，“不可约表示也有无穷多种”即使仍成立，没什么意义了。和|G|有关的数量关系，d _ i\mathbin{\big|}|G|和|G|^2=d _ 1^2+\dots+d _ r^2也失去了意义。

实例计算

下面考虑计算一些群的不可约表示，包括C _ n、\mathrm {SO}(2)、D _ n、\mathrm O(2)、S _ 3、A _ 4、S _ 4。

循环群C_n

首先是循环群C _ n，前面已经讨论过，这是Abel群，有n个一维的不可约表示。设循环群是\langle r\rangle，j=0,1,\dots,n-1，那么\rho _ j(r^k)=\mathrm e^{2\pi\mathrm ijk/n}就给出了所有的不可约表示。

特殊正交群SO(2)

然后是\mathrm{SO}(2)，这是个Abel群，所以不可约表示是一维的。群同态\pi:\mathrm{SO}(2)\to(\mathbb C^\ast,\times)可轻易推知对应\mathrm e^{\mathrm i\theta}的表示是\mathrm e^{\mathrm ix\theta}（因为f(x+y)=f(x)f(y)、f(0)=1的连续解是f(x)=\mathrm e^{\mathrm ix\theta}，x\in\mathbb R）。又\mathrm e^{\mathrm ix\cdot2\pi}=1，故x只能是整数。于是\mathrm{SO}(2)的不可约表示为
\chi _ n(r _ \theta)=\mathrm e^{\mathrm in\theta},\quad n\in\mathbb Z.正交关系是著名的
\frac1{2\pi}\int _ 0^{2\pi}\mathrm e^{-\mathrm im\theta}\mathrm e^{\mathrm in\theta}\, \mathrm d\theta=\delta _ {mn}.

二面体群D_n

再考虑二面体群D _ n的表示。对于这个群，
D _ n=\langle r,s\mid r^n,\, s^2,\, srsr\rangle.也可写作D _ n=\{s^lr^k\mid 0\leqslant k\leqslant n-1,\, l=0,1\}。只需要确定r,s的表示。对n分奇偶讨论。

若n\geqslant2为偶数。先求一维表示，由\rho(srsr)=1可知\rho^2(r)=1，\rho(r)=\pm1，都满足\rho(r^n)=1。于是此时有4个一维表示（后两列用前两列推出）：
\frac{\begin{array}{rrcc}\phantom{\rho_000{-}}r&\phantom{-}s&\phantom{11}r^k\phantom{11}&\phantom{1}sr^k\phantom{11}\end{array}}{\begin{array}{rrcc}\rho _ 1 \mid\phantom{-}1&1&1&1\\\rho _ 2\mid\phantom{-}1&-1&1&-1\\\rho _ 3\mid-1&1&(-1)^k&(-1)^k\\\rho _ 4\mid -1&-1&(-1)^k&(-1)^{k+1}\end{array}}现在考虑二维表示\rho:D _ n\to\mathrm{GL}(2,\mathbb C)，一种比较标准的表示是
\begin{aligned}
\rho(r)&=\begin{bmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{bmatrix},\quad\theta=\frac{2\pi}n,\\
\rho(s)&=\begin{bmatrix}1&\\&-1\end{bmatrix}.
\end{aligned}来求更多不可约表示。设\rho(r)=A，\rho(s)=B，A,B是二维复矩阵，那么A^n=I、B^2=I、BABA=I。A的两个特征值\lambda _ 1,\lambda _ 2是n次单位根，B的两个特征值在\pm1中。考察A的最小多项式，它整除x^n-1，因此无重根，从而A可对角化，不妨设已经取了使A对角化的基。如果\lambda _ 1=\lambda _ 2，那么A是数量矩阵，I=BABA=A^2，A=\pm I，这导致对于任意v，\operatorname{span}(v)总是A的不变子空间，取v为B的特征向量，那么\operatorname{span}(v)就是G-不变的子空间了，这表明表示是可约的。现在要找不可约的，因而A的特征值不等\lambda _ 1\neq\lambda _ 2。

如果B特征值都是1或都是-1，那么B=\pm I，由此知A^2=I，回到上面情形，表示可约。因此B特征值是-1,1，有\chi(s)=0。表示不同构相当于\chi(r)不相等（这是因为表示由特征标完全确定）。

由BABA=I可知BAB^{-1}=A^{-1}，因此\{\lambda _ 1,\lambda _ 2\}=\{\lambda _ 1^{-1},\lambda _ 2^{-1}\}，有\lambda _ 2=\lambda _ 1^{-1}或\lambda _ 1=1、\lambda _ 2=-1。对于后者，可以证明表示是可约的。当A=\operatorname{diag}(1,-1)，有A^2=I，由BABA=I知BA=A^{-1}B^{-1}=AB，据此计算可知B是对角矩阵，B=\operatorname{diag}(\pm1,\mp1)，于是可以构造G-不变子空间\operatorname{span}((1,0)^\mathsf T)。这个表示可约。

现在可以设A=\operatorname{diag}(\omega^k,\omega^{-k})，其中\omega=\mathrm e^{2\pi\mathrm i/n}，此时\chi(r)=2\cos(2k\pi /n)。当k=0或n/2的时候回到前面情况，当n/2<k<n时，由于\chi(r)=2\cos(2k\pi/n)=2\cos(2(n-k)\pi/n)，即与n-k对应的表示同构，因此只需考虑0<k<n/2。这n/2-1个表示的特征标都不相等，因此互不同构。

然后求解B，因为B的迹是0，由ABA=B以及\omega^{2k}\neq1，
B=\begin{bmatrix}a&b\\c&-a\end{bmatrix}\implies ABA=\begin{bmatrix}a\omega^{2k}&b\\c& -a\omega^{-2k}\end{bmatrix}=B\implies a=0.再利用|B|=-1，知bc=1，因此可取b=c=1，可验证满足条件。由于b,c是非对角元，取其它值得到同构的表示。生成元的表示求解出：\omega=\mathrm e^{2\pi\mathrm i/n}，
\rho(r)=A=\begin{bmatrix}\omega^k&\\&\omega^{-k}\end{bmatrix},\quad\rho(s)=B=\begin{bmatrix}&1\\1&\end{bmatrix}.可以看出得到的表示是不可约的：A下的一维不变子空间是\operatorname{span}((1,0)^\mathsf T)和\operatorname{span}((0,1)^\mathsf T)，但都不是B下的不变子空间。

现在已经得到了4个一维表示，和n/2-1个二维表示。而4\cdot1^2+(n/2-1)\cdot 2^2=2n=|D _ n|，由主定理知这些就是所有的不可约表示了。事实上，由于Abel子群\langle r\rangle的指数是2，由前文结论即知不可约表示维数最多是2。

若n是奇数。一维表示只有两个，相比偶数时\rho(r^n)=1的限制使得失去了\rho(r)=-1的可能。
\frac{\begin{array}{rrcc}\phantom{\rho_01\mid{-}}r& \phantom{-}s&r^k&sr^k\end{array}}{\begin{array}{rrcc}\rho _ 1 \mid\phantom{-}1&1&1&1\\\rho _ 2\mid\phantom{-}1&-1&1&-1\end{array}}对于不可约的二维表示，讨论是几乎一样的，此时0<k<n/2即k=1,\dots,(n-1)\mathbin/2，有2\cdot1^2+(n-1)\mathbin/2\cdot 2^2=2n=|D _ n|，还是得到了所有不可约表示。

正交群O(2)

再然后是正交群\mathrm O(2)，作为拓扑群，它是两个圆。其中元素可写为旋转r _ \theta或旋转和反射的复合sr _ \theta。

这个群的Haar测度有\mathrm d\mu=\mathrm d\theta/(4\pi)；对函数f，
\int _ G f(g)\, \mathrm d\mu(g)=\frac1{4\pi}\int _ 0^{2\pi}f(r _ \theta)\, \mathrm d\theta+\frac1{4\pi}\int _ 0^{2\pi}f(sr _ \theta)\, \mathrm d\theta.不可约表示和D _ n的类似。对于一维的，
\frac{\begin{array}{cc}\phantom{\rho _ 0\mid{1}}r _ \theta&sr _ \theta\end{array}}{\begin{array}{cc}\psi _ 1 \mid1&\phantom{-}1\\\psi _ 2\mid1&-1\end{array}}对于二维的，令n=1,2,\dots，那么
\rho _ n(r _ \theta)=\begin{bmatrix}\mathrm e^{\mathrm in\theta}&\\&\mathrm e^{-\mathrm in\theta}\end{bmatrix},\quad \rho _ n(sr _ \theta)=\begin{bmatrix}&\mathrm e^{-\mathrm in\theta}\\\mathrm e^{\mathrm in\theta}&\end{bmatrix}.数学上证明已经给出了所有的不可约表示。

交错群A_4

现在计算交错群A _ 4不可约的特征标。交错群A _ 4也同构于正四面体的旋转对称构成的群T：群论里已经知道A _ 4可用三循环生成，而正四面体4个顶点的旋转对称显然包含每一个三循环，故T包含A _ 4，而它们阶数相等，因而相同。

A _ 4是个12阶群，在分类12阶群时已经分析了这些群的结构。先回顾，有4个三阶子群和1个正规的四阶子群。设三阶子群K=\{1,t,t^2\}，四阶子群H=\{1,x,y,z\}，那么G=\{hk\mid h\in H,\, k\in K\}、x,y,z为不在任一三阶子群中的所有元素。

交错群的元素包括：恒等置换、3个双对换(12)(34),(13)(24),(14)(23)、8个阶数为3的三循环(123),(132),\dots,(234)，于是，可让x=(12)(34)，y=(13)(24)，z=(14)(23)，t=(123)。群A _ 4写成了\{t^k,t^kx,t^ky,t^kz\mid k=0,1,2\}。

H=\{1,x,y,z\}是正规子群，于是是共轭类的并，计算知txt^{-1}=z、tzt^{-1}=y、tyt^{-1}=x，那么x,y,z构成一个共轭类。进而，tx,ty,tz是相互共轭的，而xtx^{-1}=xtx=(tyt^{-1})tx=tyx=tz，这表明t,tx,ty,tz两两共轭。同样，t^2x,t^2y,t^2z相互共轭，而xt^2x^{-1}=tytx=t^2zx=t^2y，这表明t^2,t^2x,t^2y,t^2z两两共轭。

所以，A _ 4的共轭类有\{1\}、\{x,y,z\}、\{t,tx,ty,tz\}、\{t^2,t^2x,t^2y,t^2z\}四个，那么就有4个不可约特征标。|G|=12=1^2+d _ 2^2+d _ 3^2+d _ 4^2，​可知它们分别是1,1,3，所以共有3个一维表示和1个三维表示。

先是一维表示，由xy=z等关系可知\{x,y,z\}上的表示是1，只需确定子群K=\{1,t,t^2\}\cong C _ 3上的表示，而C _ 3的表示已经知道。对于剩下那个三维表示\rho _ 4，利用正则表示\chi^{\mathrm{reg}}=\chi _ 1+\chi _ 2+\chi _ 3+3\chi _ 4，再利用非单位元的正则表示是0，可轻松得到下表（也可以用正交关系求解）（其中\omega=\mathrm e^{2\pi i/3}）
\frac{\begin{array}{cccc}\phantom{\chi _ 0\mid{}}1&\phantom{1}x&\phantom{1}t\phantom{1}&t^2\end{array}}
{\begin{array}{cccc}\chi _ 1 \mid1&1&1&1\\\chi _ 2\mid1&1&\omega&\omega^2\\\chi _ 3\mid1&1&\omega^2&\omega\\\chi _ 4\mid 3&-1&0&0\end{array}}

对称群S_4

接下来计算对称群S _ 4。这是个24阶群，其中元素包括：恒等置换、6个对换(12),(13),\dots,(34)、3个双对换(12)(34),(13)(24),(14)(23)、8个阶数为3的三循环(123),(132),\dots,(234)、6个阶数为4的四循环(1234),(1243),\dots,(1432)。它们各代表一个共轭类（对称群里共轭等价于循环节长度都相同），因此有5个不可约表示。求解维数，24=d _ 1^2+\dots+d _ 5^2，解得1,1,2,3,3。

A _ 4的正规子群H=\{1,x,y,z\}=\{(),(12)(34),(13)(24),(14)(23)\}仍是S _ 4的正规子群。观察H里对1的作用，可以发现任一i\in\{1,2,3,4\}都有一个h _ i(1)=i；也都有h _ i(i)=1。于是，设\sigma\in S _ 4，\sigma(1)=i，那么h _ i\circ\sigma(1)=1，h _ i\sigma就是一个对2,3,4的置换了。反过来设现有一个固定1的置换，那么应有一个h _ i使得复合起来可以表示任意一个\sigma\in S _ 4。

设S _ 4的子群K=\{\sigma\in S _ 4\mid \sigma(1)=1\}\cong S _ 3\cong D _ 3，|K|=6，而|H|=4，H\cap K=\{1\}，所以，S _ 4=HK=\{hk\mid h\in H,\, k\in K\}。

如果H上的表示都是I，那么只需要K的表示就可以自动确定S _ 4的表示：\rho(hk)=\rho(k)，而D _ 3的表示已经知道了，有2个一维表示和1个二维表示。把(234)看作r，(23)看作s，代入前面D _ 3的表示，一维表示是\chi _ 1(r)=\chi _ 1(sr)=1、\chi _ 2(r)=-\chi _ 1(sr)=1，其中k取0,1,2，二维表示则有\chi _ 3(r)=2\cos(2\pi/3)=-1，\chi _ 3(s)=0。

一维表示中，\chi((12)(34))=\chi^2(s)=1，\chi((1234))=\chi((12)(234))=\chi(s)\chi(r)。对于\chi _ 3，\chi _ 3((1234))=\chi _ 3((12)(34)(24))=\chi _ 3(24)。
\frac{\begin{array}{ccccc}\phantom{\chi _ 0\mid{}}()&(12)&(12)(34)&(123)&(1234)\end{array}}
{\begin{array}{ccccc}
\chi _ 1 \mid1&\phantom{1{-}}1\phantom1&\phantom{11}1\phantom{11}& \phantom{11{-}}1&\phantom{{-}11}1\phantom{11}\\
\chi _ 2\mid1&-1&1&\phantom{11{-}}1&{-}1\\
\chi _ 3\mid2&\phantom{-}0&2&\phantom{11}{-}1&\phantom{-}0\end{array}}还剩两个三维特征标。A _ 4里的三维特征标可以用来构造。设\chi((12))=\alpha，\chi((1234))=\beta，那么\langle\chi,\chi\rangle=\frac1{24}(3^2+6\alpha^2+3(-1)^2+6\beta^2)=1，只能\alpha^2=\beta^2=1，再利用正交关系例如\langle\chi _ 1,\chi\rangle=\frac1{24}(3+6\alpha-3+0+6\beta)=0知\alpha=-\beta=\pm1。
\frac{\begin{array}{ccccc}\phantom{\chi _ 0\mid{}}()&(12)&(12)(34)&(123)&(1234)\end{array}}
{\begin{array}{ccccc}
\chi _ 1 \mid1&\phantom{1{-}}1\phantom1&\phantom{11}1\phantom{11}& \phantom{11{-}}1&\phantom{{-}11}1\phantom{11}\\
\chi _ 2\mid1&-1&1&\phantom{11{-}}1&{-}1\\
\chi _ 3\mid2&\phantom{-}0&2&\phantom{11}{-}1&\phantom{-}0\\
\chi _ 4\mid3&\phantom{-}1&-1&\phantom{11{-}}0&-1\\
\chi _ 5\mid3&-1&-1&\phantom{11{-}}0&\phantom{-}1
\end{array}}一般地，数学上证明，对称群的特征标总是取整数。