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非负可测函数的积分

非负可测简单函数的积分

定义1：设f(x)是\mathbb{R}^n上的非负可测简单函数，它在点集A _ i\, (i=1,\dots,p)上取值c _ i：
f(x)=\sum _ {i=1}^{p} c _ {i} \chi _ {A _ {i}}(x), \quad \bigcup _ {i=1}^{p} A _ {i}=\mathbb{R}^{n}, \quad A _ {i} \cap A _ {j}=\varnothing(i \neq j),

若E\in\mathscr{M}，则f(x)定义在E上的积分为

\int _ {E} f(x) \mathrm{d} x=\sum _ {i=1}^{p} c _ {i} m\left(E \cap A _ {i}\right) .

（注意，曾约定0\cdot\infty=0）

定理1：线性性质

定理2：若\{E _ k\}是\mathbb{R}^n中的递增可测集合列，f(x)是\mathbb{R}^n上的非负可测简单函数，则

\int _ {E} f(x) \mathrm{d} x=\lim _ {k \rightarrow \infty} \int _ {E _ {k}} f(x) \mathrm{d} x, \quad E=\bigcup _ {k=1}^{\infty} E _ {k}.

非负可测函数的积分

定义2：设f(x)是E\subset\mathbb{R}^n上的非负可测函数．我们定义f(x)在E上的积分为

\int _ E f(x)\mathrm{d}x=\sup _ {h(x)\leqslant f(x),x\in E}\left\{\int _ {x \in E} h(x) \mathrm{d} x: h(x)\text{是}\mathbb{R}^n\text{上的非负可测简单函数}\right\}.

立刻可知：1.设f(x),g(x)是E上的非负可测函数，若f(x)\leqslant g(x)\, (x\in E)，则\displaystyle \int _ E f(x)\mathrm{d}x\leqslant \int _ E g(x)\mathrm{d}x.

（从而若f(x)在E上非负可测，1.若存在E上非负可积函数F(x)，使得f(x)\leqslant F(x),\, x\in E，则f(x)在E上可积．2.若f(x)在E上有界，且m(E)<\infty，则在E上可积．）

2.若f(x)是E上的非负可测函数，A是E中可测子集，则

\int _ {A} f(x) \mathrm{d} x=\int _ {E} f(x) \chi _ {A}(x) \mathrm{d} x.

3.设f(x)是E上非负可测函数．若f(x)在E上几乎处处等千零，则\displaystyle \int _ E f(x)\mathrm{d}x=0；（从而易知，若m(E)=0，则\displaystyle \int _ E f(x)\mathrm{d}x=0）

若有\displaystyle \int _ E f(x)\mathrm{d}x=0，则f(x)在E上几乎处处等于零．

定理3：若f(x)是E上的非负可积函数，则f(x)在E上是几乎处处有限的．

若f(x),g(x)是E上非负可积函数，则

\left(\int _ {E} f(x) g(x) \mathrm{d} x\right)^{2} \leqslant\left(\int _ {E} f(x) \mathrm{d} x\right)\left(\int _ {E} g(x) \mathrm{d} x\right).

定理4（Beppo Levi 非负渐升列的积分）：设有定义在E上渐升的非负可测函数列：

f _ {1}(x) \leqslant f _ {2}(x) \leqslant \cdots \leqslant f _ {k}(x) \leqslant \cdots, \quad \lim _ {k \rightarrow \infty} f _ {k}(x)=f(x), \quad x \in E,

则

\lim _ {h \rightarrow \infty} \int _ {E} f _ {k}(x) \mathrm{d} x=\int _ {E} f(x) \mathrm{d} x.

设f(x)在[a,b]上非负可测，且在[a+\varepsilon,\, b](\varepsilon>0)上可积．若存在极限\displaystyle \lim _ {\epsilon \rightarrow 0} \int _ {a+\epsilon}^{b} f(x) \mathrm{d} x=L，则f(x)在[a,b]可积，且积分值为L。

定理5：线性性质

定理6：设\{f _ k(x)\}是E上非负可积函数渐降列，且有\displaystyle\lim _ {k \rightarrow \infty} f _ {k}(x)=f(x),\, \text { a.e. } x \in E，则

\lim _ {k \rightarrow \infty}\int _ E f _ {k}(x)\mathrm{d}x=\int _ Ef(x)\mathrm{d}x.

定理7（逐项积分）：若\{f _ k(x)\}是E上非负可测函数列，则

\int _ {E} \sum _ {k=1}^{\infty} f _ {k}(x) \mathrm{d} x=\sum _ {k=1}^{\infty} \int _ {E} f _ {k}(x) \mathrm{d} x.

推论1：设E _ {k} \in \mathscr{M}(k=1,2, \cdots),\; E _ {i} \cap E _ {j}=\varnothing(i \neq j)，若f(x)是E=\bigcup E _ k上的非负可测函数，则

\int _ {E} f(x) \mathrm{d} x=\int _ {\bigcup _ {k=1} ^\infty E _ {k} } f(x) \mathrm{d} x=\sum _ {k=1}^{\infty} \int _ {E _ {k}} f(x) \mathrm{d} x.

定理8（Fatou引理）：若\{f _ k(x)\}是E上的非负可测函数列，则

\int _ E\liminf _ {k\to\infty}f _ k(x)\mathrm{d}x\leqslant\liminf _ {k\to\infty}\int _ Ef _ k(x)\mathrm{d}x.

定理9：设f(x)\, (k\in\mathbb{N})是E上非负可测函数．若存在E上非负可积函数F(x)：f _ k(x)\leqslant F(x)\, (x\in E)，则

\limsup _ {k\to\infty}\int _ Ef _ k(x)\mathrm{d}x\leqslant\int _ E\limsup _ {k\to\infty}f _ k(x)\mathrm{d}x.

定理10：设f(x)是E上的几乎处处有限的非负可测函数，m(E)<\infty．在[0,\infty)上作如下划分：0=y _ 0<y _ 1<\dots<y _ k<y _ {k+1}<\dots\to\infty，其中y _ {k+1}-y _ k<\delta\, (k=0,1,\dots)。若令

E _ k=\left\{x \in E: y _ {k} \leqslant f(x)<y _ {k+1}\right\} \quad(k=0,1, \cdots),

则f(x)在E上是可积的当且仅当级数\sum y _ km(E _ k)<\infty。此时有

\lim _ {\delta \rightarrow 0} \sum _ {k=0}^{\infty} y _ {k} m\left(E _ {k}\right)=\int _ {E} f(x) \mathrm{d} x.

一般可测函数的积分

在f(x)可测的条件下，f(x)的可积性与|f(x)|的可积性是等价的，且有

\left|\int _ {E} f(x) \mathrm{d} x\right| \leqslant \int _ {\varepsilon}|f(x)| \mathrm{d} x.

立知

• 若m(E)<+\infty，f(x)是E上有界可测函数，则f(x)\in L(E)；

• 若f(x)\in L(E)，则f(x)在E上是几乎处处有限的；

• 若E \in \mathscr{M}，且f(x)=0, a.e. x\in E，则\displaystyle \int _ E f(x)\mathrm{d}x=0.

• 若f(x)是E上的可测函数，g(x)\in L(E)且|f(x)|\leqslant g(x),\, x\in E（g(x)称为f(x)的控制函数），则f(x)\in L(E)；

• 若f(x)\in L(E)，则对任给\varepsilon>0，存在N，使得
  \int _ {\left(x \in E: |x| \geqslant N\right)}|f(x)| \mathrm{d} x<\varepsilon, \quad \lim _ {N \rightarrow \infty} \int _ {\left(x \in E: |x| \geqslant N\right\}}|f(x)| \mathrm{d} x=0.

定理11：线性性质

关于函数乘积：若f(x)\in L(E)，g(x)是E上的有界可测函数，则f\cdot g\in L(E)，这是因为|f(x)g(x)|\leqslant |f(x)|\cdot\sup _ {x\in E}|g(x)|,\quad x\in E.

从上述性质可知，若f(x)\in L(E)且f(x)=g(x), a.e. x\in E，则\int f=\int g，因此，改变一个函数在零测集上的值，不会影响该函数的可积性与积分值．

定理12（Jensen不等式）：设w(x)是E\subset\mathbb{R}^1上正值可测函数，且\displaystyle\int _ E w(x)\mathrm{d}x=1；\varphi(x)是区间I=[a,b]上的凸函数；f(x)在E上可测，且值域R(f)\subset I，若fw\in L(E)，则

\varphi\left(\int _ {\varepsilon} f(x) w(x) \mathrm{d} x\right) \leqslant \int _ {\varepsilon} \varphi[f(x)] w(x) \mathrm{d} x.

定理13（积分对定义域的可敷可加性）：设E _ {k} \in \mathscr{M}(k=1,2, \cdots),\; E _ {i} \cap E _ {j}=\varnothing(i \neq j)，若f(x)在E=\bigcup E _ k上可积，则

\int _ {E} f(x) \mathrm{d} x=\sum _ {k=1}^{\infty} \int _ {E _ {k}} f(x) \mathrm{d} x.

定理14（积分的绝对连续性）：若f(x)\in L(E)，则对任给的\varepsilon>0，存在\delta>0，使得当E中子集e的测度m(e)<\delta时，有

\left|\int _ {e} f(x) \mathrm{d} x\right| \leqslant \int _ {e}|f(x)| \mathrm{d} x<\varepsilon.

定理15（积分变量的平移变换）：若f\in L(\mathbb{R}^n)，则对任意的y _ 0\in\mathbb{R}^n，f(x+y _ 0)\in L(\mathbb{R}^n)，且有

\int _ {\mathbb{R}^{n}} f\left(x+y _ {0}\right) \mathrm{d} x=\int _ {\mathbb{R}^{n}} f(x) \mathrm{d} x.

注：设I\subset \mathbb{R}^1是区间，f\in L(I), a\neq0，记J=\{x/a: x\in I\}，g(x)=f(ax)\, (x\in J)，则g\in L(J)，且有

\int _ {I} f(x) \mathrm{d} x=|a| \int _ {J} g(x) \mathrm{d} x.

对f\in L(\mathbb{R}^n)，a\in\mathbb{R}\backslash\{0\}，则

\int _ {\mathbb{R}^{n}} f(a x) \mathrm{d} x=\frac{1}{|a|^{n}} \int _ {\mathbb{R}^{n}} f(x) \mathrm{d} x.

控制收敛定理

定理16（控制收敛）：设f _ k(x)\in L(E)\, (k=1,2,\dots)，且有\displaystyle\lim _ {k \rightarrow \infty} f _ {k}(x)=f(x),\, \text { a.e. } x \in E，若存在E上的可积函数F(x)，使得

\left|f _ {k}(x)\right| \leqslant F(x), \quad \text { a. e. } x \in E\; (k=1,2, \cdots),

则有

\lim _ {k \rightarrow \infty} \int _ {E} f _ {k}(x) \mathrm{d} x=\int _ {E} f(x) \mathrm{d} x.

（通常称F(x)为函数列\{f _ k(x)\}的控制函数）

注意，第一，上述定理实际上包含了更强的结论：

\lim _ {k \rightarrow \infty} \int _ {E}\left|f _ {k}(x)-f(x)\right| \mathrm{d} x=0.

称上式为f _ k(x)在E上依L^1的意义收敛于f(x)，一般来说，上上式不能推出上式成立（在非负情形有例外）。

依L^1的意义收敛，也不一定有逐点收敛。

不过可以得出f _ k(x)在E上依测度收敛于f(x)的结论．由此，进一步又可知，存在子列\{f _ {k _ i}(x)\} ，使得f _ {k _ i}(x)\to f(x), a.e. x\in E.

第二，上述控制收敛定理的一个特例是有界收敛定理：

定理：设\{f _ k(x)\}是E上的可测函数列，m(E)<\infty，且对x\in E有

\lim _ {k \rightarrow \infty} f _ {k}(x)=f(x), \quad\left|f _ {k}(x)\right| \leqslant M \quad(k=1,2, \cdots),

则f(x)\in L(E)且

\lim _ {k \rightarrow \infty} \int _ {E} f _ {k}(x) \mathrm{d} x=\int _ {E} f(x) \mathrm{d} x.

定理17（依测度收敛型控制收敛）：设f _ k\in L(\mathbb{R}^n)\, (k=1,2,\dots)，且f _ k(x)在\mathbb{R}^n上依测度收敛于f(x)，若存在F\in L(\mathbb{R}^n)，使得

\left|f _ {k}(x)\right| \leqslant F(x), \quad \text { a. e. } x \in E\; (k=1,2, \cdots),

则有f(x)\in L(\mathbb{R}^n)，且有

\lim _ {k \rightarrow \infty} \int _ {\mathbb{R}^n} f _ {k}(x) \mathrm{d} x=\int _ {\mathbb{R}^n} f(x) \mathrm{d} x.

注意，对千E上依测度收敛于f\in L(E)的非负可积函数列\{f _ k(x)\}而言，必有

\lim _ {k \rightarrow \infty} \int _ {E} f _ {k}(x) \mathrm{d} x=\int _ {E} f(x) \mathrm{d} x\Longrightarrow\lim _ {k \rightarrow \infty} \int _ {E}\left|f _ {k}(x)-f(x)\right| \mathrm{d} x=0.

推论2（逐项积分）：设f _ k(x)\in L(E)\, (k=1,2,\dots)，若有\displaystyle\sum _ {k=1}^\infty\int _ E|f _ k(x)|\mathrm{d}x<\infty，则\sum f _ k(x)在E上几乎处处收敛；若记其和函数为f(x)，则f(x)\in L(E)且有

\sum _ {k=1}^{\infty} \int _ {E} f _ {k}(x) \mathrm{d} x=\int _ {E} f(x) \mathrm{d} x.

定理18（积分号下求导）：设f(x,y)是定义在E\times(a,b)上的函数，它作为x的函数在E上是可积的，作为y的函数在(a,b)上是可微的，若存在F\in L(E)，使得

\left|\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} y} f(x, y)\right| \leqslant F(x), \quad(x, y) \in E \times(a, b),

则

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} y} \int _ {E} f(x, y) \mathrm{d} x=\int _ {E} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} y} f(x, y) \mathrm{d} x.

注意：下列例证及命题：

• 在[0,1]上定义函数列f _ n(x)=n^2\chi _ {[1/n,2/n]}(x)，则 \lim f _ n(x)=f(x)\equiv0,\quad \lim \int _ 0^1f _ n(x)\mathrm{d}x=+\infty.
• 易知，对n\in\mathbb{N}，存在k,i，使得n=2^k+i,\, 0\leqslant i<2^k，在[0,1]上作函数列 f _ n(x)=\chi _ {[i/2^k,(i+1)/2^k]}(x),
  则对任意的x\in[0,1]，f(x)均不收敛于f(x)=0，但有 \lim _ {n \rightarrow 0} \int _ {0}^{1}\left|f _ {n}(x)-f(x)\right| \mathrm{d} x=0.
• 设f _ k(x)\in L(E)\, (k=1,2,\dots)，且f _ k(x)在E上一致收敛于f(x)，若m(E)<\infty，则由有界收敛定理可以推出 \lim _ {k \rightarrow \infty} \int _ {E} f _ {k}(x) \mathrm{d} x=\int _ {E} f(x) \mathrm{d} x.

可积函数与连续函数的关系

从可测函数与连续函数的密切联系中，可以导出可积函数与连续函数的一定关系，它将有助于进一步研究可积函数的性质．

定理19：若f\in L(E)，则对任给\varepsilon>0，存在\mathbb{R}^n上具有紧支集的连续函数g(x)，使得

\int _ E |f(x)-g(x)|\mathrm{d}x<\varepsilon.

这表明，若f\in L(E)，则对任给\varepsilon>0，存在f的分解：

f(x) = g(x) + [f(x)- g(x)] =f _ 1(x) ＋f _ 2(x),\, x \in E,

其中f _ 1(x)是\mathbb{R}^n上具有紧支集的连续函数，|f _ 2(x)|在E上的积分小于\varepsilon.

推论3：设f\in L(E)，则存在\mathbb{R}^n上具有紧支集的连续函数列\{g _ k(x)\}，使得：

\begin{gathered}
\lim _ {k\to\infty}\int _ E|f(x)-g _ k(x)|\mathrm{d}x=0;\\
\lim _ {k\to\infty}g _ k(x)=f(x),\quad \text{a. e. }x\in E.
\end{gathered}

推论4：设f\in L([a,b])，则存在其支集在(a,b)内的连续函数列\{g _ k(x)\}，使得

\begin{gathered}
\lim _ {k\to\infty}\int _ E|f(x)-g _ k(x)|\mathrm{d}x=0;\\
\lim _ {k\to\infty}g _ k(x)=f(x),\quad \text{a. e. }x\in E.
\end{gathered}

定理20（平均连续性）：若f\in L(\mathbb{R}^n)，则有

\lim _ {h \to 0} \int _ {\mathbb{R}^{n}}|f(x+h)-f(x)| \mathrm{d} x=0.

推论5：若f\in L(E)，则存在具有紧支集的阶梯函数列\{\varphi _ k(x)\}，使得

\begin{gathered}
\lim _ {k\to\infty}\int _ E|f(x)-\varphi _ k(x)|\mathrm{d}x=0;\\
\lim _ {k\to\infty}\varphi _ k(x)=f(x),\quad \text{a. e. }x\in E.
\end{gathered}

Lebesgue积分与Riemann积分的关系

前面几节已经基本上建立了 Lebesgue 的积分理论，在进一步给出这一理论的其他内容以前，先来揭示它与 Riemann 积分的关系．这一关系可以用一个公式来表达，它不仅说明 Lebesgue 积分是 Riemann 积分的一种推广，而且为一般有界函数的 Riemann 可积性提供了一个简明的判别准则．本节仅讨论一维的情形．

引理1：设f(x)是定义在I = [a,b]上的有界函数，记\omega(x)是f(x)在[a,b]上的振幅（函数），有

\int _ {I} \omega(x) \mathrm{d} x=\overline{I}-I.

其中左端是I上的 Lebesgue 积分，右边是 Darboux 上下积分的差。

定理21：若f(x)是定义在[a,b]上的有界函数，则f(x)在[a,b]上是 Riemann 可积的充分且必要条件是：f(x)在[a,b]上的不连续点集是零测集．

定理22：若f(x)在I= [a,b]上是 Riemann 可积的，则 f(x)在[a,b]上是 Lebesgue 可积的，其积分值相同。

以上说的是[a,b]上有界函数的 Riemann 积分，对于无界函数的瑕积分以及无穷区间上的反常积分，情况就不同了。下述命题表明，此时 Lebesgue 积分指的是绝对收敛的积分．

定理23：设\{E _ k\}是递增可测集合列，其并集是E，f\in L(E _ k) \, (k=1,2,\dots)，若极限\displaystyle \lim _ {k\to\infty}\int _ {E _ k}|f(x)|\mathrm{d}x存在，则f\in L(E)，且有

\int _ {E} f(x) \mathrm{d} x=\lim _ {k \rightarrow \infty} \int _ {E _ k} f _ {k}(x) \mathrm{d} x.

Tonelli定理与Fubini定理

不失一般性，令n=p+q，其中p,q是正整数，
\mathbb{R}^{p}: x=\left(\xi _ {1}, \xi _ {2}, \cdots, \xi _ {p}\right),\mathbb{R}^{q}: y=\left(\xi _ {p+1}, \xi _ {p+2,}, \cdots, \xi _ {n}\right),\\\mathbb{R}^{n}=\mathbb{R}^{p} \times \mathbb{R}^{q}:(x, y)=\left(\xi _ {1}, \cdots, \xi _ {p}, \xi _ {p+1}, \cdots, \xi _ {n}\right).
并记定义在\mathbb R^n上的函数f的积分为
\int _ {\mathbb{R}^{p} \times \mathbb{R}^{q}} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{d} y=\int _ {\mathbb{R}^{n}} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{d} y.
定理24（Tonelli，非负可测函数的情形）：设f(x,y)是\mathbb R^n=\mathbb{R}^{p} \times \mathbb{R}^{q}上的非负可测函数，有

1. 对于几乎处处的x\in\mathbb R^p，f(x,y)作为y的函数是\mathbb R^q上的非负可测函数；

2. 积分\int _ {\mathbb R^q}f(x,y)\mathrm{d}y是\mathbb R^p上的非负可测函数；

\[
\int _ {\mathbb{R}^p}\Big(\int _ {\mathbb{R}^q} f(x, y) \mathrm{d} y\Big) \mathrm{d} x =\int _ {\mathbb{R}^q}\Big(\int _ {\mathbb{R}^p} f(x, y) \mathrm{d} x\Big) \mathrm{d} y=\int _ {\mathbb{R}^{n}} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{d}y.
\]

定理25（Fubini，可积函数的情形）：若(x,y)\in\mathbb R^n=\mathbb R^p\times\mathbb R^q，
f\in L(\mathbb R^n),
则

1. 对于几乎处处的x\in\mathbb R^p，f(x,y)是\mathbb R^q上的可积函数；

2. 积分\int _ {\mathbb R^q}f(x,y)\mathrm{d}y是\mathbb R^p上的可积函数；

\[
\int _ {\mathbb{R}^p}\Big(\int _ {\mathbb{R}^q} f(x, y) \mathrm{d} y\Big) \mathrm{d} x =\int _ {\mathbb{R}^q}\Big(\int _ {\mathbb{R}^p} f(x, y) \mathrm{d} x\Big) \mathrm{d} y=\int _ {\mathbb{R}^{n}} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{d}y.
\]

两定理结合，得到 Fubini-Tonelli 定理。