Riemann映射定理
共形映射
复变函数论的另一个重要组成部分是Riemann共形映射理论。这个理论的基本观点是将全纯函数w = f(z)看做从z平面上的区域到w平面上的区域的映射。也就是说，从几何的观点来看待与处理全纯函数。在第1章中已经提到，若f'(z)\neq 0，则w = f(z)看做一个映射时有共形性，故称之为共形映射，或全纯映射。
首先看到这样一件事实：若U\subseteq \mathbb{C}为域，经过全纯映射w = f(z)后得到f(U)，则f(U)仍是一个域。也称开映射(open mapping) 定理。
在第1章中已经定义，在域U\subseteq\mathbb{C}上定义的函数f(z)称为单叶(univalent) 的，如果f(z _ 1)=f(z _ 2)当且仅当z _ 1 = z _ 2. 于是可有如下的结果：若f(z)在域U\subseteq\mathbb{C}上单叶且全纯，则对任一点z\in U，有f'(z)\neq0. 反之，若在点z _ 0\in U,\, f'(z _ 0)\neq0，则在点z _ 0的一个邻域内，f(z)是单叶的。
此外，容易证明：若w = f(z)在U上单叶且全纯，将U映为G，则反函数z =
g(w)在G上单叶全纯，将G映为U. 因此，单叶全纯映射也称为双全纯映射(biholomorphic mapping).
定理1：若G\subseteq \mathbb{C}为域，\gamma为G内可求长简单闭曲线，其内部U\subseteq G. 若f(z)在G上全纯，把\gamma一对一地映为简单闭曲线\Gamma，则w = f(z)在U上单叶，将U映为\Gamma的内部V.
以下举一些最简单的共形映射的例子。
例1：第二章第五节中已给出，将单位圆映为自己的单叶全纯映射有且只有
w=\mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta} \frac{z-a}{1-\bar{a} z} \quad(a \in B _ 1(0),\, \theta \in \mathbf{R}).
例2：将上半平面\operatorname{Im}z>0映为单位圆B _ 1(0)的单叶全纯映射有且只有
w=\mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta} \frac{z-a}{z-\bar{a}} \quad(\operatorname{Im} a>0,\, \theta \in \boldsymbol{R}),
例3：将上半平面\operatorname{Im}z>0映为上半平面\operatorname{Im}z>0的单叶全纯映射有且只有
w=\frac{a z+b}{c z+d}, \quad a,b,c,d\in\mathbb{R},\, ad-bc>0
如果z=\frac{a w+b}{c w+d}为任意分式线性变换，如将直线看做半径为\infty的圆，则对于分式线性变换，有如下的重要性质：分式线性变换将圆变为圆。
若z _ 1,z _ 2,z _ 3,z _ 4为\mathbb{C}^*中的四个点，至少有三个点是不相同的，称
\left(z _ {1}, z _ {2}, z _ {3}, z _ {4}\right)=\left. \frac{z _ {1}-z _ {3}}{z _ {1}-z _ {4}} \middle/ \frac{z _ {2}-z _ {3}}{z _ {2}-z _ {4}} \right. =\frac{\left(z _ {1}-z _ {3}\right)\left(z _ {2}-z _ {4}\right)}{\left(z _ {1}-z _ {4}\right)\left(z _ {2}-z _ {3}\right)}
为这四点的交比(cross ratio) 。若这四点中有任一点为\infty，则用极限来定义交比。于是可以证明，交比在分式线性变换下是不变的，也就是说，交比在分式线性变换群下是一个不变量。
反过来，如果有一个函数f(z _ 1,z _ 2,z _ 3,z _ 4)在分式线性变换群下是一个不变量，则f只是交比的一个函数。即在这种意义下，在分式线性变换群下的不变量本质上只有交比。
分式线性变换
形如w=T(z)=\frac{a z+b}{c z+d}的映射称为分式线性变换，其中，a, b, c, d 是复常数，且满足 a d-b c \neq 0 . 很明显，如果 a d-b c=0, 则 T(z) 是一常数或无意义,我们排除这种情形。
若c \neq 0, 则除去点 z=-\frac{d}{c} 外, T(z) 在 C 上是全纯的，而
T^{\prime}(z)=\frac{a d-b c}{(c z+d)^{2}} \neq 0,所以分式线性变换在z\neq-\frac{d}{c}处是保角变换。若c=0，则必d\neq0，这时 T(z)=A z+B\left(A=\frac{a}{d}, B=\frac{b}{d}\right)，称为整线性变换，它是一个整函数。
设S 和 T 是两个分式线性变换，那么它们的复合 S \circ T 也是分式线性变换，且对每一个 T，有逆变换 T^{-1}，即 T\left(T^{-1}(z)\right)=z . 所以，分式线性变换的全体在复合运算下构成一个群。与二阶方阵的关系：
设T _ {1}(z)=\frac{a _ {1} z+b _ {1}}{c _ {1} z+d _ {1}},\, T _ {2}(z)=\frac{a _ {2} z+b _ {2}}{c _ {2} z+d _ {2}},\, T(z)=\frac{a z+b}{c z+d} 是分式线性变换，如果记\left(\begin{array}{ll}a _ {1}&b _ {1} \\ c _ {1}&d _ {1}\end{array}\right)\left(\begin{array}{ll}a _ {2}&b _ {2} \\ c _ {2}&d _ {2}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll}a&b \\ c&d\end{array}\right),\; \left(\begin{array}{ll}a&b \\c&d\end{array}\right)^{-1}=\left(\begin{array}{ll}\alpha&\beta \\\gamma&\delta\end{array}\right),那么
\left(T _ {1} \circ T _ {2}\right)(z)=\frac{a z+b}{c z+d},\quad T^{-1}(z)=\frac{\alpha z+\beta}{\gamma{z}+\delta}.预备命题： 设L是\mathbb{C} _ \infty中的圆周，z _ 1,z _ 2\in\mathbb{C}关于L对称，z _ 1\neq z _ 2，则存在\lambda>0使得L能表示为Apollonius圆周
\left|\frac{z-z _ 1}{z-z _ 2}\right|=\lambda;反过来，对于\mathbb{C} _ \infty中的任何Apollonius圆周|(z-z _ 1)/(z-z _ 2)|=\lambda\; (\lambda>0,\, z _ 1\neq z _ 2)，则z _ 1, z _ 2一定关于该圆周对称。
分式线性变换的一些有趣而重要的性质：
定理： 分式线性变换把圆变为圆；对称点在分式线性变换下不变。
定理： 交比是分式线性变换的的不变量，或者说，交比是\mathbb{C}^4 _ \infty上的\operatorname{Aut}(\mathbb{C} _ \infty)不变函数；反过来，当f是\mathbb{C}^4 _ \infty上的\operatorname{Aut}(\mathbb{C} _ \infty)不变函数，即f(z _ 1,z _ 2,z _ 3,z _ 4)是分式线性变换下的不变量，那么f只能是交比的函数。
定理： 有一个而且只有一个分式线性变换把\mathbb{C} _ \infty上三个不同的点映为事先给定的\mathbb{C} _ \infty上的三个点；而且，原像的三点的圆所围的区域映成像的三点所围的区域。这个分式线性变换可通过等式(T(z), w _ 2, w _ 3, w _ 4)=(z, z _ 2, z _ 3, z _ 4)求出。
定理： 四点z _ 1, z _ 2, z _ 3, z _ 4共圆的充要条件是：\operatorname{Im}(z _ 1, z _ 2, z _ 3, z _ 4)=0.
定理： w _ 1, w _ 2关于一给定的\mathbb{C} _ \infty中彼此不同三点所确定的圆周对称的充要条件是
(w,z _ 1,z _ 2,z _ 3)=\overline{(w^*,z _ 1,z _ 2,z _ 3)}.
正规族
在Riemann共形映射理论中，最重要、最深刻的定理是Riemann映射定理。
定理2（Riemann映射定理）：若U\subseteq\mathbb{C}为单连通域，其边界点多于一点，z _ 0为U中任意一点，则在U上存在唯一的一个单叶全纯函数f(z)，将U映到单位圆B _ 1(0)上，且f(z _ 0) ＝ 0,\, f'(z _ 0) >0.
其边界点多于一点的要求是自然的。如果边界点只有一点，不妨取这点为\infty点，若有f(z)将它映到单位圆，于是由Liouville定理，这个函数是常数。
由这个定理立即得到：对于\mathbb{C}中任意两个边界点多于一点的单连通区域，都有单叶全纯函数将一个映为另一个。
若U,V为\mathbb{C}中两个域，且存在一个单叶全纯函数将U映到V上，则称U,V是全纯等价的．于是，Riemann映射定理表明：任意边界点多于一点的单连通区域都是全纯等价的。任意单连通区域是相互拓扑等价的，即可以经过连续变换将一个区
域变到另一个区域，这是显然的。而Riemann映射定理告诉我们：拓扑等价导出全纯等价。这当然是十分深刻的定理。我们还可以看到，这个定理在高维情形就不成立（Poincaré定理）。这就更突出了这个定理在单复变数函数论中的特殊地位。
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