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Riemann映射定理

共形映射

复变函数论的另一个重要组成部分是Riemann共形映射理论。这个理论的基本观点是将全纯函数$w = f(z)$看做从$z$平面上的区域到$w$平面上的区域的映射。也就是说，从几何的观点来看待与处理全纯函数。在第1章中已经提到，若$f'(z)\neq 0$，则$w = f(z)$看做一个映射时有共形性，故称之为共形映射，或全纯映射。

首先看到这样一件事实：若$U\subseteq \mathbb{C}$为域，经过全纯映射$w = f(z)$后得到$f(U)$，则$f(U)$仍是一个域。也称开映射(open mapping) 定理。

在第1章中已经定义，在域$U\subseteq\mathbb{C}$上定义的函数$f(z)$称为单叶(univalent) 的，如果$f(z _ 1)=f(z _ 2)$当且仅当$z _ 1 = z _ 2$. 于是可有如下的结果：若$f(z)$在域$U\subseteq\mathbb{C}$上单叶且全纯，则对任一点$z\in U$，有$f'(z)\neq0$. 反之，若在点$z _ 0\in U,\, f'(z _ 0)\neq0$，则在点$z _ 0$的一个邻域内，$f(z)$是单叶的。

此外，容易证明：若$w = f(z)$在$U$上单叶且全纯，将$U$映为$G$，则反函数$z = g(w)$在$G$上单叶全纯，将$G$映为$U$. 因此，单叶全纯映射也称为双全纯映射(biholomorphic mapping).

定理1：若$G\subseteq \mathbb{C}$为域，$\gamma$为$G$内可求长简单闭曲线，其内部$U\subseteq G$. 若$f(z)$在$G$上全纯，把$\gamma$一对一地映为简单闭曲线$\Gamma$，则$w = f(z)$在$U$上单叶，将$U$映为$\Gamma$的内部$V$.

以下举一些最简单的共形映射的例子。

例1：第二章第五节中已给出，将单位圆映为自己的单叶全纯映射有且只有

$w=\mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta} \frac{z-a}{1-\bar{a} z} \quad(a \in B _ 1(0),\, \theta \in \mathbf{R}).$

例2：将上半平面$\operatorname{Im}z>0$映为单位圆$B _ 1(0)$的单叶全纯映射有且只有

$w=\mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta} \frac{z-a}{z-\bar{a}} \quad(\operatorname{Im} a>0,\, \theta \in \boldsymbol{R}),$

例3：将上半平面$\operatorname{Im}z>0$映为上半平面$\operatorname{Im}z>0$的单叶全纯映射有且只有

$w=\frac{a z+b}{c z+d}, \quad a,b,c,d\in\mathbb{R},\, ad-bc>0$

如果$z=\frac{a w+b}{c w+d}$为任意分式线性变换，如将直线看做半径为$\infty$的圆，则对于分式线性变换，有如下的重要性质：分式线性变换将圆变为圆。

若$z _ 1,z _ 2,z _ 3,z _ 4$为$\mathbb{C}^*$中的四个点，至少有三个点是不相同的，称

$\left(z _ {1}, z _ {2}, z _ {3}, z _ {4}\right)=\left. \frac{z _ {1}-z _ {3}}{z _ {1}-z _ {4}} \middle/ \frac{z _ {2}-z _ {3}}{z _ {2}-z _ {4}} \right. =\frac{\left(z _ {1}-z _ {3}\right)\left(z _ {2}-z _ {4}\right)}{\left(z _ {1}-z _ {4}\right)\left(z _ {2}-z _ {3}\right)}$

为这四点的交比(cross ratio) 。若这四点中有任一点为$\infty$，则用极限来定义交比。于是可以证明，交比在分式线性变换下是不变的，也就是说，交比在分式线性变换群下是一个不变量。

反过来，如果有一个函数$f(z _ 1,z _ 2,z _ 3,z _ 4)$在分式线性变换群下是一个不变量，则$f$只是交比的一个函数。即在这种意义下，在分式线性变换群下的不变量本质上只有交比。

分式线性变换

形如$w=T(z)=\frac{a z+b}{c z+d}$的映射称为分式线性变换，其中，$a, b, c, d$ 是复常数，且满足 $a d-b c \neq 0 .$ 很明显，如果 $a d-b c=0,$ 则 $T(z)$ 是一常数或无意义,我们排除这种情形。
若$c \neq 0,$ 则除去点 $z=-\frac{d}{c}$ 外, $T(z)$ 在 $C$ 上是全纯的，而
$T^{\prime}(z)=\frac{a d-b c}{(c z+d)^{2}} \neq 0,$

所以分式线性变换在$z\neq-\frac{d}{c}$处是保角变换。若$c=0$，则必$d\neq0$，这时 $T(z)=A z+B\left(A=\frac{a}{d}, B=\frac{b}{d}\right)$，称为整线性变换，它是一个整函数。
设$S$ 和 $T$ 是两个分式线性变换，那么它们的复合 $S \circ T$ 也是分式线性变换，且对每一个 $T$，有逆变换 $T^{-1}$，即 $T\left(T^{-1}(z)\right)=z .$ 所以，分式线性变换的全体在复合运算下构成一个群。

与二阶方阵的关系：
设$T _ {1}(z)=\frac{a _ {1} z+b _ {1}}{c _ {1} z+d _ {1}},\, T _ {2}(z)=\frac{a _ {2} z+b _ {2}}{c _ {2} z+d _ {2}},\, T(z)=\frac{a z+b}{c z+d}$ 是分式线性变换，如果记$\left(\begin{array}{ll}a _ {1}&b _ {1} \\ c _ {1}&d _ {1}\end{array}\right)\left(\begin{array}{ll}a _ {2}&b _ {2} \\ c _ {2}&d _ {2}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll}a&b \\ c&d\end{array}\right),\; \left(\begin{array}{ll}a&b \\c&d\end{array}\right)^{-1}=\left(\begin{array}{ll}\alpha&\beta \\\gamma&\delta\end{array}\right),$

那么
$\left(T _ {1} \circ T _ {2}\right)(z)=\frac{a z+b}{c z+d},\quad T^{-1}(z)=\frac{\alpha z+\beta}{\gamma{z}+\delta}.$

预备命题： 设$L$是$\mathbb{C} _ \infty$中的圆周，$z _ 1,z _ 2\in\mathbb{C}$关于$L$对称，$z _ 1\neq z _ 2$，则存在$\lambda>0$使得$L$能表示为Apollonius圆周
$\left|\frac{z-z _ 1}{z-z _ 2}\right|=\lambda;$

反过来，对于$\mathbb{C} _ \infty$中的任何Apollonius圆周$|(z-z _ 1)/(z-z _ 2)|=\lambda\; (\lambda>0,\, z _ 1\neq z _ 2)$，则$z _ 1, z _ 2$一定关于该圆周对称。

分式线性变换的一些有趣而重要的性质：

定理： 分式线性变换把圆变为圆；对称点在分式线性变换下不变。

定理： 交比是分式线性变换的的不变量，或者说，交比是$\mathbb{C}^4 _ \infty$上的$\operatorname{Aut}(\mathbb{C} _ \infty)$不变函数；反过来，当$f$是$\mathbb{C}^4 _ \infty$上的$\operatorname{Aut}(\mathbb{C} _ \infty)$不变函数，即$f(z _ 1,z _ 2,z _ 3,z _ 4)$是分式线性变换下的不变量，那么$f$只能是交比的函数。

定理： 有一个而且只有一个分式线性变换把$\mathbb{C} _ \infty$上三个不同的点映为事先给定的$\mathbb{C} _ \infty$上的三个点；而且，原像的三点的圆所围的区域映成像的三点所围的区域。这个分式线性变换可通过等式$(T(z), w _ 2, w _ 3, w _ 4)=(z, z _ 2, z _ 3, z _ 4)$求出。

定理： 四点$z _ 1, z _ 2, z _ 3, z _ 4$共圆的充要条件是：$\operatorname{Im}(z _ 1, z _ 2, z _ 3, z _ 4)=0$.

定理： $w _ 1, w _ 2$关于一给定的$\mathbb{C} _ \infty$中彼此不同三点所确定的圆周对称的充要条件是
$(w,z _ 1,z _ 2,z _ 3)=\overline{(w^*,z _ 1,z _ 2,z _ 3)}.$

正规族

在Riemann共形映射理论中，最重要、最深刻的定理是Riemann映射定理。

定理2（Riemann映射定理）：若$U\subseteq\mathbb{C}$为单连通域，其边界点多于一点，$z _ 0$为$U$中任意一点，则在$U$上存在唯一的一个单叶全纯函数$f(z)$，将$U$映到单位圆$B _ 1(0)$上，且$f(z _ 0) ＝ 0,\, f'(z _ 0) >0$.

其边界点多于一点的要求是自然的。如果边界点只有一点，不妨取这点为$\infty$点，若有$f(z)$将它映到单位圆，于是由Liouville定理，这个函数是常数。

由这个定理立即得到：对于$\mathbb{C}$中任意两个边界点多于一点的单连通区域，都有单叶全纯函数将一个映为另一个。

若$U,V$为$\mathbb{C}$中两个域，且存在一个单叶全纯函数将$U$映到$V$上，则称$U,V$是全纯等价的．于是，Riemann映射定理表明：任意边界点多于一点的单连通区域都是全纯等价的。任意单连通区域是相互拓扑等价的，即可以经过连续变换将一个区
域变到另一个区域，这是显然的。而Riemann映射定理告诉我们：拓扑等价导出全纯等价。这当然是十分深刻的定理。我们还可以看到，这个定理在高维情形就不成立（Poincaré定理）。这就更突出了这个定理在单复变数函数论中的特殊地位。

Riemann映射定理

对称原理

Riemann曲面举例

Schwarz-Christoffel公式