群的概念
设我们有一个集合S，代数的一个重要研究对象就是集合里的元素能进行的运算。例如对于实数，它们的加法、乘法等就是需要研究的运算。一种运算实际上给出了一个映射，例如乘法的映射是
\begin{aligned}
\mathbb R\times\mathbb R&\to\mathbb R,\\
(a,b)&\mapsto ab.
\end{aligned}例如n阶矩阵乘法
\begin{aligned}
\mathbb R^{n\times n}\times\mathbb R^{n\times n}&\to\mathbb R^{n\times n},\\
(A,B)&\mapsto AB.
\end{aligned}再如映射的复合运算
(f,g)\mapsto g\circ f.
从具体到抽象，我们希望研究较为一般的集合上的某运算：
S\times S\to S.需要适当假定一些额外的结构，可以使得我们在较为一般的情况下还能“有话可说”。群(group)正是这样一种重要的代数对象，一个群就是一个带有适当性质的运算的集合。
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定义：一个群G是一个带有满足一定条件的运算的集合，如果把这种运算记作乘法，那么所说的一定条件是指：
- 结合律：(ab)c=a(bc)，其中a,b,c\in G；
- 单位元：G中有一个单位元素1满足1a=a和a1=a，对所有a\in G都成立；
- 可逆性：G中任一元素a都有一个逆元素b，满足ab=1和ba=1。
如果运算还满足交换律，即总有ab=ba，那么G称作是Abel群。
把运算记作乘法只是为了简便，也可以记为加法或其它记号，如a+b, a\circ b等都是合理的。
结合律是基本的，但也不是总是成立，例如实数减法就不成立：(a-b)-c\neq a-(b-c)，这样减法就不能是群的运算。对于一个运算，当结合律成立时可以无歧义地写出abc等连乘积。
定义要求单位元存在，不难证明是唯一的。n阶矩阵乘法的单位元是单位阵，实数加法的单位元是0，映射的复合的单位元是恒等映射。
逆元也类似，可以证明是唯一的。而且，如果有ab=1,ca=1，那么b=c，从而只需要知道ab=1或ba=1就可以知道b=a^{-1}。逆元的常用性质是(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}。
在上面的定义下，很多对象都可以用群来描述。如整数上的加法群(\mathbb Z,+)，实数上的加法群和乘法群(\mathbb R,+),(\mathbb R^\ast,\times)，复数上的加法群和乘法群(\mathbb C,+),(\mathbb C^\ast,\times)。乘法群里为了逆元存在不能将0包含在内。这些群都是Abel群，也都是无限群。下面两例给出了两个重要的群。
例：n阶可逆实矩阵关于矩阵乘法构成一般线性群，记作\mathrm{GL} _ n(\mathbb R)或\mathrm {GL}(n,\mathbb R)，复数同理。
例：n元集合上的置换关于映射复合构成对称群，记作S _ n，这是个大小（阶）为n!的群。
这两个是比较“大”的群，很多群都被包含在内，成为“子群”。
子群
定义：设H是群G的子集，如果它满足
- 封闭性：a,b\in H\implies ab\in H；
- 包含单位元：1\in H；
- 逆元封闭：a\in H\implies a^{-1}\in H，
那么H关于同样的运算成为G的子群(subgroup)。
子群相当于我们聚焦于一个群的局部，后面将提到，我们还可以从总体上“俯瞰”，研究商群。这种手段是代数学常用的，回顾线性代数，在线性空间理论里也有子空间和商空间。
研究一个群，可以研究它自身的结构，例如循环群\{1,x,\cdots,x^{n-1}\}就是结构比较简单的群；可以研究它和其它群之间的映射，例如同态、同构。然后，可以再从抽象到具体，利用群得到一些具体对象的知识。
之后把n阶循环群（即\{1,x,\cdots,x^{n-1}\}）记作C_n（记作Z_n也是常见的）。
陪集
如果知道群G有一个子群H，那么可以利用它构建一个等价关系：当a,b\in G满足b能被a通过H中元素联系起来：b=ah (h\in H)，则记a\sim b；可以验证\sim有对称性、传递性、自反性，因而是个等价关系。利用这种等价关系，我们可以将G进行划分：如果两个元素等价，就划分到相同的部分，不等价就划分到不同的部分。
对每一部分，设a是里面一个元素，这个部分每个元素都是ah (h\in H)的形式，反过来ah形式的元素都在其中。因此可以用aH表示这一部分，叫做左陪集(coset)。于是，G被划分成一些陪集的并集。
命题：设H是G的子群，H的左陪集划分了群G。
所有不同的左陪集的数量记为[G:H]，叫做子群H的指数(index)。子群H有|H|个元素，那么不难看出任一左陪集aH也都有|H|个元素。于是我们得到一个重要的计数公式
|G|=|H|[G:H].定理(Lagrange)：设H是有限群G的子群，那么H的阶整除G的阶。
设x是群的一个非单位元素，那么由x生成的循环群\langle x\rangle是一个子群，它的阶也叫做x的阶。由上述定理，有限群里一个元素的阶整除群的阶。
质数在涉及整除关系时发挥重要作用。对于阶数为质数p的群，考察其数量信息可以得知它的结构是非常简单的。设a\neq 1是这个群的元素，那么\langle a\rangle是子群，其阶整除p，只能是p，从而这个子群就是群本身。
命题：设群G的阶数为质数p，那么G是循环群\langle a\rangle，其中a\in G。
共轭、正规子群
与左陪集相对，可以考虑右陪集，上面的结论都是类似的。某些时候左陪集和右陪集是相同的。考虑到g=g1=1g，左右陪集相等必须是gH=Hg，这可以看出，就是gHg^{-1}=H。
定义：设a,g\in G，元素gag^{-1}叫做a的共轭，具体点就是对g的共轭。设N是一个子群，如果它对G中任意g的共轭都封闭，即对任意a\in N和g\in G都有gag^{-1}\in N，那么N称作是正规子群。
显然，Abel群的子群都是正规子群。
命题：H是G的正规子群，等价于gHg^{-1}=H（对任意g），等价于gH=Hg（对任意g），等价于左陪集同时都是右陪集。
命题：可以验证，若H是群G的子群，那么gHg^{-1}也是一个子群。
命题：如果群G只有一个r阶子群H，那么由于gHg^{-1}也是r阶子群，它就是H，从而是正规子群。
命题：设N是G的正规子群。令C(x)=\{x'\in G\mid x'=gxg^{-1},\, g\in G\}，也就是跟x共轭的全体，可以称作x的共轭类。
- 若x\in N，那么共轭类C(x)\subseteq N；
- N是共轭类的并；
- |N|是包含的共轭类的阶数之和。
这些命题给出了正规子群的重要性质。
单群
如果子群不是\langle1\rangle或G，那么是真子群。
定义：一个非平凡的群如果不包含正规的真子群，那么它叫做单群。
考虑循环群C _ p，其中p为质数，其子群只有\langle1\rangle和自己，因此没有真子群，自然就是单群。
乘积群
研究群的结构，一种比较理想的情况就是它能够看作是两个小的群的乘积。
定义：设G,G'是两个群，定义G\times G'上的运算
(a,a')(b,b')=(ab,a'b').那么可以验证群的定义所需要求满足，我们得到了乘积群(product group) G\times G'。习惯上也叫直积群。
考察一个循环群，设为C _ 6=\langle x\rangle，的例子，我们总可以将其看作是C _ 2\times C _ 3：设C _ 2=\langle y\rangle，C _ 3=\langle z\rangle，那么C _ 2\times C _ 3里，可以看出(y,z)的阶是6，而C _ 2\times C _ 3也是阶为6，故它是(y,z)生成的6阶循环群，从而可以把C _ 6就“看作”是这个群。
这里的“看作”，可以用群的同构来描述。
同态
如果两个群有类似的结构，那么了解一个群就相当于对另一个群也有所了解。这种“类似”可以用群之间的映射来描述，称作群同态。同态是研究群的重要手段。
定义：设\varphi是群G到群G'之间的映射。如果在群G上进行的运算，相当于\varphi作用下在G'上进行的运算，也就是说
\varphi(ab)=\varphi(a)\varphi(b),那么\varphi称作是同态(homomorphism)，如果\varphi是双射，那么称作是同构(isomorphism)。如果同构的像集是G，即\varphi:G\to G，那么这叫做自同构(automorphism)。
当两个群同构时，它们的元素和运算都完全对应起来，像在镜子前一样，难辨雌雄了。同构的群有完全相同的性质。记号上，G,G'同构我们记G\cong G'。
例：行列式函数\det:\mathrm {GL}(n,\mathbb R)\to(\mathbb R^\ast,\times)是同态。
例：置换的符号所代表的映射\sigma:S _ n\to\{\pm1\}是同态。
例：设g\in G，那么共轭x\mapsto gxg^{-1}是自同构。
核、像
给定一个同态，两个重要的子群随之确定。
定义：设\varphi:G\to G'是同态，它的核(kernel)是指
\ker\varphi=\{a\in G\mid \varphi(a)=1\}.它的像(image)是指
\operatorname{im}(\varphi)=\{x\in G'\mid x=\varphi(a),\, a\in G\}.可以验证它们分别是G和G'的子群。
例：行列式函数的同态\det:\mathrm {GL}(n,\mathbb R)\to(\mathbb R^\ast,\times)对应的核是行列式为1的方阵，它被称作是特殊线性群，记作\mathrm{SL} _ n(\mathbb R)或\mathrm{SL}(n,\mathbb R)。
例：置换符号的同态\sigma:S _ n\to\{\pm1\}对应的核是偶置换，它被称作是交错群，记作A _ n。
核K决定了哪些元素的像相同，如果\varphi(a)=\varphi(b)，那么\varphi(a^{-1}b)=1，a^{-1}b\in K。
命题：\varphi(a)=\varphi(b)\iff a^{-1}b\in K\iff b\in aK\iff aK=bK。
命题：\varphi是单射当且仅当核K是G的平凡群\{1\}。
命题：设b\in \operatorname{im}\varphi，那么a\in\varphi^{-1}(b)当且仅当\varphi^{-1}(b)=aK。从而\{\varphi^{-1}(b)\mid b\in\operatorname{im}\varphi\}是G的划分。
命题：\ker\varphi是G的正规子群。
考察核的左陪集，不同的陪集对应不同的像，因此不难得知
[G:\ker\varphi]=|\operatorname{im}\varphi|.从而
|G|=|\ker\varphi|\cdot|\operatorname{im}\varphi|.
乘积群
现在继续考虑乘积群。设H,K是G的子群。定义
\begin{aligned}
f:H\times K&\to G,\\
(h,k)&\mapsto hk.
\end{aligned}f的像为HK。如果f是单射，设x\in H\cap K，那么由于f(x,x^{-1})=1，只能x=1，这表明H\cap K=\{1\}。反过来，设H,K交于平凡群，且h _ 1k _ 1=h _ 2k _ 2，那么k _ 1k _ 2^{-1}=h _ 1^{-1}h _ 2，只能是1，因此h _ 1=h _ 2且k _ 1=k _ 2，f是单射。
命题：f是单射当且仅当H\cap K=\{1\}。
命题：若H是G的正规子群，那么f的像HK是G的子群。
命题：f是同态当且仅当H,K元素可交换：hk=kh，对所有h\in H及k\in K成立。
命题：f是同构，当且仅当H\cap K=\{1\}，HK=G，H,K都是G的正规子群。
逐一来看，H是G正规子群时，可知HK=KH，从而HKHK=HHKK=HK，以及(hk)^{-1}=k^{-1}h^{-1}\in KH=HK。可知HK是G子群。
f是同态，即f(h _ 1,k _ 1)f(h _ 2,k _ 2)=f(h _ 1h _ 2,k _ 1k _ 2)，即h _ 1k _ 1h _ 2k _ 2=h _ 1h _ 2k _ 1k _ 2，当且仅当k _ 1h _ 2=h _ 2k _ 1。
当H\cap K=\{1\}和HK=G满足时，f是双射，此时f是同构当且仅当H,K可交换，即“交换子”hkh^{-1}k^{-1}=1。设H,K都是正规子群，那么(hkh^{-1})k^{-1}\in KK=K，同时h(kh^{-1}k^{-1})\in HH=H，综合H\cap K=\{1\}，有hkh^{-1}k^{-1}=1。反过来f是同构时，可交换性立知H,K都是正规子群。
现在可以确定所有4阶群的结构了。设x\in G，那么x的阶整除4，如果就是4，那么这个群是4阶循环群，和循环群C _ 4同构。如果所有非1元素的阶都是2，即x^2=1，那么x=x^{-1}。设x,y\in G，x\neq y，那么xy阶数是2，xyxy=xyx^{-1}y^{-1}=1，这表明x,y可交换，从而可知G是Abel群。Abel群的子群都是正规子群。令y\neq 1，由上述命题，G同构于\langle x\rangle\times\langle y\rangle。这种同构类的典型是Klein四群：\{\operatorname{diag}(\pm1,\pm1)\}。
命题：4阶群有两种同构类，一种是循环群C _ 4，一种是Klein四群，与C _ 2\times C _ 2同构。
对应定理
同态也能帮助我们了解两个群的子群的联系。我们设\varphi:G\to\mathcal G是一个同态，核\ker \varphi=K。再设\mathcal H是\mathcal G的子群，其原像是\varphi^{-1}(\mathcal H)=H。可以直接地验证下面命题。
命题：H是包含核K的群G的子群。如果\mathcal H是正规子群，那么H是正规子群。如果H是正规子群，另外还有\varphi满射，那么\mathcal H是正规子群。
定理（对应定理）：在上面假设下，设\varphi满射，那么通过\varphi可以建立\mathcal G的子群和G的包含核K的子群之间的一一对应。\mathcal G的子群\mathcal H对应的是\varphi^{-1}(\mathcal H)；或者也可以说G的包含K的子群对应的是\varphi(H)。设H与\mathcal H对应，那么其中一个是正规子群等价于另一个是正规子群；此外还有数量关系|H|=|\mathcal H||K|。
首先这个对应确实是一一对应：一方面\varphi(\varphi^{-1}(\mathcal H))=\mathcal H，另一方面，设x\in \varphi^{-1}(\varphi(H))，则\varphi(x)\in\varphi(H)，设\varphi(x)=\varphi(a)，其中a\in H，那么a^{-1}x\in K\subseteq H，因此x=a(a^{-1}x)\in H，这表明\varphi^{-1}(\varphi(H))\subseteq H，而H\subseteq\varphi^{-1}(\varphi(H))，因此\varphi^{-1}(\varphi(H))=H。这就证明了双射。
正规子群的等价性由上面的命题给出；阶的关系由|H|=|\operatorname{im}\varphi||\ker\varphi|直接得出。
商群
当N是群G的一个正规子群，那么N的陪集构成的集族构成一个群，叫做商群，记为G/ N。这里子群要求要是正规的，基于如下的考虑：N正规时，设aN,bN是两陪集，那么(aN)(bN)=a(Nb)N=abNN=abN。所以此时有机会在陪集上定义运算，让它们成为群。
设\pi:G\to G/N定义为\pi(a)=aN，称作典则映射，这是一个满射。那么G/N上的运算满足\pi(ab)=\pi(a)\pi(b)。如果G/N关于这运算成为群，那么\pi就是一个同态了。逐一验证群定义要求的条件，G/N确实成为一个群。可参考如下引理：
引理：设G是群，Y是一个带运算的集合，如果存在一个\varphi:G\to Y满足它是满射且总有\varphi(ab)=\varphi(a)\varphi(b)，a,b\in G，那么Y是一个群，从而\varphi是群同态。
可以证明\ker \pi=N。求\pi的核，就是考察\pi(a)=\pi(1)，即aN=N，这当且仅当a\in N。
定理（第一同构基本定理）：设\varphi:G\to G'是一个满射的同态，核为N。那么，商群\overline{G}=G/N同构于像集G'。具体来说，设\pi:G\to\overline{G}是典则映射，那么有唯一的同构\overline\varphi:\overline G\to G'使得\varphi=\overline\varphi\circ\pi。
推论：设像集是H'，那么商群G/N同构于H'。
例如，\mathrm {GL}(n,\mathbb R)\operatorname/\mathrm {SL}(n,\mathbb R)同构于(\mathbb R^\ast,\times)。
群的作用
既然群的本质是带有一个运算的集合，而它的运算是一种映射，那么能不能将群本身也当作映射来处理？运算要满足的条件是结合律、单位元和逆元，如果能视作映射，那么映射自然就有结合律、恒等映射和逆映射。我们假设一个集合S，考虑在上面定义映射g:S\to S'，使得这些映射g能表示一个群G。因为这些映射要能复合起来，考虑S'=S，也就是g:S\to S。这样就有结合律g _ 3\circ (g _ 2\circ g _ 1)=(g _ 3\circ g _ 2)\circ g _ 1，为了满足群的条件我们让映射的复合对应群运算。群要有单位元，对应恒等映射。群要有逆元，意味着我们只能考虑双射，此时g都是S上的置换。这样我们将群里的每个元素都用一个置换来表示了。
这种看法就是群在集合上的作用(group action, group operation)。也可以这么描述：考虑映射
\begin{aligned}
G\times S&\to S,\\
(g,s)&\mapsto g\cdot s.
\end{aligned}按前面的讨论，对于复合g\cdot (g'\cdot s)，我们需要它等于(gg')\cdot s。对于1\in G，我们需要1\cdot s= s。此时g\cdot (g^{-1}\cdot s)=g^{-1}\cdot (g\cdot s)=s，于是映射s\mapsto g\cdot s总是双射了。
定义：群G在集合S上的作用G\times S\to S定义为g\cdot s，或简记为gs，要求满足：
- 结合律：g\cdot (g'\cdot s)=(gg')\cdot s，对所有g,g'\in G和s\in S成立；
- 对所有s\in S都有1\cdot s=s。
例如，对称群S _ n就可以作用在集合\{1,2,\cdots,n\}上，每个元素的作用就是对这n个数的置换。
置换表示
前面已经提到，一个群可以用一些置换表示，也就是说，可以定义一个
\varphi:G\to S _ n.这个\varphi是群G到对称群S _ n上的同态，是G的置换表示。如果考虑S _ n的作用，\varphi:G\to\operatorname{Perm}(S)也叫做G的置换表示。
命题：一个群元素用哪个置换表示不是固定的，我们更换群的置换表示，群的作用也随之更改。它们是一个一一对应：
\{\text{group action}\}\longleftrightarrow\{\text{permutation representation}\}.忠实作用：如果群的元素都对应不同的置换，那么置换表示是单射，此时称这个作用是忠实的(faithful)。
单射也就是\varphi(g _ 1)=\varphi(g _ 2)可推出g _ 1=g _ 2，前者等价于\varphi(g _ 1g _ 2^{-1})=1，后者等价于g _ 1g _ 2^{-1}=1，于是有如下命题。
命题：群作用是忠实的等价于，只有单位元的置换表示是恒等置换：gs\equiv s\implies g=1。
一种特殊的群作用就是群作用在自己身上，也就是S=G，群的运算G\times G\to G可以直接看成是群作用。此时这个群作用显然是忠实的，从而是单射。那么置换表示可以导出一个同构。
定理(Cayley)：每个n阶群同构于对称群S _ n的一个子群。
对称群是非常大的群，因而Cayley定理难以提供更多有效信息。
轨道、稳定子
对于一个s\in S，群作用得到它的一个轨道(orbit)
O _ s=\{s'\in S\mid s'=g\cdot s,\, g\in G\}.它的稳定子(stabilizer)是指作用到s上保持不变的群元素：
G _ s=\{g\in G\mid g\cdot s=s\}.不难看出，s和s'=g\cdot s有相同的轨道，那么通过轨道建立起来的关系是等价关系。等价关系给出集合的划分，于是：
命题：轨道划分了集合S。
如果只有一个轨道，那么每个集合元素都可以通过群的元素作用来得到集合的其它任一元素，这样的群作用叫做是传递的(transitive)。例如对称群S _ n作用到1,2,\dots,n上就是传递的，而其中的n的稳定子则表示“n不变、其余置换”的置换，也就与S _ {n-1}同构。
命题：可以直接验证，稳定子构成G的子群。
之前考虑群同态\varphi:G\to G'时，核K给出了x,y\in G何时有相同的像的信息：x^{-1}y\in K。而在群作用上，稳定子G _ s给出的是x,y何时对s有相同的作用。
命题：设a,b\in G，则as=bs\iff a^{-1}b\in G _ s，也就是b\in aG _ s。
命题：设a\in G，那么s'=as的稳定子是G _ s的共轭子群
G _ {s'}=aG _ sa^{-1}=\{g\in G\mid g=aha^{-1},\, h\in G _ s\}.设g\in aG _ sa^{-1}，表示成g=aha^{-1}，那么gs'=aha^{-1}as=ahs=as=s'，因而aG _ sa^{-1}\subseteq G _ {s'}。反过来，s=a^{-1}s'，由于已经得知a^{-1}G _ {s'}a\subseteq G _ s，那么G _ {s'}\subseteq aG _ sa^{-1}。综合即知G _ {s'}=aG _ sa^{-1}。
子集、陪集上的群作用
子集：
当群作用到的集合是一个集族时，群就是作用到一个集合上。如果群作用到一些集合里的元素都已经有定义的话，就可以自然导出群在集族上的作用。
设G作用到S上，那么G也可以作用到S的r元子集U上：
|U|=r\implies |gU|=|\{gu\mid u\in U\}|=r.直接验证可知群作用的条件成立，因此G可以作用到S的r元子集构成的集族上。为清晰起见，强调U的集族元素属性、弱化其集合属性，会把它记作[U]，这样g作用的结果是g[U]。
[U]的稳定子即满足g[U]=[U]的g，也就是说g对U的作用是对U的置换。
陪集：
设H是G的子群，那么形如aH的陪集划分了G。我们将这些陪集构成的集合也记为G/H，当H是正规的时，G/H成为商群，与前面一致。当然H不一定正规，但是还是可以知道：
命题：群G可作用在G/H上。设陪集C=aH，那么gC:=gaH。
命题：上述作用是传递的(transitive)；陪集H的稳定子恰好是H。
我们考虑陪集上的群作用，一个重要原因就是，群作用在一个集合元素上和作用在陪集上是一一对应的。
命题：设G _ s,O _ s是集合元素s的稳定子和轨道。可以定义一个映射G/G _ s\to O _ s，定义为aG _ s\mapsto as，这个映射还是个双射。
先证明这个映射良定。设aG _ s=bG _ s，那么要证as=bs。这条件表明a^{-1}b\in G _ s是稳定子，从而a^{-1}bs=s，所以as=bs，映射良定。反过来看，as=bs\implies aG _ s=bG _ s，这表明映射是单射。满射是显然的。
轨道和稳定子联系起来了。于是由|G|=|G _ s||G/G _ s|可推出下面的计数公式（或称轨道-稳定子定理）：
命题：G的阶等于稳定子G _ s的阶乘轨道O _ s的阶：
|G|=|G _ s||O _ s|.
例：考察一个正六面体魔方，我们对其进行整体旋转，使得面的相对位置发生一定变动。保持前面位置不变的旋转有4种，即从前面望去顺时针旋转0,90,180,270度。如果也考虑其它旋转，前面的结果可以是6个面的任一个，也就是说轨道的阶是6。从而一共有24种旋转。可以用另一种计数法验证：旋转后的顶面有6种取法，底面随之固定，然后前面剩4种取法，取定后剩余的面随之固定，因此一共24种选法，每种各对应一种旋转。
另一个有用的公式是利用轨道划分了S：
|S|=|O _ 1|+|O _ 2|+\cdots+|O _ k|.
再考虑魔方的例子，有8个顶点，我们可以绕每个顶点旋转0,120,240度。对一个顶点v来说，它的稳定子是3阶循环群H。H轨道的阶整除|H|=3，顶点数为八，因此需要两个阶数为1的H轨道。顶点v的H轨道只有自己，同时它的对顶点的H轨道也只有自己。剩下6个顶点构成两个3阶轨道，上式就是8=1+1+3+3。
自身上的共轭作用
共轭作用是另一种作用到自身的群作用。定义是g\cdot x:= gxg^{-1}，可以验证群作用所需的条件成立。
对于一个x\in G，其轨道是
C(x)=\{x'\in G\mid x'=gxg^{-1},\, g\in G\}.叫做x的共轭类(conjugacy class)。稳定子是
Z(x)=\{g\in G\mid gxg^{-1}=x\}=\{g\in G\mid gx=xg\}.叫做x的中心子(centralizer)，中心子就是能和x交换的元素。
如果x的中心子是群的全部，也就是x能和任意群元素交换，那么这种x构成的集合叫做群的中心：
Z=\{z\in G\mid zy\equiv yz\}.不难看到，中心是群的一个正规子群。
轨道-稳定子定理现在写为|G|=|C(x)||Z(x)|。
命题：x\in Z(x)，Z\subseteq Z(x)。x\in Z\iff Z(x)=G\iff C(x)=\{x\}。
共轭类方程由前文结果直接得到：
|G|=|C _ 1|+|C _ 2|+\dots+|C _ k|.由于C(1)=\{1\}，一般将C _ 1设定为1的共轭类，从而|C _ 1|=1。
此外：右边每一项都整除左边，这是因为轨道的阶总是整除群的阶。这是非常强的限制，方程的可能性大为减少。
考虑对称群S _ 3的例子，这是个6阶群。轮换x=(123)的阶数是3，因此G的子群Z(x)是3阶或6阶（稳定子是子群）。如果是6阶，那么x与任意群元素可交换，但x与y=(12)不可交换，因此|Z(x)|=|\langle x\rangle|=3，从而|C(x)|=2。同样地|C(y)|=3，共轭类方程已经可以写出：6=1+2+3。
正规化子
设H是群G的子群，考虑共轭作用gHg^{-1}，H的稳定子叫做H的正规化子(normalizer)，记为
N(H)=\{g\mid gHg^{-1}=H\}.命题：上述记号下，
- H是N(H)的正规子群；
- H是G的正规子群当且仅当N(H)=G；
- |H|\mathrel{\big|}|N(H)|且|N(H)|\mathrel{\big|}|G|。
对称群中的共轭
一种比较好的理解对称群中的共轭的方式是重新标记，例如将12345重新标记为abcde，那么p=(134)(25)就变为了(acd)(be)。我们将重新标记对应的映射记为\varphi:I\to L，使\varphi(1)=a，\varphi(2)=b，等等。新的字母表示的置换就有了如下表达：\varphi\circ p\circ\varphi^{-1}。先用\varphi^{-1}将字母变回数字，再按原来的p进行置换，最后用\varphi变回字母。
“重新标记”也可以是一种置换，就是用同一套标记来标记不同的对象。设这个置换是q，所得的结果就是共轭p'=qpq^{-1}。例如，设p=(134)(25)，q=(1452)，那么q'=(435)(12)。
可以看到，因为只是进行了重命名这一操作，置换及其共轭的循环节的长度都是相同的。反过来，一个新置换p'的循环节长度和原来的p都相同，那么就可以找到一个排列q使得p'=qpq^{-1}。在上面的例子中，我们可以将p,p'上下写在一起，从上往下读就可以知道“重新标记”的q应是什么样了。
\frac{(134)(25)}{(435)(12)}\implies \binom{1}{4}\binom33\binom45\binom21\binom52.意即q(1)=4，q(3)=3等。
循环可以从任一元素开始写，因而多数时候，q不是唯一的。
命题：置换p,p'是对称群中的共轭当且仅当循环节都有相同的长度。
例：利用这个命题，我们可以写出S _ 4的共轭类方程。考虑1,2,3,4的置换，循环节分解给出了\{1,2,3,4\}的一个划分。划分的大小可以有若干可能：1,1,1,1；2,1,1；2,2；3,1；4。它们分别代表：恒等置换、一对的对换、不交的两对的对换、三循环、四循环。上述命题表明各代表一个共轭类，分别有1,\binom42=6,\binom42/2,\binom43\cdot2,\binom44\cdot3!种可能，因此S _ 4共轭类方程就是
24=1+3+6+6+8.交错群
本节最后，我们证明下面的定理。前面定义过，一个非平凡的群如果不包含正规的真子群，那么叫做单群。
定理：对n\geqslant5，交错群A _ n是单群。
对于n<5的情形，A _ 2是平凡群，A _ 3是三阶循环群，A _ 4的如下元素构成的子群可验证是正规子群：\{1,(12)(34),(13)(24),(14)(23)\}，因而A _ 4不是单群。
为证明这个定理前，证两个引理。
引理：对n\geqslant3，交错群A _ n可由三循环生成。
引理：对n\geqslant 5，所有三循环组成A _ n一个共轭类。
当n\geqslant 3，设p是一个偶置换，那么p包含一个k循环（k\geqslant3）或两个不交的对换。若有k循环，不妨设p包含(12\cdots k)，考察qp，其中q=(321)，那么qp包含(1)(2)(34\cdots k)；若有两个对换，不妨设p包含(12)(34)，那么qp含(1)(234)。两种情况都使得1固定，有所变化的序号都有所减少，重复这一过程，可知p左乘一列三循环是恒等置换，从而p可表示为三循环乘积。
当n\geqslant 5，设q=(123)，而q'是另一三循环，由前面的命题，循环节都相同则是对称群中的共轭，这表明q'=pqp^{-1}。如果p是偶置换，那么q,q'是A _ n中的共轭。如果p是奇置换，令r=(45)\in S _ n，这里利用了n\geqslant 5，那么rqr^{-1}=q，p'=(pr)q(pr)^{-1}且pr是偶置换。这就证明了第二个引理。
然后回到定理。设n\geqslant 5，N是A _ n的非平凡正规子群，要证N=A _ n。利用上述引理，只需要证N有一个三循环，那么N包含所有三循环，从而可生成A _ n。
现在知道的是有一个x\in N且x\neq 1，我们可以通过左乘、取逆、共轭来构造N中的新元素。对任一g\in A _ n，gxg^{-1}\in N，从而交换子gxg^{-1}x^{-1}\in N。我们下面将利用交换子来构造一个三循环。
设x阶数为n，取n的一个质因子p（注意这里的符号略为滥用了，前面的p是置换后面是质数），那么(x^{n/p})^p=1，用x^{n/p}代替x，使得我们有一个阶是质数的x，这个置换的循环节表示里只有p循环和1循环。下面开始分情况讨论，通过试验不同的g使得交换子gxg^{-1}x^{-1}是三循环。
情况1：x阶数至少为5。不妨设x包含(12\cdots p)，令g=(432)，那么gxg^{-1}x^{-1}结果中除1,2,\cdots,p外保持不变，计算
gxg^{-1}x^{-1}=(1423\cdots p)\circ(p\cdots21)=(452).情况2：x阶数是3。如果x本身就是三循环，那么欲证成立，否则不妨设x包含两个三循环(123)(456)，仍令g=(432)，那么
gxg^{-1}x^{-1}=(142)(356)\circ(321)(654)=(15243).得到一个5循环，化归为情况1。
情况3(1)：x阶数是2且包含1循环。由于是偶置换，不妨设x包含(12)(34)(5)，令g=(531)，则
gxg^{-1}x^{-1}=(52)(14)(3)\circ(12)(34)=(15243).得到一个5循环，化归为情况1。
情况3(2)：x阶数是2且不包含1循环，由于n\geqslant 5，必至少包含三个不交的二循环，不妨设包含(12)(34)(56)，仍令g=(531)，那么
gxg^{-1}x^{-1}=(52)(14)(36)\circ(12)(34)(56)=(153)(246).化归为情况2。
这就完全证明了定理。
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