Cauchy-Green公式（Pompeiu公式）
Cauchy积分理论是复变数函数论中的三个主要组成部分之一。有了Cauchy积分理论，复变数函数论才形成一门独立的学科，并由此导出一系列在微积分中得不到的结果。
先从Cauchy-Green公式开始，这是上一章中的定理2（复形式的Green公式）的直接推论。
定理1（Cauchy-Green公式，Pompeiu公式）：
若U\subseteq\mathbb{C}为有界域，有C^1边界，即边界为光滑曲线，f(z)=u(x,y)+\mathrm{i}\, v(x,y)\in C^1(\bar U)，即u(x,y),v(x,y)在\bar U上有一阶连续偏导，则
f(z)=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\int_{\partial U}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta-\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\iint\limits_{U}\frac{\partial f(\zeta)}{\partial\bar\zeta}\cdot\frac{\mathrm{d}\bar{\zeta}\wedge\mathrm{d}\zeta}{\zeta-z}\\=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\int_{\partial U}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta-\frac{1}{\pi}\iint\limits_{U}\frac{\partial f(\zeta)}{\partial\bar\zeta}\cdot\frac{\mathrm{d}A}{\zeta-z}
由定理1, 立得
定理2（Cauchy积分公式）：若U\subseteq\mathbb{C}为有界域，有C^1边界，f(z)为U上全纯函数，且f(z)\in C^1(\bar U)，则
f(z)=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\int_{\partial U}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta
由此还可以立即得到
定理3（Cauchy积分定理）：若U\subseteq\mathbb{C}为有界域，有C^1边界，F(z)为U上全纯函数，且F(z)\in C^1(\bar U)，则
\int_{\partial U}F(\zeta)\mathrm{d}\zeta=0
对定理3，不妨假设U包含原点，令f(z)=zF(z)，以此代入定理2，再令z=0，即得定理3
也就是说，Cauchy积分公式可以推出Cauchy积分定理。当然，定理3也可以由Cauchy-Green定理直接证明。
反过来， 由Cauchy积分定理可以推出Cauchy 积分公式。可以这样来进行：在U中固定一点z_0，考虑U除去z_0为中心的小圆后的域，取F(z)=\frac{f(z)}{z-z_0}， 如同证明定理1那样，立得定理2。
因此，定理2 、定理3是相互等价的。而这两条相互等价的定理却是复变函数论的重要基石之一。
Cauchy型积分：设\gamma是\mathbb{C}中一条可求长曲线（不一定是闭的），g是\gamma上的连续函数，如果z\in \mathbb{C}\backslash\gamma，那么积分\frac{1}{2 \pi i} \int_{\gamma} \frac{g(\zeta)}{\zeta-z} \mathrm{~d} \zeta是存在的，它定义了\mathbb{C}\backslash\gamma上的一个函数
g(z)=\frac{1}{2 \pi i} \int_{\gamma} \frac{g(\zeta)}{\zeta-z} \mathrm{~d} \zeta.
称它为Cauchy型积分，由Cauchy型积分确定的函数有很好的性质。
定理：G(z)在\mathbb{C}\backslash\gamma上有任意阶导数，而且
G^{(n)}(z)=\frac{n !}{2 \pi \mathrm{i}} \int_{\gamma} \frac{g(\zeta)}{(\zeta-z)^{n+1}} \mathrm{~d} \zeta,\quad n=1,2, \cdots
Pompeiu公式的另一个重要应用是解一维的\bar\partial-问题，将在后面用到。
定理4（一维\bar\partial-问题的解）：若\psi(z)\in C^1(\mathbb{C})，且有紧致支集，令
u(z)=-\frac{1}{2 \pi \mathrm{i}} \iint_{C} \frac{\psi(\zeta)}{\zeta-z} \mathrm{~d} \bar{\zeta} \wedge \mathrm{d} \zeta,
则u(z)\in C^1(\mathbb{C})，且为\frac{\partial u(z)}{\partial \bar{z}}=\psi(z)的解。
定理4还可以有以下推论：
推论1：若\psi(z)\in C^1(\mathbb{C})，且\psi(z)在\mathbb{C}上绝对可积，则有定理4中定义的u(z)\in C^1(\mathbb{C})，且为\frac{\partial u(z)}{\partial \bar{z}}=\psi(z)的解。
Cauchy-Goursat定理
Cauchy当初建立的积分公式与积分定理就是定理2及定理3的形式，之后Goursat去掉了f(z)\in\mathbf{C}^1(\bar{U})的条件，成为Cauchy-Goursat积分公式与积分定理，从而成为一般应用的公式与定理。
定理2'（Cauchy-Goursat积分公式）：
若U\subseteq C为有界域，\partial U为可求长简单闭曲线，若f(z)在U上全纯，在\bar{U}上连续，则有
f(z)=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\int_{\partial U}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\, \mathrm{d}\zeta.
定理3'（Cauchy-Goursat积分定理）：
若U\subseteq C为有界域，\partial U为可求长简单闭曲线，若f(z)在U上全纯，在\bar{U}上连续，则有
\int_{\partial U}f(\zeta)\, \mathrm{d}\zeta=0.
这两个定理也是等价的。可先证明：
引理：若f(z)是单连通区域G\subseteq \mathbb{C}上的全纯函数，则沿G内任意一条逐段光滑闭曲线\varGamma所取的积分
\int_{\varGamma}f(\zeta)\, \mathrm{d}\zeta=0.
定理3'对多连通区域也是成立的。因为这可以将多连通区域用若干曲线分割成若干个单连通区域之和，而在辅助线上的积分都是相互抵消的。
这也可叙述为：若\gamma_0,\dots,\gamma_n为n+1条可求长的曲线，而\gamma_1,\dots,\gamma_n全在\gamma_0之内，\gamma_1,\dots,\gamma_n中每一条曲线都在其他各条曲线的外部，U为由\gamma_0,\dots,\gamma_n所围成的域，即U的边界\partial U由\gamma_0,\dots,\gamma_n所组成。若f(z)在U上全纯，在\bar{U}上连续，则
\int_{\partial U}f(z)\, \mathrm{d}z=0.
由定理3'，如f(z)在U上全纯，z_0,z为U内两点，于是可以定义f(z)的积分为
F(z)=\int_{z_0}^z f(\zeta)\, \mathrm{d}\zeta.
这个积分不依赖于路径的选取。显然，F'(z)=f(z)成立。
Taylor级数与Liouville定理
由Cauchy积分公式和Cauchy积分定理，立即可以得到一系列重要的推论，这一节以及以下各节都是它们的重要推论。
定理5：若f(z)在U \subseteq \mathbb{C}上全纯，在\bar U上连续，则f(z)在U上的每一点，各阶导数存在，且
f^{(n)}(z)=\frac{n !}{2 \pi \mathrm{i}} \int_{\partial U} \frac{f(\zeta)}{(\zeta-z)^{n+1}} \mathrm{d} \zeta \quad(n=1,2, \cdots).
若z_0\in U,\, \bar B_r(z_0)\subset U，则f(z)在B_r(z_0)中可展开成Taylor级数：
f(z)=\sum_{j=0}^{\infty} a_{j}\left(z-z_{0}\right)^{j}.
该级数在B_r(z_0)中绝对和一致收敛，且有
a_{j}=\frac{1}{2 \pi \mathrm{i}} \int_{\partial U} \frac{f(\zeta)}{\left(\zeta-z_{0}\right)^{j+1}} \mathrm{d} \zeta.
定理5表明：对于复变数函数来讲，如果一个函数的一阶导数存在，则任意阶导数都存在，而且可以展成Taylor级数．这个性质，对实变数函数来讲是没有的．这显示了复变数函数与实变数函数的根本区别之一。在上一章第三节中，定义一个复变数函数f(z)在域U \subseteq \mathbb{C}上是全纯的，若f(z)在U上每一点其导数是存在的。由定理5知道，这也可以定义为：f(z)在U上每一点z全纯，如果在这点的一个邻域中，f(z)可以展开成为收敛幕级数。显然，这两种定义是等价的。
由定理5，立即得到
定理6：
(1) Cauchy不等式：若f(z)在U \subseteq \mathbb{C}上全纯，\subseteq U，令\displaystyle M=\max _{z \in B_R(z_0)}|f(z)|，则
\left|f^{(j)}\left(z_{0}\right)\right| \leqslant \frac{j ! M}{R^{j}} \quad(j=1,2, \cdots).
(2) 若U \subseteq \mathbb{C}，K为U中的一个紧集，V为K的一个领域且在U中是相对紧的（即\bar V是U的一个紧子集，则对每一个在U中全纯的函数f(z)，存在函数c_n(n=1,2,\dots)，使得
\sup _{z \in K}\left|f^{(n)}(z)\right| \leqslant c_{n}|f|_{L(V)}. \quad(n=1,2, \cdots)
f在V上的L模为
\frac{1}{A(V)} \iint_{V}|f(\zeta)| \mathrm{d} A.
A(V)为V的面积。
Cauchy不等式给出全纯函数的各阶导数的模在一点的估计，而(2)给出全纯函数的各阶导数的模在一个紧致集合上的估计。
由(2)，立得
推论1：若U \subseteq \mathbb{C}，K为U中的一个紧集，且在U中是相对紧的，则对每一个在U中的全纯函数f(z)，存在不依赖于z的常数c_n\, (n = 1,2,\dots)，使得
\sup _{z \in K}\left|f^{(n)}(z)\right| \leqslant c_{n} \sup _{z \in V}|f(z)|. \quad(n=1,2, \cdots)
这个推论也可由定理5直接推出。但定理6(2)却不能被定理5推出，故定理6(2)是一条更为深刻的定理。
由定理5，立即得到定理3'(Cauchy-Goursat积分定理）之逆。
定理7（Morera定理）：若f(z)在U上连续，且沿U中任意一条可求长闭曲线
的积分为零，则f(z)在U上全纯。
由定理6，还可以立即得到重要的：
定理8（Louville定理）：若f(z)在全平面\mathbb{C}上全纯且有界，则f为常数。
Liouville定理表明：在整个复平面\mathbb{C}上全纯且有界的函数，只有常数．这个定理在后面章节中进一步讨论。
定理9（Riemann定理）：若F在圆B_r(\check z_0)内全纯，且F在其上有界，则F可解析开拓到B_r(z_0)上，即有在B_r(z_0)上定义的全纯函数f，使得f|_{B_r(\check z_0)}=F.
零点的一些结果
由Cauchy积分公式及Cauchy积分定理可以得到一系列有关零点的推论。
定理10（代数基本定理）：若p(z)=a_{0}+a_{1} z+\cdots+a_{n} z^{n}为n次多项式，则至少有一个z_0，使p(z_0)=0.
定理11：若f(z)在域U\subseteq\mathbb{C}上全纯，则f(z)的零点集合\left\{z\in U\mid f(z)=0\right\}在U上无聚点，除非f(z)在U上恒等于零。
由定理11，立即得到唯一性定理：若h_1(z),h_2(z)为域U\subseteq\mathbb{C}上的两个全纯函数，E为U中一个有聚点的集合，其聚点在U中，如在E上h_1(z)=h_2(z)，则在U上也有h_1(z)=h_2(z)。即全纯函数在U上的值，可以由聚点在U内的点集上的值所完全决定。例如一些三角恒等式取实数值时成立，即可导出在复数时也成立。
定理12（辐角原理）：若f(z)在域U\subseteq\mathbb{C}上全纯，\gamma\subset U为一条正定向简单闭曲线，且在U中可连续地缩成一个点，f(z)在\gamma上不为零，则f(z)在\gamma内有有限个零点，零点的个数k（重根计算在内）为
k=\frac{1}{2 \pi \mathrm{i}} \int_{\gamma} \frac{f^{\prime}(z)}{f(z)} \mathrm{d} z.
若记w=f(z),\; z=z(t) \, (t \in[a, b])是\gamma的与定向相符的参数表示，w(t)=f(z(t))，则有
k=\frac{1}{2 \pi \mathrm{i}} \int_{\gamma} \frac{f^{\prime}(z)}{f(z)} \mathrm{d} z=\frac{1}{2 \pi \mathrm{i}} \int_{\Gamma} \frac{\mathrm{d} w}{w}=\frac{1}{2 \pi} \Delta_{\gamma} \operatorname{Arg} w.
最后一个等式利用了
\frac{1}{2 \pi \mathrm{i}} \int_{\Gamma} \frac{\mathrm{d} w}{w}=\frac{1}{2 \pi \mathrm{i}} \int_{\Gamma} \mathrm{~d}(\ln |w|+\mathrm{i}\operatorname{Arg}w).
\Gamma为\gamma在w=f(z)映射下的像，\Delta_{\gamma} \operatorname{Arg} w表示当z在\gamma上正向绕行一周时w在\Gamma上的辐角变化。这说明当z沿着\gamma的正方向转动一圈时，w = f(z)在\Gamma上沿正方向绕原点转动的总圈数，恰好等千f在\gamma内的零点的个数。所以，这个定理也叫做辐角原理。
定理13（Hurwitz定理）：若\{f_j\}为U\subseteq\mathbb{C}上的全纯函数序列，在U内紧致集合上一致收敛（即内闭一致收敛）到一个函数f，若所有的f_j在U上全不取零，则f或者恒不等于零或者恒等于零。或者：不妨设f不恒为零，\gamma是D中一条可求长简单闭曲线，内部属于D，且不经过f的零点，那么当n充分大时总有f_n与f在\gamma内部的零点个数相同。
定理14（Rouché定理）：若f(z),g(z)在域U\subseteq\mathbb{C}上全纯，\gamma为U内可求长简单闭曲线，且在\gamma上满足
|f(z)-g(z)|<|f(z)|,
则f,g在\gamma内有相同的零点个数。
用Rouché定理，立即可以证明：若a_n\neq 0，则p(z)=a_{n} z^{n}+a_{n-1} z^{n-1}+\cdots+a_{0}有且只有n个零点，即p(z) = 0有且只有n个根。这可证明如下：令g(z)=a_n z^n，则当|z|=R充分大时，
|p(z)-g(z)|=\left|a_{n-1} z^{n-1}+\cdots+a_{0}\right|<|g(z)|=|a_n||z|^n.
故由Rouché定理，在|z|<R内，p(z)与g(z)有相同的零点个数，而g(z)显然有n个零点，故p(z)也是如此。
作为Rouché定理的推论，有：
定理15：若f(z)在U\subseteq\mathbb{C}上全纯，w_0=f(z_0)\, (z_0\in U)，若z_0是f(z)-w_0的m重零点，则对于充分小的\rho>0，存在\delta>0，使得对于B_\delta(w_0)内的每一点A，函数f(z)-A在B_\rho(z_0)恰有m个零点。
这个定理实际上证明了：
推论：f(B_\rho(z_0))\supset B_\delta(w_0).
定理：设f是域D上非常数的全纯函数，那么f(D)也是\mathbb{C}中的域。
这个定理说明非常数的全纯函数把开集映为开集，因此成为开映射定理。
定理：设f是域D中单叶的全纯函数，那么对于D内每一点z，有f'(z)\neq0.
这个定理的逆定理是不成立的，即若f'在D中处处不为零，f未必是D中的单叶函数，但是有
定理：设f是域D上的单叶全纯函数，如果对于z_0\in D，f'(z_0)\neq0，那么f在z_0的领域中是单叶的。
定理：设f是域D上的单叶全纯函数，那么它的反函数f^{-1}是G=f(D)上的全纯函数，且(f^{-1})'(w)=1/f'(z),\, w\in G，其中w=f(z).
因此单叶全纯函数也称为双全纯函数（映射）。
定理：设\{f_n\}是域D上一列单叶的全纯函数，它在D上内闭一致收敛到f，如果f不是常数，那么f在d中也是单叶的全纯函数。
最大模原理、Schwarz引理与全纯自同构群
Cauchy积分公式的另一重要推论是最大模原理，这是一条十分有用的定理。
全纯函数的均值性质：若f(z)在U\subseteq\mathbb{C}上全纯，z_0\in U，r>0使得\bar B_r(z_0)\subseteq U，由Cauchy积分公式
f(z_0)=\frac{1}{2 \pi \mathrm{i}} \int_{\partial {B}_r(z_0)} \frac{f(\zeta)}{\zeta-z_{0}} \mathrm{~d} \zeta=\frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} f\left(z_{0}+r \mathrm{e}^{\mathrm{i} t}\right) \mathrm{~d} t,
这就是全纯函数的均值性质．这说明：f(z)在z = z_0点的值等于f(z)在{B}_r(z_0)上的值的平均。
两边取实部与虚部，于是得到：调和函数也有均值性质。反过来，可以证明：具有均值性质的连续函数一定是调和函数，这将在下一节中可以证明。由于函数具有均值性质当且仅当函数是调和函数，所以调和函数也可定义为具有均值性质的函数。
可以利用全纯函数的均值性质来证明
定理16（最大模原理）：若f(z)在U\subseteq\mathbb{C}上全纯，如有点z_0\in U，使得\left|f\left(z_{0}\right)\right| \geqslant|f(z)|对所有的z\in U都成立，则f(z)必为常数。
作为最大模原理的直接推论有：若f(z)在有界域U\subseteq\mathbb{C}上全纯，在U上连续，并且不是常数，则|f(z)|只能在\partial U上达到最大值。
在最大模原理的证明中，只用到了函数的均值性质，故最大模原理对调和函数
也是成立的。
由最大模原理立即推出重要的
定理17（Schwarz引理）：若f(z)为将单位圆D=B_1(0)映入到D的全纯函数，且f(0)=0，则
|f(z)| \leqslant|z|, \quad \left|f^{\prime}(0)\right| \leqslant 1,
而|f(z)|=|z|\; (z\neq0)或|f'(0)|=1成立，当且仅当f(z)=\mathrm{e}^{\mathrm{i} \tau} z，这里\tau\in\mathbb{R}.
由Schwarz引理立即可以得到单位圆D的全纯自同构群\mathrm{Aut}(D)。
称\varphi_a(\xi)=\frac{a-\xi}{1-\bar{a}\xi}为Möbius变换，所有Möbius变换组成的群，称为Möbius子群（实际上，Möbius变换子群是Möbius变换群\mathrm{Aut}(\mathbb{C}^\ast)的一个子群，\mathrm{Aut}(\mathbb{C}^\ast)是扩充复平面\mathbb{C}^\ast的全纯自同构群）。另外，旋转\xi=\rho_{\tau}(\zeta)=\mathrm{e}^{\mathrm{i} \tau} \zeta\; (\tau \in \mathbb{R})显然也属于\mathrm{Aut}(D)，而所有旋转的全体组成的群称为旋转群，这也是\mathrm{Aut}(D)的一个子群。
定理18（单位圆盘的全纯自同构群）：若f \in \operatorname{Aut}(D)，则存在复数a\; (|a|<1),\, \tau\in\mathbb{R}使得
f(\zeta)=\varphi_{a} \circ \rho_{r}(\zeta).
也就是说，\mathrm{Aut}(D)中的元素都是由Möbius变换与旋转复合而成的。
由定理18可以导出重要的
定理19（Schwarz-Pick引理）：若f为将D映入D内的全纯函数，且将z_1,z_2\in D映为w_1=f(z_1),\, w_2=f(z_2)，则
\left|\frac{w_{1}-w_{2}}{1-w_{1} \bar{w}_{2}}\right| \leqslant\left|\frac{z_{1}-z_{2}}{1-z_{1} \bar{z}_{2}}\right|
及
\frac{|\mathrm{d} w|}{1-|w|^{2}} \leqslant \frac{|\mathrm{d} z|}{1-|z|^{2}},
等号成立当且仅当f\in\operatorname{Aut}(D).
事实上，在D上可以定义度量（双曲度量、Poincaré度量，第5章）：
\mathrm{d}_{z} s^{2}=\frac{|\mathrm{d} z|^{2}}{\left(1-|z|^{2}\right)^{2}},
则
\mathrm{d}_{w} s^{2} \leqslant \mathrm{d}_{z} s^{2},
所以定理19也可以叙述为：如果w=f(z)为D上的全纯函数，将D映入D内，则其Poincaré度量是不增的。保持Poincaré度量当且仅当f\in\operatorname{Aut}(D). 于是定理19给出了Schwarz引理的明确的微分几何的意义。
全纯函数的积分表示
Cauchy积分公式是全纯函数的一种积分表示，记\frac{1}{2 \pi \mathrm{i}} \frac{1}{\zeta-z}=H(\zeta, z)，称H(\zeta, z)为Cauchy核，于是Cauchy积分公式可写成
f(z)=\int_{\partial U} f(\zeta) H(\zeta, z) \mathrm{d} \zeta.
也就是说：全纯函数f(z)在U中一点z的值，可以由Cauchy核H(\zeta,z)及f在U的边界\partial U上的值f(\zeta)的积分表示。
由此还可以导出一些其他的积分表示，先给出调和函数的积分表示。
设U(z)为单位圆D上的调和函数，且在\bar D上连续，则由调和函数的均值性质，
\frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} U\left(\mathrm{e}^{i \psi}\right) \mathrm{d} \psi=U(0),
若a\in D，令w=\frac{z-a}{1-\bar{a} z} \in \operatorname{Aut}(D),\; U(w)=u(z),\; z=\mathrm{e}^{\mathrm{i} \tau},\; w=\mathrm{e}^{\mathrm{i} \psi}，可以得到Poisson积分公式
\frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} u\left(\mathrm{e}^{\mathrm{i} \tau}\right) \frac{1-|a|^{2}}{\left|1-\bar{a} \mathrm{e}^{\mathrm{i} \tau}\right|^{2}} \mathrm{~d} \tau=u(a).
记
P(\zeta, a)=\frac{1}{2 \pi} \frac{1-|a|^{2}}{\left|1-\bar{a} \mathrm{e}^{i \tau}\right|^{2}}=\frac{1}{2 \pi} \frac{1-|a|^{2}}{|\zeta-a|^{2}},
这里\zeta=\mathrm{e}^{\mathrm{i} \tau}. 称P(\zeta, a)为Poisson核,用z代替a，
\int_{0}^{2 \pi} u(\zeta) P(\zeta, z) \mathrm{d} \tau=u(z).
Poisson积分公式是在单位圆内调和，在\bar D上连续的函数的积分表示。也就是说，调和函数在单位圆内一点z的值可以用Poisson核及调和函数在单位圆周上的值的积分表示。
可以不困难地推广为：若函数u在B_R(0)调和，在\bar{B}_R(0)上连续，则
\frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} u(\zeta) \frac{R^{2}-|z|^{2}}{\left|\zeta-z\right|^{2}} \mathrm{~d} \tau=u(z),
这里\zeta=\mathrm{e}^{\mathrm{i} \tau},\; z\in B_R(0). 同样称
P(\zeta, z)=\frac{1}{2 \pi} \frac{R^{2}-|z|^{2}}{|\zeta-z|^{2}}
为Poisson核，容易看出，u(z)还可以写成
u(z)=\operatorname{Re}\left[\frac{1}{2 \pi \mathrm{i}} \int_{|\zeta|=R} u(\zeta) \frac{\zeta+z}{\zeta-z} \frac{\mathrm{d} \zeta}{\zeta}\right],
那么u就为全纯函数
f(z)=\frac{1}{2 \pi \mathrm{i}} \int_{\mid \zeta|=R} u(\zeta) \frac{\zeta+z}{\zeta-z} \frac{\mathrm{d} \zeta}{\zeta}+\mathrm{i} v(0)
的实部。
记
S(\zeta, z)=\frac{1}{2 \pi \mathrm{i}} \frac{\zeta+z}{\zeta-z} \frac{1}{\zeta}.
称S(\zeta, z)为Schwarz核，上式写成
f(z)=\int_{|\zeta|=R} u(\zeta) S(\zeta, z) \mathrm{d} \zeta+\mathrm{i} v(0),
这是全纯函数的另一种积分表示。也就是说，全纯函数f在B_R(0)中一点z上的
值可以用Schwarz核S(\zeta, z)及f的实部u在\partial B_R(0)上的值的积分表示。
同样，记
Q(\zeta, z)=\frac{1}{\pi} \frac{\operatorname{Im}(z \bar{\zeta})}{|\zeta-z|}.
称Q(\zeta, z)为共轭的Poisson核，上面的f的虚部可写成
v(z)=\int_{0}^{2 \pi} u(\zeta) Q(\zeta, z) \mathrm{d} \zeta+v(0).
这是调和函数的另一种积分表示。也就是说，调和函数v在B_R(0)中一点z上的值，可以用共辄Poisson核Q(\zeta, z)及v的共扼调和函数u在\partial B_R(0)上的值的积分表示。这里，两个调和函数称为是共辄的，若它们为同一个全纯函数的虚部与实部。
除了Cauchy核以外，上面所讨论到的各种核中，最重要的是Poisson核。这是因为它与很多方面都有联系。在这里举出两个方面：一是与偏微分方程的联系；一是与调和分析的联系。
Poisson积分与偏微分方程的联系
在偏微分方程中，有一类重要的问题是求椭圆型方程的Dirichlet问题的解。也就是要求出函数，使之在区域内适合已给的椭圆型方程，而在边界上等于已给的函数。用Poisson积分公式，可以解如下Dirichlet问题：在区域B_R(0)内适合Laplace方程，而在边界上等于已给的连续函数\varphi\left(R \mathrm{e}^{\mathrm{i\tau}}\right). 这个问题的解就是u(z)=\int_{0}^{2 \pi} P(\zeta, z) \varphi(\zeta) \mathrm{d} \tau，这里\zeta=R\mathrm{e}^{\mathrm{i}\tau}；而且这个解是唯一的。
Poisson积分与调和分析的联系
取Poisson积分公式中取R=1，即考虑的区域是单位圆D，则公式左边为
\frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} u(\zeta) \frac{1-|z|^{2}}{|\zeta-z|^{2}} \mathrm{~d} \tau=\frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} \frac{\left(1-\rho^{2}\right) u\left(\mathrm{e}^{\mathrm{ir}}\right) \mathrm{d} \tau}{1-2 \rho \cos (\theta-\tau)+\rho^{2}},
这里z=\rho \mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta},\; \zeta=\mathrm{e}^{\mathrm{i} r}.
若u\left(\mathrm{e}^{\mathrm{i\tau}}\right)为单位圆周\partial D上已给的调和函数，则u\left(\mathrm{e}^{\mathrm{i\tau}}\right)可以有Fourier级数
u\left(\mathrm{e}^{\mathrm{i} \tau}\right) \sim \sum_{n=-\infty}^{\infty} a_{n} \mathrm{e}^{\mathrm{i}n\tau} \quad\left(a_{n}=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^{\pi} u\left(\mathrm{e}^{\mathrm{i} \tau}\right) \mathrm{e}^{-\mathrm{i} n \tau} \mathrm{d} \tau\right).
这个Fourier级数未必收敛，但可作它的Abel和，当\rho\to1时，趋于u\left(\mathrm{e}^{\mathrm{i\tau}}\right)自己。即连续函数的Fourier级数可Abel求和，这是调和分析中一条初等但重要的定理。
最后，可以应用Dirichlet问题的解，来证明在上一节中已经说到的：具有均值性质的连续函数一定是调和函数。事实上，可证如下的结论：
定理20：若f是域U\subseteq \mathbb{C}上的连续实值函数，且f(z)在U中满足局部均值性质，即对每一点z_0\in U，有充分小的r_0>0，当0<r<r_0时
\frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} f\left(z_{0}+r \mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta}\right) \mathrm{d} \theta=f\left(z_{0}\right),
则f(z)在U上调和。
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