设一个定义在\mathbb{R}^n中的一个区域D（这里区域指连通的开集，而不仅仅道路连通）上的连续函数f，如果有n个线性无关的向量\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2,\dots,\mathbf{r}_n，使得f对它们的方向导数在D上都总为0，那么f在D上是常数。
证明：不妨设这n个都是单位向量。任取\mathbf{x} _ {0} \in D，D是开集，那么存在充分小的\delta>0，使得\mathbf{x} _ 0为中心的闭平行多面体
D_{\delta}:\left\{\mathbf{x}_{0}+t_{1} \mathbf{r}_{1}+\cdots+t_{n} \mathbf{r}_{n} \mid-\delta \leqslant t_{i} \leqslant \delta, i=1,2, \ldots, n\right\}
上f都有定义，令
g(t)=f(\mathbf{x}_0+t_1\mathbf{r}_1+\dots+t_{n-1}\mathbf{r}_{n-1}+t\mathbf{r}_n),\; -\delta\leqslant t\leqslant\delta.
那么方向导数为0的条件就是说g(t)是有恒为0的右导数的连续函数，考虑证它为常数函数。
如果存在a,b，使得g(a)\neq g(b)，不妨设a<b,\; g(a)<g(b). 由于\frac{g(x)-g(a)}{x-a}在[a,b]连续，那么当x遍历(a,b)时，它能取到\left(0,\frac{g(b)-g(a)}{b-a}\right)中的所有数，那么就可以令
c=\sup \left\{x \in(a, b] \middle| \frac{g(x)-g(a)}{x-a} \leqslant \frac{1}{2} \frac{g(b)-g(a)}{b-a}\right\},
显然c\neq b且c应恰好使得等号成立。
由假定，存在\delta_0>0，使得对任意x\in(c,c+\delta_0)，都有
\frac{g(x)-g(c)}{x-c} \leqslant \frac{1}{2} \frac{g(b)-g(a)}{b-a}.
现在对这些x，
\begin{aligned}
g(x)-g(a)&=g(x)-g(c)+g(c)-g(a)\\
&\leqslant \frac{1}{2} \frac{g(b)-g(a)}{b-a}(x-c+c-a)\\
&=\frac{1}{2} \frac{p(b)-a(a)}{b-a}(x-a).
\end{aligned}
即
\frac{g(x)-g(a)}{x-a} \leqslant \frac{1}{2} \frac{g(b)-g(a)}{b-a},
这与c的上确界定义矛盾。
所以，
g(t)=f(\mathbf{x}_0+t_1\mathbf{r}_1+\dots+t_{n-1}\mathbf{r}_{n-1}+t\mathbf{r}_n)\; (-\delta \leqslant t \leqslant \delta)
确实是常数函数，g(t)=g(0)，即
\begin{aligned}
&\phantom{=}f(\mathbf{x}_0+t_1\mathbf{r}_1+\dots+t_{n-1}\mathbf{r}_{n-1}+t\mathbf{r}_n)\\
&=f(\mathbf{x}_0+t_1\mathbf{r}_1+\dots+t_{n-1}\mathbf{r}_{n-1}).
\end{aligned}
同样的推理，一直到最后得到
f(\mathbf{x}_0+t_1\mathbf{r}_1+\dots+t_{n-1}\mathbf{r}_{n-1}+t\mathbf{r}_n)=f(\mathbf{x}_0).
于是f在闭平行多面体D _ {\delta}中都取常数，那么存在\varepsilon>0，使对任意\mathbf{x}\in B _ {\varepsilon}(\mathbf{x} _ 0)都有f(\mathbf{x})=f(\mathbf{x} _ 0).
下面证f在D上为一常数。任取\mathbf{y} _ 0\in D，令
A=\left\{X \in D \mid f(X)=f\left(Y_{0}\right)\right\},\quad B=\left\{X \in D \mid f(X) \neq f\left(Y_{0}\right)\right\},
A至少有\mathbf{y} _ 0这一元素，所以不空，而对A中任一点\mathbf{x} _ 0上面其实已经证明\mathbf{x} _ 0是A的一个内点，所以A是一个开集；同样，B也是开集。
于是D=A\cup B、D是连通的开集、A,B都是开集、A \cap B=\varnothing、A\neq\varnothing，所以只能有B=\varnothing，这就证明了f在D上是一个常数。
发表回复