区域上的n个无关向量上方向导数为0的连续函数是一个常数

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设一个定义在$\mathbb{R}^n$中的一个区域$D$（这里区域指连通的开集，而不仅仅道路连通）上的连续函数$f$，如果有$n$个线性无关的向量$\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2,\dots,\mathbf{r}_n$，使得$f$对它们的方向导数在$D$上都总为0，那么$f$在$D$上是常数。

证明：不妨设这$n$个都是单位向量。任取$\mathbf{x} _ {0} \in D$，$D$是开集，那么存在充分小的$\delta>0$，使得$\mathbf{x} _ 0$为中心的闭平行多面体
$D_{\delta}:\left\{\mathbf{x}_{0}+t_{1} \mathbf{r}_{1}+\cdots+t_{n} \mathbf{r}_{n} \mid-\delta \leqslant t_{i} \leqslant \delta, i=1,2, \ldots, n\right\}$

上$f$都有定义，令
$g(t)=f(\mathbf{x}_0+t_1\mathbf{r}_1+\dots+t_{n-1}\mathbf{r}_{n-1}+t\mathbf{r}_n),\; -\delta\leqslant t\leqslant\delta.$

那么方向导数为0的条件就是说$g(t)$是有恒为0的右导数的连续函数，考虑证它为常数函数。

如果存在$a,b$，使得$g(a)\neq g(b)$，不妨设$a<b,\; g(a)<g(b)$. 由于$\frac{g(x)-g(a)}{x-a}$在$[a,b]$连续，那么当$x$遍历$(a,b)$时，它能取到$\left(0,\frac{g(b)-g(a)}{b-a}\right)$中的所有数，那么就可以令
$c=\sup \left\{x \in(a, b] \middle| \frac{g(x)-g(a)}{x-a} \leqslant \frac{1}{2} \frac{g(b)-g(a)}{b-a}\right\},$

显然$c\neq b$且$c$应恰好使得等号成立。

由假定，存在$\delta_0>0$，使得对任意$x\in(c,c+\delta_0)$，都有
$\frac{g(x)-g(c)}{x-c} \leqslant \frac{1}{2} \frac{g(b)-g(a)}{b-a}.$
现在对这些$x$，
$\begin{aligned} g(x)-g(a)&=g(x)-g(c)+g(c)-g(a)\\ &\leqslant \frac{1}{2} \frac{g(b)-g(a)}{b-a}(x-c+c-a)\\ &=\frac{1}{2} \frac{p(b)-a(a)}{b-a}(x-a). \end{aligned}\begin{aligned} g(x)-g(a)&=g(x)-g(c)+g(c)-g(a)\\ &\leqslant \frac{1}{2} \frac{g(b)-g(a)}{b-a}(x-c+c-a)\\ &=\frac{1}{2} \frac{p(b)-a(a)}{b-a}(x-a). \end{aligned}$

即
$\frac{g(x)-g(a)}{x-a} \leqslant \frac{1}{2} \frac{g(b)-g(a)}{b-a},$

这与$c$的上确界定义矛盾。

所以，
$g(t)=f(\mathbf{x}_0+t_1\mathbf{r}_1+\dots+t_{n-1}\mathbf{r}_{n-1}+t\mathbf{r}_n)\; (-\delta \leqslant t \leqslant \delta)$

确实是常数函数，$g(t)=g(0)$，即
$\begin{aligned} &\phantom{=}f(\mathbf{x}_0+t_1\mathbf{r}_1+\dots+t_{n-1}\mathbf{r}_{n-1}+t\mathbf{r}_n)\\ &=f(\mathbf{x}_0+t_1\mathbf{r}_1+\dots+t_{n-1}\mathbf{r}_{n-1}). \end{aligned}\begin{aligned} &\phantom{=}f(\mathbf{x}_0+t_1\mathbf{r}_1+\dots+t_{n-1}\mathbf{r}_{n-1}+t\mathbf{r}_n)\\ &=f(\mathbf{x}_0+t_1\mathbf{r}_1+\dots+t_{n-1}\mathbf{r}_{n-1}). \end{aligned}$

同样的推理，一直到最后得到
$f(\mathbf{x}_0+t_1\mathbf{r}_1+\dots+t_{n-1}\mathbf{r}_{n-1}+t\mathbf{r}_n)=f(\mathbf{x}_0).$

于是$f$在闭平行多面体$D _ {\delta}$中都取常数，那么存在$\varepsilon>0$，使对任意$\mathbf{x}\in B _ {\varepsilon}(\mathbf{x} _ 0)$都有$f(\mathbf{x})=f(\mathbf{x} _ 0)$.

下面证$f$在$D$上为一常数。任取$\mathbf{y} _ 0\in D$，令
$A=\left\{X \in D \mid f(X)=f\left(Y_{0}\right)\right\},\quad B=\left\{X \in D \mid f(X) \neq f\left(Y_{0}\right)\right\},$
$A$至少有$\mathbf{y} _ 0$这一元素，所以不空，而对$A$中任一点$\mathbf{x} _ 0$上面其实已经证明$\mathbf{x} _ 0$是$A$的一个内点，所以$A$是一个开集；同样，$B$也是开集。

于是$D=A\cup B$、$D$是连通的开集、$A,B$都是开集、$A \cap B=\varnothing$、$A\neq\varnothing$，所以只能有$B=\varnothing$，这就证明了$f$在$D$上是一个常数。