Processing math: 100%

区域上的n个无关向量上方向导数为0的连续函数是一个常数

我的原文地址

设一个定义在Rn\mathbb{R}^n中的一个区域DD(这里区域指连通的开集,而不仅仅道路连通)上的连续函数ff,如果有nn个线性无关的向量r1,r2,,rn\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2,\dots,\mathbf{r}_n,使得ff对它们的方向导数在DD上都总为0,那么ffDD上是常数。

证明:不妨设这nn个都是单位向量。任取x0D\mathbf{x} _ {0} \in DDD是开集,那么存在充分小的δ>0\delta>0,使得x0\mathbf{x} _ 0为中心的闭平行多面体
Dδ:{x0+t1r1++tnrnδtiδ,i=1,2,,n}D_{\delta}:\left\{\mathbf{x}_{0}+t_{1} \mathbf{r}_{1}+\cdots+t_{n} \mathbf{r}_{n} \mid-\delta \leqslant t_{i} \leqslant \delta, i=1,2, \ldots, n\right\}

ff都有定义,令
g(t)=f(x0+t1r1++tn1rn1+trn),  δtδ.g(t)=f(\mathbf{x}_0+t_1\mathbf{r}_1+\dots+t_{n-1}\mathbf{r}_{n-1}+t\mathbf{r}_n),\; -\delta\leqslant t\leqslant\delta.

那么方向导数为0的条件就是说g(t)g(t)是有恒为0的右导数的连续函数,考虑证它为常数函数。

如果存在a,ba,b,使得g(a)g(b)g(a)\neq g(b),不妨设a<b,  g(a)<g(b)a<b,\; g(a)<g(b). 由于g(x)g(a)xa\frac{g(x)-g(a)}{x-a}[a,b][a,b]连续,那么当xx遍历(a,b)(a,b)时,它能取到(0,g(b)g(a)ba)\left(0,\frac{g(b)-g(a)}{b-a}\right)中的所有数,那么就可以令
c=sup{x(a,b]|g(x)g(a)xa12g(b)g(a)ba},c=\sup \left\{x \in(a, b] \middle| \frac{g(x)-g(a)}{x-a} \leqslant \frac{1}{2} \frac{g(b)-g(a)}{b-a}\right\},

显然cbc\neq bcc应恰好使得等号成立。

由假定,存在δ0>0\delta_0>0,使得对任意x(c,c+δ0)x\in(c,c+\delta_0),都有
g(x)g(c)xc12g(b)g(a)ba.\frac{g(x)-g(c)}{x-c} \leqslant \frac{1}{2} \frac{g(b)-g(a)}{b-a}.
现在对这些xx
g(x)g(a)=g(x)g(c)+g(c)g(a)12g(b)g(a)ba(xc+ca)=12p(b)a(a)ba(xa).g(x)g(a)=g(x)g(c)+g(c)g(a)12g(b)g(a)ba(xc+ca)=12p(b)a(a)ba(xa).\begin{aligned} g(x)-g(a)&=g(x)-g(c)+g(c)-g(a)\\ &\leqslant \frac{1}{2} \frac{g(b)-g(a)}{b-a}(x-c+c-a)\\ &=\frac{1}{2} \frac{p(b)-a(a)}{b-a}(x-a). \end{aligned}\begin{aligned} g(x)-g(a)&=g(x)-g(c)+g(c)-g(a)\\ &\leqslant \frac{1}{2} \frac{g(b)-g(a)}{b-a}(x-c+c-a)\\ &=\frac{1}{2} \frac{p(b)-a(a)}{b-a}(x-a). \end{aligned}


g(x)g(a)xa12g(b)g(a)ba,\frac{g(x)-g(a)}{x-a} \leqslant \frac{1}{2} \frac{g(b)-g(a)}{b-a},

这与cc的上确界定义矛盾。

所以,
g(t)=f(x0+t1r1++tn1rn1+trn)  (δtδ)g(t)=f(\mathbf{x}_0+t_1\mathbf{r}_1+\dots+t_{n-1}\mathbf{r}_{n-1}+t\mathbf{r}_n)\; (-\delta \leqslant t \leqslant \delta)

确实是常数函数,g(t)=g(0)g(t)=g(0),即
=f(x0+t1r1++tn1rn1+trn)=f(x0+t1r1++tn1rn1).=f(x0+t1r1++tn1rn1+trn)=f(x0+t1r1++tn1rn1).\begin{aligned} &\phantom{=}f(\mathbf{x}_0+t_1\mathbf{r}_1+\dots+t_{n-1}\mathbf{r}_{n-1}+t\mathbf{r}_n)\\ &=f(\mathbf{x}_0+t_1\mathbf{r}_1+\dots+t_{n-1}\mathbf{r}_{n-1}). \end{aligned}\begin{aligned} &\phantom{=}f(\mathbf{x}_0+t_1\mathbf{r}_1+\dots+t_{n-1}\mathbf{r}_{n-1}+t\mathbf{r}_n)\\ &=f(\mathbf{x}_0+t_1\mathbf{r}_1+\dots+t_{n-1}\mathbf{r}_{n-1}). \end{aligned}

同样的推理,一直到最后得到
f(x0+t1r1++tn1rn1+trn)=f(x0).f(\mathbf{x}_0+t_1\mathbf{r}_1+\dots+t_{n-1}\mathbf{r}_{n-1}+t\mathbf{r}_n)=f(\mathbf{x}_0).

于是ff在闭平行多面体DδD _ {\delta}中都取常数,那么存在ε>0\varepsilon>0,使对任意xBε(x0)\mathbf{x}\in B _ {\varepsilon}(\mathbf{x} _ 0)都有f(x)=f(x0)f(\mathbf{x})=f(\mathbf{x} _ 0).

下面证ffDD上为一常数。任取y0D\mathbf{y} _ 0\in D,令
A={XDf(X)=f(Y0)},B={XDf(X)f(Y0)},A=\left\{X \in D \mid f(X)=f\left(Y_{0}\right)\right\},\quad B=\left\{X \in D \mid f(X) \neq f\left(Y_{0}\right)\right\},
AA至少有y0\mathbf{y} _ 0这一元素,所以不空,而对AA中任一点x0\mathbf{x} _ 0上面其实已经证明x0\mathbf{x} _ 0AA的一个内点,所以AA是一个开集;同样,BB也是开集。

于是D=ABD=A\cup BDD是连通的开集、A,BA,B都是开集、AB=A \cap B=\varnothingAA\neq\varnothing,所以只能有B=B=\varnothing,这就证明了ffDD上是一个常数。


评论

发表回复

您的邮箱地址不会被公开。 必填项已用 * 标注