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设一个定义在Rn中的一个区域D(这里区域指连通的开集,而不仅仅道路连通)上的连续函数f,如果有n个线性无关的向量r1,r2,…,rn,使得f对它们的方向导数在D上都总为0,那么f在D上是常数。
证明:不妨设这n个都是单位向量。任取x0∈D,D是开集,那么存在充分小的δ>0,使得x0为中心的闭平行多面体
Dδ:{x0+t1r1+⋯+tnrn∣−δ⩽ti⩽δ,i=1,2,…,n}
上f都有定义,令
g(t)=f(x0+t1r1+⋯+tn−1rn−1+trn),−δ⩽t⩽δ.
那么方向导数为0的条件就是说g(t)是有恒为0的右导数的连续函数,考虑证它为常数函数。
如果存在a,b,使得g(a)=g(b),不妨设a<b,g(a)<g(b). 由于x−ag(x)−g(a)在[a,b]连续,那么当x遍历(a,b)时,它能取到(0,b−ag(b)−g(a))中的所有数,那么就可以令
c=sup{x∈(a,b]∣∣∣∣∣x−ag(x)−g(a)⩽21b−ag(b)−g(a)},
显然c=b且c应恰好使得等号成立。
由假定,存在δ0>0,使得对任意x∈(c,c+δ0),都有
x−cg(x)−g(c)⩽21b−ag(b)−g(a).
现在对这些x,
g(x)−g(a)=g(x)−g(c)+g(c)−g(a)⩽21b−ag(b)−g(a)(x−c+c−a)=21b−ap(b)−a(a)(x−a).g(x)−g(a)=g(x)−g(c)+g(c)−g(a)⩽21b−ag(b)−g(a)(x−c+c−a)=21b−ap(b)−a(a)(x−a).
即
x−ag(x)−g(a)⩽21b−ag(b)−g(a),
这与c的上确界定义矛盾。
所以,
g(t)=f(x0+t1r1+⋯+tn−1rn−1+trn)(−δ⩽t⩽δ)
确实是常数函数,g(t)=g(0),即
=f(x0+t1r1+⋯+tn−1rn−1+trn)=f(x0+t1r1+⋯+tn−1rn−1).=f(x0+t1r1+⋯+tn−1rn−1+trn)=f(x0+t1r1+⋯+tn−1rn−1).
同样的推理,一直到最后得到
f(x0+t1r1+⋯+tn−1rn−1+trn)=f(x0).
于是f在闭平行多面体Dδ中都取常数,那么存在ε>0,使对任意x∈Bε(x0)都有f(x)=f(x0).
下面证f在D上为一常数。任取y0∈D,令
A={X∈D∣f(X)=f(Y0)},B={X∈D∣f(X)=f(Y0)},
A至少有y0这一元素,所以不空,而对A中任一点x0上面其实已经证明x0是A的一个内点,所以A是一个开集;同样,B也是开集。
于是D=A∪B、D是连通的开集、A,B都是开集、A∩B=∅、A=∅,所以只能有B=∅,这就证明了f在D上是一个常数。
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