上极限集与下极限集
定义上极限集与下极限集：
\displaystyle\limsup_{n\to\infty}A_n=\bigcap_{n=1}^{\infty} \bigcup_{k=n} ^\infty A_{k},\quad \liminf_{n\to\infty}A_n=\bigcup_{n=1}^\infty\bigcap_{k=n}^\infty A_k.
也有的写作
\begin{equation*}
\varlimsup _ {n\to\infty},\varliminf _ {n\to\infty}
\end{equation*}
的，这里只写前面的写法。
显然下极限属于上极限。当上下极限相等时，称上下极限为这个集合列的极限。
可以证明：单调集列必有极限。
\displaystyle A_n\subseteq A_{n+1}\Rightarrow \lim_{n\to\infty}A_n=\bigcup_{n=1}^\infty A_n;\quad A_{n+1}\subseteq A_n\Rightarrow\lim_{n\to\infty}A_n=\bigcap_{n=1}^\infty A_n.
于是又可定义上下极限为
\displaystyle \limsup_{n\to\infty}A_n=\lim_{n\to\infty}\bigcup_{k=n}^\infty A_k,\quad \liminf_{n\to\infty}A_n=\lim_{n\to\infty}\bigcap_{k=n}^\infty A_k.
这就把无穷并（交）的无穷交（并）变为了单调的无穷并（交）的极限。
上极限是单调减的集列极限，一个元素属于上极限集是说它属于所有的无穷并，亦即它属于无穷多个集列中集合；下极限是单调增的集列极限，一个元素属于下极限是说某时刻起它被无穷交覆盖，亦即它某时刻起均属于集列集合。上下极限又可刻画为
\displaystyle\limsup_{n\to\infty}A_n=\left\{x\middle|x\text{属于无穷多}A_n\right\},\quad \liminf_{n\to\infty}A_n=\left\{x\middle|x\text{属于}A_n,\forall n>N\right\}.
事实上，显然有
\displaystyle \bigcap_{n=1}^\infty A_n\subseteq\liminf_{n\to\infty}A_n\subseteq\limsup_{n\to\infty}A_n\subseteq\bigcup_{n=1}^\infty A_n.
这表明上下极限可以看作是集列并集和交集对元素要求的一点减弱。
一个元素属于集列并集，当且仅当它属于集列任意一个集合，而一个元素属于上极限集，当且仅当它都属于集列的一个子列；反过来也可以说，一个元素不属于集列并集，当且仅当它不属于集列所有集合，而不属于上极限集当且仅当只属于有限个集列中集合。
一个元素不属于集列交集，当且仅当它不属于集列的任一集合，而一个元素不属于下极限集，当且仅当它都不属于集列的一个子列；反过来，一个元素属于集列交集，当且仅当它属于集列所有集合，一个元素属于下极限集，当且仅当它仅不属于有限个集列中集合。
举几个简单的例子。
例1：使f_n(x)不收敛于f(x)的x的集合为\displaystyle\bigcup_{k=1}^{\infty} \bigcap_{N=1}^{\infty} \bigcup_{n=N}^{\infty}\left\{x\middle|\left|f_{n}(x)-f(x)\right| \geqslant \frac{1}{k}\right\}.
例2：设\lim f_n(x)=f(x)，则给定t\in\mathbb{R}，有\displaystyle{x|f(x)\leqslant t}=\bigcap_{k=1}^{\infty} \bigcup_{m=1}^{\infty} \bigcap_{n=m}^{\infty}\left\{x\middle| f_{n}(x)<t+\frac{1}{k}\right\}.
例3：设\lim a_n=a，则\displaystyle\bigcap_{k=1}^\infty \bigcup_{N=1}^{\infty} \bigcap_{n=N}^{\infty}\left(a_{n}-\frac{1}{k}, a_{n}+\frac{1}{k}\right)=\{a\}.
当然可以从左到右将并与交的符号“说”成是存在和任意，但下面不用这种做法。
对例1，若x使f_n(x)不收敛于f(x)，这等价于有某个正整数k，还有\{f_n(x)\}的一个子列\{f_{n_l}(x)\}使\left|f_{n_l}(x)-f(x)\right| \geqslant \frac{1}{k}，即x\in\displaystyle\bigcup_{k=1}^{\infty} \limsup_{n\to\infty}\left\{x\middle|\left|f_{n}(x)-f(x)\right| \geqslant \frac{1}{k}\right\}.
对例2，若x使f(x)\leqslant t，这等价于对任意\varepsilon>0，f_n(x)中只有有限多个使得f_n(x)\geqslant t+\varepsilon，即对任意正整数k，只有有限多个n\in\mathbb{N}^\ast，使f_n(x)\geqslant t+\frac1k，即\displaystyle\bigcap_{k=1}^\infty\liminf_{n\to\infty}\left\{x\middle| f_{n}(x)<t+\frac1k\right\}.
对例3，\lim a_n=a，若对任意正整数k，只有有限多个n，使a^\ast\notin\left(a_{n}-\frac{1}{k}, a_{n}+\frac{1}{k}\right)，那么a^\ast必为a.
发表回复