Maxwell方程组用简单的四条方程揭示了电磁场的基本规律，经典电磁学理论的大厦由此建立，其辉煌程度比起牛顿力学毫不逊色。从它问世以来，其表现出的简洁、优美就引无数英雄竞折腰。Boltzmann曾引用歌德《浮士德》的诗句来赞美：“难道是神写下了这些符号？”

Maxwell方程组描述了两个向量场/矢量场，电场\boldsymbol E和磁场\boldsymbol B的规律，在国际单位制SI下，写作：
\begin{aligned}
\nabla \cdot \boldsymbol{E} &= \frac{\rho}{\varepsilon _ 0}, \\
\nabla \cdot \boldsymbol{B} &= 0, \\
\nabla \times \boldsymbol{E} &= -\frac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial t}, \\
\nabla \times \boldsymbol{B} &= \mu _ 0 \boldsymbol{J} + \mu _ 0 \varepsilon _ 0 \frac{\partial \boldsymbol{E}}{\partial t}. \\
\end{aligned}
第一个是Gauss定律，第二个表明磁场无源，第三个是Faraday电磁感应定律，第四个是Ampère-Maxwell定律。

通过调整单位制（自然单位制），我们可以将其中的物理常数变为1，公式变得更为简洁。

向量表示的Maxwell方程组：
\begin{aligned}\nabla \cdot \boldsymbol{B} &= 0, \\\nabla \times \boldsymbol{E} +\frac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial t}&=0, \\\nabla \cdot \boldsymbol{E} &= \rho, \\\nabla \times \boldsymbol{B}- \frac{\partial \boldsymbol{E}}{\partial t} &= \boldsymbol{J}. \\\end{aligned}现在式子左边已经显现一定的对称性了。由于\nabla算子的散度和旋度运算，可以看作是对向量的空间三维分量的一种空间上的求导；\frac\partial{\partial t}算子则是时间上的求导。这样，方程组就是在说电场、磁场在时间、空间上的求导的关系，这自然联系到将时间空间联系起来的相对论。历史上，是先有Maxwell方程组，Einstein发现其满足Lorentz不变性，从中获得启发后得到的相对论；我们反其道行之，先有了相对论，再用相对论探索Maxwell方程组。

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本文的目的在于将电磁场、Maxwell方程组用微分几何的语言表述，从而对其有更深刻的理解。为什么要用微分几何的语言，形式上来说，Maxwell方程组进一步精简了，但实际上的好处远不止于此。在原始的形式里，要算子\nabla=(\frac{\partial}{\partial x},\frac{\partial}{\partial y},\frac{\partial}{\partial z})起到效用，我们必须选定一个坐标原点和三个坐标轴x,y,z的方向，然后电场和磁场就表示为
\boldsymbol E=E _ x\boldsymbol i+E _ y\boldsymbol j+E _ z\boldsymbol k,\quad \boldsymbol B=B _ x\boldsymbol i+B _ y\boldsymbol j+B _ z\boldsymbol k.进而可以对三个分量求导。然而，“坐标”这一事物本身只是一种辅助性描述的工具，引入坐标能方便我们进行计算，但世界本身是不配备坐标的。从这方面来说，比起使用间接刻画事物的坐标，直接使用事物本身来讨论，是更接近本质的。

例如，对两个平面向量\boldsymbol a,\boldsymbol b作内积，引入坐标我们有简单的计算方式：\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b=a _ 1b _ 1+a _ 2b _ 2，不用坐标，它就是ab\cos\theta，这样就用几何的语言将其表示出来了，这里向量的模长、夹角都是几何的概念。

作为预热，我们先来看Maxwell方程组的“在形式上”不同的版本。如果\boldsymbol B=B_x\mathrm dy\mathrm dz+B_y\mathrm dz\mathrm dx+B_z\mathrm dx\mathrm dy、\boldsymbol E=E_x\mathrm dx+E_y\mathrm dy+E_z\mathrm dz，那么前两个方程恰好是
\mathrm d(\boldsymbol B+\boldsymbol E\mathrm dt)=0.另一方面，如果\boldsymbol B=B_x\mathrm dx+B_y\mathrm dy+B_z\mathrm dz、\boldsymbol E=E_x\mathrm dy\mathrm dz+E_y\mathrm dz\mathrm dx+E_z\mathrm dx\mathrm dy，同时\boldsymbol {\mathcal J}=\rho\, \mathrm dx\mathrm dy\mathrm dz-J_x\mathrm dt\mathrm dy\mathrm dz-J_y\mathrm dt\mathrm dz\mathrm dx-J_z\mathrm dt\mathrm dx\mathrm dy，那么后两个方程变成
\mathrm d(\boldsymbol E-\boldsymbol B\mathrm dt)=\boldsymbol{\mathcal J}.事实上这还只是冰山一角。

前置知识说明

本文尽量降低了阅读的门槛。数学上，用到基本的微积分和线性代数；虽然也用到一些微分几何的东西，但下面链接也给出了一些粗略的不严格介绍，为了简单省事很多直接在局部坐标内讨论了。可以看作是本文的一部分（第0节？），因此建议至少简单过一遍，应该会让本文更通顺。物理上，需要基本的电磁学和狭义相对论。

• 数学补充：微分形式、流形上的度规、Hodge星算子粗略不严格介绍
• （拓展阅读：相对论之狭义引论）
• （拓展阅读：微分流形）

相对论变换的一些计算

我们已经知道，电场、磁场是同一的：若参照系F的电场磁场为\boldsymbol E,\boldsymbol B，沿x正向以速度v相对运动的参照系F'的电场磁场\boldsymbol E',\boldsymbol B'在相对论效应下，与原来的量的关系为
\begin{aligned}E' _ x&=E _ x,&B _ x'&=B _ x,\\E _ y'&=\gamma(E _ y-vB _ z),&B _ y'&=\gamma(B _ y+vE _ z) ,\\E _ z'&=\gamma(E _ z+vB _ y),&B _ z'&=\gamma(B _ z-vE _ y).\end{aligned}要把这个变换和时空坐标(t,x,y,z)的Lorentz变换联系起来。由于我们已经采用了光速为1的单位制，时空坐标的变换式写为
t' = \gamma(t - v x), \quad x' = \gamma(x - v t), \quad y' = y, \quad z' = z.简便起见考虑逆变换，能让时空变换里的负号变为正号：
\begin{gathered}t=\gamma(t'+vx),\quad x=\gamma(x'+vt'),\quad y=y',\quad z=z'.\\E _ x = E' _ x, \quad E _ y = \gamma(E' _ y + v B' _ z), \quad E _ z = \gamma(E' _ z - v B' _ y).\\B _ x=B' _ x, \quad B _ y = \gamma(B' _ y - v E' _ z), \quad B' _ z = \gamma(B' _ z + v E' _ y).\end{gathered}电场、磁场的变换还有负号，要将其变为正号的一个关键观察就是：考虑-B _ y作为一个变量，而非B _ y，这样
\begin{gathered}E _ x = E' _ x, \quad E _ y = \gamma(E' _ y + v B' _ z), \quad E _ z = \gamma(E' _ z + v (-B' _ y)).\\B _ x=B' _ x, \quad -B _ y = \gamma(-B' _ y + v E' _ z), \quad B _ z = \gamma(B' _ z + v E' _ y).\end{gathered}于是这些变换就变得十分相像了。用矩阵把形式有所变化的变换都写出来：
\begin{aligned}\begin{bmatrix}t\\x\end{bmatrix}&=\begin{bmatrix}\gamma&\gamma v\\\gamma v&\gamma\end{bmatrix}\begin{bmatrix} t'\\x'\end{bmatrix},\\\begin{bmatrix}E _ y&E _ z\\B _ z&-B _ y\end{bmatrix}&=\begin{bmatrix}\gamma&\gamma v\\\gamma v&\gamma\end{bmatrix}\begin{bmatrix}E' _ y&E' _ z\\B' _ z&-B' _ y\end{bmatrix}.\end{aligned}
事实上，另一方向的变换也可以有这个“全正”矩阵，如果用上一些线性代数的技巧的话。例如
\begin{aligned}&\begin{bmatrix}t'\\x'\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\gamma&-\gamma v\\-\gamma v&\gamma\end{bmatrix}\begin{bmatrix} t\\x\end{bmatrix}\\\implies{}&\begin{bmatrix}t'\\-x'\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\gamma&-\gamma v\\\gamma v&-\gamma\end{bmatrix}\begin{bmatrix} t\\x\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\gamma&\gamma v\\\gamma v&\gamma\end{bmatrix}\begin{bmatrix} t\\-x\end{bmatrix}.\end{aligned}第一个等号让系数矩阵第二行反号，为使等号继续成立，需让x'反号；第二个等号让系数矩阵第二列反号，为使等号继续成立，需让x反号。同理，
\begin{aligned}&\begin{bmatrix}E' _ y&E' _ z\\B' _ z&-B' _ y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\gamma&-\gamma v\\-\gamma v&\gamma\end{bmatrix}\begin{bmatrix}E _ y&E _ z\\B _ z&-B _ y\end{bmatrix}\\\implies{}&\begin{bmatrix}E' _ y&E' _ z\\-B' _ z&B' _ y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\gamma&-\gamma v\\\gamma v&-\gamma\end{bmatrix}\begin{bmatrix}E _ y&E _ z\\B _ z&-B _ y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\gamma&\gamma v\\\gamma v&\gamma\end{bmatrix}\begin{bmatrix}E _ y&E _ z\\-B _ z&B _ y\end{bmatrix}.\end{aligned}（当然，更直接的做法是直接从原式观察得出，如果观察得到的话）

这个全正的系数矩阵，因为后面还用到，就先记为\Lambda。

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Maxwell方程组里还有两个量，电荷密度\rho和电流密度\boldsymbol J，变换惯性系时它们也要进行变换。其进行的也是Lorentz变换：
\rho' = \gamma(\rho - v J _ x), \quad J _ x' = \gamma(J _ x - v \rho), \quad J _ y' = J _ y, \quad J _ z' = J _ z.
可以稍微推导一下。假设我们有一个电荷的体积微元\Delta V， 其上一点速度\boldsymbol v，密度\rho。考察\Delta V静止的参照系，由尺缩效应可知\Delta V=\Delta V'/\gamma，包含的电荷为\rho _ 0\Delta V'。由电荷守恒、电荷不变，原来的参照系\Delta V仍包含\rho _ 0\Delta V'的电荷，从而\rho=\rho _ 0V'/V=\gamma\rho _ 0。另一方面，物理上不难得知\boldsymbol J=\rho\boldsymbol v（例如J=I/(\Delta y\Delta z)=(\rho \Delta V)/(\Delta y\Delta z\Delta t)=\rho v）。

因此(\rho,\boldsymbol J)在不同惯性系间的变换，即为(\gamma,\gamma\boldsymbol v)在不同惯性系间的变换，可以证明这就是Lorentz变换：(t,x,y,z)的变换是(t',x',y',z')^\mathsf T=\operatorname{diag}(\Lambda^{-1},I _ 2)(t,x,y,z)^\mathsf T，两边对固有时(proper time)\tau求导，利用\mathrm d t/\gamma=\mathrm d\tau，得
\begin{bmatrix}\gamma'\\\frac{\mathrm d\boldsymbol r'}{\mathrm dt'}\frac{\mathrm dt'}{\mathrm d\tau}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\Lambda^{-1}&\\&I _ 2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\gamma\\\frac{\mathrm d\boldsymbol r}{\mathrm dt}\frac{\mathrm dt}{\mathrm d\tau}\end{bmatrix}\implies\begin{bmatrix}\gamma'\\\gamma'\boldsymbol v'\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\Lambda^{-1}&\\&I _ 2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\gamma\\\gamma\boldsymbol v\end{bmatrix}.具体写出来就是
\begin{bmatrix}\rho'\\J _ x'\\J _ y'\\J _ z'\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\gamma&-\gamma u&&\\-\gamma u&\gamma&&\\&&1&\\&&&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\rho\\J _ x\\J _ y\\J _ z\end{bmatrix},\quad\begin{bmatrix}\rho\\J _ x\\J _ y\\J _ z\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\gamma&\gamma u&&\\\gamma u&\gamma&&\\&&1&\\&&&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\rho'\\J _ x'\\J _ y'\\J _ z'\end{bmatrix}.

Lorentz不变的一些计算

除了向量外，我们也可以考虑微分形式这一几何对象。如果要微分形式是不依赖于坐标的几何量，那它在不同坐标系之间的变换也要对应进行。例如，在一个坐标系内的函数f(x)，在另一个以t=2x为坐标的坐标系中，要想还是同一个函数，就得“改头换面”为f(t/2)。

现在要考察的是，如果一个微分形式由(t,x,y,z)的坐标系中换为经过Lorentz变换后的另一个坐标系(t',x',y',z')，要怎样才能在这个时空坐标的变换下保持“不变”。

先来考虑1形式。由Lorentz变换，直接可知基的变换为
\begin{bmatrix}\mathrm dt\\\mathrm dx\\\mathrm dy\\\mathrm dz\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\gamma&\gamma v&&\\\gamma v&\gamma&&\\&&1&\\&&&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\mathrm dt'\\\mathrm dx'\\\mathrm dy'\\\mathrm dz'\end{bmatrix}.如果在原坐标系\omega=\omega _ t\mathrm dt+\omega _ x\mathrm dx+\omega _ y\mathrm dy+\omega _ z\mathrm dz，那么
\omega=\begin{bmatrix}\omega _ t&\omega _ x&\omega _ y&\omega _ z\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\gamma&\gamma v&&\\\gamma v&\gamma&&\\&&1&\\&&&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\mathrm dt'\\\mathrm dx'\\\mathrm dy'\\\mathrm dz'\end{bmatrix}.于是在新坐标系下\omega=\omega' _ t\mathrm dt'+\omega _ x'\mathrm dx'+\omega _ y'\mathrm dy'+\omega _ z'\mathrm dz'应满足
\begin{bmatrix}\omega' _ t\\\omega' _ x\\\omega' _ y\\\omega' _ z\end{bmatrix}^\mathsf T=\begin{bmatrix}\omega _ t\\\omega _ x\\\omega _ y\\\omega _ z\end{bmatrix}^\mathsf T\begin{bmatrix}\gamma&\gamma v&&\\\gamma v&\gamma&&\\&&1&\\&&&1\end{bmatrix}\implies\begin{bmatrix}\omega' _ t\\\omega' _ x\\\omega' _ y\\\omega' _ z\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\gamma&\gamma v&&\\\gamma v&\gamma&&\\&&1&\\&&&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\omega _ t\\\omega _ x\\\omega _ y\\\omega _ z\end{bmatrix}.利用前文的技巧，逆变换也可以用这个矩阵表示：
\begin{bmatrix}\omega _ t\\\omega _ x\\\omega _ y\\\omega _ z\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\gamma&-\gamma v&&\\-\gamma v&\gamma&&\\&&1&\\&&&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\omega' _ t\\\omega' _ x\\\omega' _ y\\\omega' _ z\end{bmatrix}\implies\begin{bmatrix}\omega _ t\\-\omega _ x\\-\omega _ y\\-\omega _ z\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\gamma&\gamma v&&\\\gamma v&\gamma&&\\&&1&\\&&&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\omega' _ t\\-\omega' _ x\\-\omega' _ y\\-\omega' _ z\end{bmatrix}
回看前文(\rho,J _ x,J _ y,J _ z)的变换，如果我们用这些量构造一个1形式
\rho\, \mathrm dt-J _ x\mathrm dx-J _ y\mathrm dy-J _ z\mathrm dz,那么这是一个在Lorentz变换下保持不变的量。

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接下来讨论2形式。设2形式\omega在一个坐标系下表示为\sum _ {i<j}\omega _ {ij}\mathrm dx^i\wedge\mathrm dx^j，为了更对称些可利用\mathrm dx^i\wedge \mathrm dx^j=-\mathrm dx^j\wedge\mathrm dx^i，使得表示写为\frac12\omega _ {ij}\mathrm dx^i\wedge \mathrm dx^j，满足\omega _ {ij}=-\omega _ {ji}；由于\mathrm dx^i\wedge \mathrm dx^i=0，这里\omega _ {ii}=0。于是，要在这种设置下，来求(\omega _ {ij}') _ {4\times 4}。

还是把矩阵写出来：
\omega=\frac12\begin{bmatrix}\mathrm dt&\mathrm dx&\mathrm dy&\mathrm dz\end{bmatrix}\wedge\begin{bmatrix}0&\omega _ {12}&\omega _ {13}&\omega _ {14}\\\omega _ {21}&0&\omega _ {23}&\omega _ {24}\\\omega _ {31}&\omega _ {32}&0&\omega _ {34}\\\omega _ {41}&\omega _ {42}&\omega _ {43}&0\end{bmatrix}\wedge\begin{bmatrix}\mathrm dt\\\mathrm dx\\\mathrm dy\\\mathrm dz\end{bmatrix}.将中间的方阵记为A，分为4块，利用分块矩阵的技巧，得到
\begin{aligned}\omega&=\frac12\begin{bmatrix}\mathrm dt'&\mathrm dx'&\mathrm dy'&\mathrm dz'\end{bmatrix}\wedge\begin{bmatrix}\Lambda&\\&I _ 2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}A _ {11}&A _ {12}\\A _ {21}&A _ {22}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\Lambda&\\&I _ 2\end{bmatrix}\wedge\begin{bmatrix}\mathrm dt'\\\mathrm dx'\\\mathrm dy'\\\mathrm dz'\end{bmatrix}\\&=\frac12\begin{bmatrix}\mathrm dt'&\mathrm dx'&\mathrm dy'&\mathrm dz'\end{bmatrix}\wedge\begin{bmatrix}\Lambda A _ {11}\Lambda&\Lambda A _ {12}\\A _ {21}\Lambda&A _ {22}\end{bmatrix}\wedge\begin{bmatrix}\mathrm dt'\\\mathrm dx'\\\mathrm dy'\\\mathrm dz'\end{bmatrix}.\end{aligned}这样，中间的反对称矩阵即为所求。反对称意味着只需要看上三角（具体来说，有6个\omega' _ {ij}）。先来算\Lambda A _ {11}\Lambda：
\Lambda A _ {11}\Lambda=\begin{bmatrix}\gamma&\gamma v\\\gamma v&\gamma\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0&\omega _ {12}\\\omega _ {21}&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\gamma&\gamma v\\\gamma v&\gamma\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0&\omega' _ {12}\\\omega' _ {21}&0\end{bmatrix}.只需要算\omega _ {12}'，利用线性代数的技巧：
\begin{aligned}\omega' _ {12}&=\begin{bmatrix}\gamma&\gamma v\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0&\omega _ {12}\\\omega _ {21}&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\gamma v\\\gamma\end{bmatrix}=\gamma^2(\omega _ {12}+v^2\omega _ {21})\\&=\gamma^2(1-v^2)\omega _ {12}=\omega _ {12}.\end{aligned}这表明
\Lambda A _ {11}\Lambda=A _ {11},\quad \mathrm dt'\wedge\mathrm dx'=\mathrm dt\wedge\mathrm dx.而\mathrm dy'\wedge\mathrm dz'=\mathrm dy\wedge\mathrm dz。于是所有系数的变换关系都知道了：
\begin{gathered}\omega' _ {12}=\omega _ {12},\quad\omega' _ {34}=\omega _ {34},\\\begin{bmatrix}\omega' _ {13}&\omega' _ {14}\\\omega' _ {23}&\omega' _ {24}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\gamma&\gamma v\\\gamma v&\gamma\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\omega _ {13}&\omega _ {14}\\\omega _ {23}&\omega _ {24}\end{bmatrix}.\end{gathered}而前面已经推出的恰好是
\begin{gathered}E _ x'=E _ x,\quad B _ x'=B _ x,\\\begin{bmatrix}E' _ y&E' _ z\\-B' _ z&B' _ y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\gamma&\gamma v\\\gamma v&\gamma\end{bmatrix}\begin{bmatrix}E _ y&E _ z\\-B _ z&B _ y\end{bmatrix}.\end{gathered}这启示我们电场磁场的6个分量可以用来构造一个2形式：
\begin{gathered}E _ x\mathrm dt\wedge\mathrm dx+E _ y\mathrm dt\wedge\mathrm dy+E _ z\mathrm dt\wedge\mathrm dz\\-B _ x\mathrm dy\wedge\mathrm dz+B _ y\mathrm dx\wedge\mathrm dz-B _ z\mathrm dx\wedge\mathrm dy.\end{gathered}这是一个在Lorentz变换下保持不变的量。

电磁场的微分形式

设时空已经有Minkowski度规
g(v,w)=v^tw^t-v^xw^x-v^yw^y-v^zw^z.在Lorentz力\boldsymbol F=q(\boldsymbol E+\boldsymbol v\times\boldsymbol B)中，尝试将向量场在局部坐标内通过“降指标”操作可导出微分形式
\begin{gathered}F=F _ x\mathrm dx+F _ y\mathrm dy+F _ z\mathrm dz,\\E=E _ x\mathrm dx+E _ y\mathrm dy+E _ z\mathrm dz ,\\(v\times B)=(v _ yB _ z-v _ zB _ y)\mathrm dx+(v _ zB _ x-v _ xB _ z)\mathrm dy+(v _ xB _ y-v _ yB _ z)\mathrm dz. .\end{gathered}麻烦在于要将第三个和\boldsymbol v,\boldsymbol B联系起来。微分几何里有一种“内乘”(interior multiplication / contraction)操作可以做到。第三式右边是用基\mathrm dx,\mathrm dy,\mathrm dz表示的，我们（通过写出叉乘的行列式表达）换为B _ x,B _ y,B _ z的表示：
(v\times B)=(v _ y\mathrm dz-v _ z\mathrm dy)B _ x+(v _ z\mathrm dx-v _ x\mathrm dz)B _ y+(v _ x\mathrm dy-v _ y\mathrm dx)B _ z.内乘\iota _ v是这么定义的：\iota _ v(\mathrm dx^i\wedge\mathrm dx^j)，或者记为v\mathbin{\lrcorner}(\mathrm dx^i\wedge\mathrm dx^j)，为v _ i\mathrm dx^j-v _ j\mathrm dx^i。内乘还要求是个线性映射，意味着
\begin{aligned}(v\times B)&=B _ x\iota _ v(\mathrm dy\wedge\mathrm dz)+B _ y\iota _ v(\mathrm dz\wedge\mathrm dx)+B _ z\iota _ v(\mathrm dx\wedge\mathrm dy)\\&=\iota _ v(B _ x\mathrm dy\wedge\mathrm dz+B _ y\mathrm dz\wedge\mathrm dx+B _ z\mathrm dx\wedge\mathrm dy).\end{aligned}如果将\boldsymbol B用B _ x\mathrm dy\wedge\mathrm dz+B _ y\mathrm dz\wedge\mathrm dx+B _ z\mathrm dx\wedge\mathrm dy表示（先将\boldsymbol B表示为B _ x\mathrm dx+B _ y\mathrm dy+B _ z\mathrm dz，再替换\mathrm dx\to\mathrm dy\wedge\mathrm dz等），那么\boldsymbol F=q(\boldsymbol E+\boldsymbol v\times\boldsymbol B)就有了新的表达：
F=q(E+\iota _ vB).这个式子应在平移变换、宇称变换、Lorentz变换下不变（过程先不写了）。

以上的讨论启发我们用一个2形式F描述电磁场（字母复用了，但问题不大）。设某坐标系下有时空坐标(t,x,y,z)，那么电磁场为
\begin{gathered}E=E _ x\mathrm dx+E _ y\mathrm dy+E _ z\mathrm dz,\\B=B _ x\mathrm dy\wedge\mathrm dz+B _ y\mathrm dz\wedge\mathrm dx+B _ z\mathrm dx\wedge\mathrm dy,\\F=B+E\wedge\mathrm dt.\end{gathered}根据前面的讨论，这些量是不依赖于坐标的。

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同样地，在Minkowski度规下，对(\rho,J _ x,J _ y,J _ z)降指标得到的微分形式是
J=\rho\, \mathrm dt-J _ x\mathrm dx-J _ y\mathrm dy-J _ z\mathrm dz.根据前文计算，这也是不依赖时空坐标的。

Maxwell方程组的几何表述

在得到以下这些几何量后，Maxwell方程组就有了全新的表述。设时空为带度规的定向流形M=\mathbb R\times S，\mathbb R代表时间，S代表空间。
\begin{gathered}F=B+E\wedge\mathrm dt,\\E=E _ x\mathrm dx+E _ y\mathrm dy+E _ z\mathrm dz,\\B=B _ x\mathrm dy\wedge\mathrm dz+B _ y\mathrm dz\wedge\mathrm dx+B _ z\mathrm dx\wedge\mathrm dy,\\J=\rho\, \mathrm dt-J _ x\mathrm dx-J _ y\mathrm dy-J _ z\mathrm dz=\rho\, \mathrm dt-j.\end{gathered}
本节要将方程组
\begin{aligned}\nabla \cdot \boldsymbol{B} &= 0, \\\nabla \times \boldsymbol{E} +\frac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial t}&=0, \\\nabla \cdot \boldsymbol{E} &= \rho, \\\nabla \times \boldsymbol{B}- \frac{\partial \boldsymbol{E}}{\partial t} &= \boldsymbol{J}, \\\end{aligned}改写为
\begin{gathered}\mathrm dF=0,\\\operatorname{\star} \mathrm d\operatorname{\star} F=J.\end{gathered}

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我们把外导数中的时间和空间部分分开来。设局部坐标中\omega=\omega _ I\mathrm dx^I，那么\mathrm d\omega=\frac{\partial\omega _ I}{\partial x^\mu}\mathrm dx^\mu\wedge\mathrm dx^I，其中\mu=0,1,2,3，分成两部分：
\begin{aligned}\mathrm d\omega&=\frac{\partial\omega _ I}{\partial x^0}\mathrm dx^0\wedge\mathrm dx^I+\frac{\partial\omega _ I}{\partial x^i}\mathrm dx^i\wedge\mathrm dx^I,\quad i=1,2,3\\&:=\mathrm dt\wedge\partial _ t\omega+\mathrm d _ S\omega.\end{aligned}那么
\begin{aligned}\mathrm dF&=\mathrm dB+\mathrm dE\wedge \mathrm dt\\&=\mathrm dt\wedge\partial _ t B+\mathrm d _ SB+(\mathrm dt\wedge\partial _ tE+\mathrm d _ SE)\wedge\mathrm dt\\&=\mathrm d _ SB+\mathrm dt\wedge(\partial _ tB+\mathrm d _ SE).\end{aligned}这里\mathrm d _ SB和\partial _ tB+\mathrm d _ SE表达式均不含\mathrm dt了。我们已经知道，三维空间里的2形式的外导数相当于散度，1形式的外导数相当于旋度，于是Maxwell方程组前两个相当于
\begin{aligned}\mathrm d _ SB&=0,\\\partial _ tB+\mathrm d _ SE&=0.\end{aligned}正是
\mathrm dF=0.

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设空间S为三维且时空带Minkowski度规，我们记三维空间上的Hodge星算子是\star _ S。我们已经知道
\operatorname{\star} F=\star(B+E\wedge\mathrm dt)=\mathrm dt\wedge(\star _ SB)+\star _ SE.求外导数：
\operatorname{\mathrm d\star} F=-\mathrm dt\wedge(\operatorname{\mathrm d _ {\mathit S}\star _ {\mathit S}}B)+\operatorname{\mathrm d _ {\mathit S}\star _ {\mathit S}}E+\mathrm dt\wedge\star _ S\partial _ t E.再求Hodge对偶：
\operatorname{\star}\mathrm d\star F=-\operatorname{\star _ {\mathit S}\mathrm d _ {\mathit S}\star _ {\mathit S}}B+(\operatorname{\star _ S\mathrm d _ {\mathit S}\star _ {\mathit S}}E)\, \mathrm dt+\partial _ tE.这里\operatorname{\star _ {\mathit S}\mathrm d _ {\mathit S}\star _ {\mathit S}}B和\partial _ tE表达式均不含\mathrm dt了。

Maxwell方程后两个可写为
\operatorname{\star _ {\mathit S}\mathrm d _ {\mathit S}\star _ {\mathit S}}E=\rho,\\\operatorname{\star _ {\mathit S}\mathrm d _ {\mathit S}\star _ {\mathit S}}B-\partial _ tE=j.这正是
\operatorname{\star}\mathrm d\star F=J.

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Maxwell方程组：
\begin{aligned}\mathrm dF&=0,\\\operatorname{\star} \mathrm d\operatorname{\star} F&=J.\end{aligned}
在更深入的理论物理里，可对该式子进行更深刻的推广。

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我们知道，电荷守恒定律由连续性方程表示：
\nabla\cdot\boldsymbol J=-\frac{\partial\rho}{\partial t}.Maxwell方程组蕴含了该方程，用一些向量分析即可得到。

另一方面，将原式移项得\partial _ t\rho+\nabla\cdot\boldsymbol J=0，左边是个类似散度的“四维散度”表达式，而三维的散度是借助2形式的外导数表达的，因此我们希望四维里3形式的外导数对应这个“四维散度”。
J=\rho\, \mathrm dt-j\implies \operatorname{\star} J=\rho\, \mathrm dx\wedge\mathrm dy\wedge\mathrm dz-\mathrm dt\wedge(\star _ Sj).求外导数：
\operatorname{\mathrm d\star}J=\partial _ t\rho\, \mathrm dt\wedge\mathrm dx\wedge\mathrm dy\wedge\mathrm dz+\mathrm dt\wedge(\operatorname{\mathrm d _ {\mathit S}\star _ {\mathit S}}j)=\mathrm dt\wedge(\partial _ t\rho\, \mathrm dx\wedge\mathrm dy\wedge\mathrm dz+\operatorname{\mathrm d _ {\mathit S}\star _ {\mathit S}}j).连续性方程即\partial _ t\rho+\operatorname{\star _ {\mathit S}\mathrm d _ {\mathit S}\star _ {\mathit S}}j=0，由上式知其微分形式表达就是
\operatorname{\mathrm d\star}J=0.由Maxwell方程组可快速导出，\operatorname{\star} \mathrm d\operatorname{\star} F=J，两边求Hodge对偶，再求外导数。由于外导数具有\mathrm d^2=0的性质，\operatorname{\mathrm d\star}J=0成立。