微分与不定积分
本章的目的是要在 Lebesgue 积分理论中推广微积分基本定理，并给出 Newton-Leibniz 公式成立的充分必要条件．为简单起见，着重\mathbb{R}^1的情形．
单调函数的可微性
在点集测度理论的基础上，我们可以建立各种形式的集合覆盖定理，它们为深入研究函数的可微性提供了恰当的方法．本节将给出在 Vitali 意义下的覆盖定理，井由此证明 Lebesgue 的著名结论：单调函数是几乎处处可微的．
定理1（Vitali覆盖）：设E\subset\mathbb{R}^1且m^\ast(E)<\infty，若\Gamma是E 的 Vitali 覆盖，则对于任意的\varepsilon>0，存在有限个互不相交的I_j\in\Gamma，使得
m ^\ast\left(E \backslash \bigcup_{j=1}^{n} I_{j}\right)<\varepsilon.
定理2（Lebesgue）：若f(x)是定义在[a,b]上的单调上升（实值）函数，则f(x)的不可微点集为零测集，且有
\int_a^b f^\prime (x)\leqslant f(b)-f(a).
定理3（Fubini，逐项积分）：设\{f_n(x)\}是[a,b]上的递增函数列，且\sum_{n=1}^\infty f_n(x)在[a,b]上收敛，则
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\left(\sum_{n=1}^{\infty} f_{n}(x)\right)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} f_{n}(x), \quad \text { a. e. } x \in[a, b].
有界变差函数
定理4：若f(x)是[a,b]上的实值函数，a<c<b，则
\bigvee_{a}^{b}(f)=\bigvee_{a}^{c}(f)+\bigvee_{c}^{b}(f).
定理5（Jordan分解）：
f\in\mathrm{BV}([a,b])\Longleftrightarrow f(x)=g(x)-h(x),
其中g(x)与h(x)是[a,b]上的单调上升（ 实值）函数．
不定积分的微分
引理1：设f\in L([a,b])，令\displaystyle F_h(x)=\frac1h\int_x^{x+h}f(t)~\mathrm{d}t（当x\notin[a,b]时，令f(x)=0），有
\lim _{h \rightarrow 0} \int_{a}^{b}\left|F_{h}(x)-f(x)\right| \mathrm{d} x=0.
定理6：设f\in L([a,b])，令
F(x)=\int_a^{x}f(t)~\mathrm{d}t,\quad x\in[a,b],
则
F^\prime (x)=f(x),\quad \text{a. e. }x\in[a,b].
推论1：若f\in L([a,b])，则对[a,b]中几乎处处的点x，都有
\lim _{h \rightarrow 0} \frac{1}{h} \int_{0}^{h}|f(x+t)-f(x)| \mathrm{d} t=0.
称满足上式的点x为f(x)的Lebesgue点．
绝对连续函数与微积分基本定理
引理：设f(x)在[a,b]上几乎处处可微且f^\prime (x)=0, a.e. x\in[a,b]．若f(x)在[a,b]上不是常数函数，则必存在\varepsilon>0，使得对任意的\delta>0，[a,b]内存在有限个互不相交的区间：(x_1,y_1),\dots,(x_n,y_n)，其长度的总和小于\delta，使得\sum|f(y_i)-f(x_i)|>\varepsilon.
定义：设f(x)是[a,b]上的实值函数．若对任给的\varepsilon>0，存在\delta>0，使得当[a,b]中任意有限个互不相交的开区间(x_i,y_i)\, (i=1,\dots,n)满足\sum(y_i-x_i)<\delta时，有\sum|f(y_i)-f(x_i)|<\varepsilon，则称f(x)是[a,b]上的绝对连续函数，其全体记为\mathrm{AC}([a,b]).
定理7：若f\in L([a,b])，则其不定积分\displaystyle F(x)=\int_a^{x}f(t)~\mathrm{d}t是[a,b]上的绝对连续函数．
定理8：若f(x)是[a,b]上的绝对连续函数，则f(x)是[a,b]上的有界变差函数．
推论2：若f(x)是[a,b]上的绝对连续函数，则f(x)在[a,b]上是几乎处处可微的，且f^\prime (x)是[a,b]上的可积函数．
定理9：若f(x)是[a,b]上的绝对连续函数，且f^\prime (x)=0, a.e. x\in[a,b]，则f(x)在[a,b]上等于一个常数．
定理10（微积分基本定理）：若f(x)是[a,b]上的绝对连续函数，则
f(x)-f(a)=\int_{a}^{x} f^\prime (t) ~\mathrm{d} t, \quad x \in[a, b].
综合上述，可小结如下：
一个定义在[a,b]上的函数f(x)具有形式
f(x)=f(a)+\int_{a}^{x} g(t) \mathrm{d} t, \quad g(t) \in L([a, b])
的充分必要条件为：f(x)是[a,b]上的绝对连续函数．此时我们有g(x)=f^\prime (x), a.e. x\in[a,b].
绝对连续函数是几乎处处可微的这个结论一般是不能改进的．
分部积分、中值公式
定理11（分部积分公式）：设f(x),g(x)皆为[a,b]上的可积函数， \alpha,\beta\in\mathbb{R}^1，令
F(x)=\alpha+\int_{a}^{x} f(t) ~\mathrm{d} t, \quad G(x)=\beta+\int_{a}^{x} g(t) ~\mathrm{d} t,
则
\int_{a}^{b} G(x) f(x) ~\mathrm{d} x+\int_{a}^{b} g(x) F(x) ~\mathrm{d} x=F(b) G(b)-F(a) G(a).
注意到绝对连续函数与不定积分的关系，上述定理可改述如下：
设f(x),g(x)是[a,b]上的绝对连续函数，则
\int_{a}^{b} f(x) g^\prime (x) ~\mathrm{d} x+\int_{a}^{b} f^\prime (x) g(x) ~\mathrm{d} x=f(b) g(b)-f(a) g(a).
定理12（积分第一中值公式）：若f(x)是[a,b]上的连续函数，g(x)是[a,b]上非负可积函数，则存在\xi\in[a,b]，使得
\int_{a}^{b} f(x) g(x) ~\mathrm{d} x=f(\xi) \int_{a}^{b} g(x) ~\mathrm{d} x.
定理13（积分第二中值公式）：若f\in L([a,b])，g(x)是[a,b]上的单调函数，则存在\xi\in[a,b]，使得
\int_{a}^{b} f(x) g(x) ~\mathrm{d} x=g(a) \int_{a}^{\xi} f(x) ~\mathrm{d} x+g(b) \int_{f}^{b} f(x) ~\mathrm{d} x.
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