以前看复分析的时候，看的是龚昇的《简明复分析》，但对于这书，并没能留下太多正面的印象．不过还是照着书把里面的核心结论抄了一遍，基本没有定理证明．

本文是又把复分析的一些基础内容整理了一遍，但很多地方都给出了相应的推导证明．大致情况是前面部分简略些后面解释多些．

可读性应该是大大提升了．

复分析是与几何学密切联系的，但这次却反其道而行之基本没讨论几何，或许直接看《复分析：可视化方法》（原书Visual Complex Analysis）更为合适．是力荐书目．

复数与复变函数

定义与运算

复分析的基础首先就是复数域\mathbb C．其定义和一些能在实数\mathbb R里能直接推广的性质，最好是在初等微积分就一并打包讨论，但为了回顾，这里也列举一些．

定义：复数域\mathbb C可以定义为：包含\mathbb R为子域的域、里面有复数\mathrm i使得\mathrm i^2=-1且对任意复数z\in\mathbb C都有表示z=x+y\mathrm i，其中x,y是实数．不难验证每个复数的表示是唯一的．这样

\mathbb C=\{x+y\mathrm i\mid x,y\in\mathbb R\}.

对于一个复数z=x+y\mathrm i，其共轭复数是\bar z=x-y\mathrm i．

几何性质：复数有非常好的几何性质．复数域\mathbb C可以与\mathbb R^2的平面向量一一对应，这个平面一般叫复平面．复数z就可以按显然的方式定义模长|z|和辐角\operatorname{arg}z，复数的运算的几何意义也随之被赋予：复数的加法等价于对应向量的加法，复数的乘法等价于结果为以模长乘积为长、辐角之和为辐角的向量．这是可以直接验证的．

例如对乘法来说，要使得几何法则能给出(a+b\mathrm i)(c+d\mathrm i)=(ac-bd)+(ad+bc)\mathrm i，关键是验证几何法则可以给出\mathrm i^2=-1、乘法分配律的成立．前者是明显的，考虑验证z _ 1(z _ 2+z _ 3)=z _ 1z _ 2+z _ 1z _ 3，左边是把以0,z _ 2,z _ 3,z _ 2+z _ 3为顶点的平行四边形的顶点z _ 2+z _ 3按z _ 1缩放并旋转．右边则是把顶点z _ 2,z _ 3按z _ 1缩放并旋转．得到的z _ 1(z _ 2+z _ 3),z _ 1z _ 2,z _ 1z _ 3当然也组成平行四边形，这表明z _ 1(z _ 2+z _ 3)=z _ 1z _ 2+z _ 1z _ 3．

反之，代数定义的乘法也可以导出几何定义，也就是(x+y\mathrm i)z的模长等于\sqrt{x^2+y^2}|z|，辐角等于两复数辐角之和．展开(x+y\mathrm i)z=xz+y(z\mathrm i)．可以看出，(z,z\mathrm i)恰好可以构成右手系，这个坐标系单位长是|z|，方向为原来的旋转\operatorname{arg}(z)，于是(x,y)坐标切换到原坐标，模长放大|z|倍，辐角增大\operatorname{arg}(z)．（也可以用三角的方法来验证）

扩充复平面：

很多时候可以把无穷远点也一并纳入考虑，带来便利．也就是说，考虑扩充的复数extended complex numbers

\mathbb C _ \infty=\mathbb C\cup\{\infty\}.

其拓扑会放到Riemann球面上考虑．考察一三维空间的单位球面S^2:x _ 1^2+x _ 2^2+x _ 3^2=1，其上除了(0,0,1)外，可用复数

z=\frac{x _ 1+\mathrm ix _ 2}{1-x _ 3}

来一一对应，而且是个同胚．令无穷远点对应(0,0,1)，就完成了S^2到C _ \infty的一一对应．

如复平面为以x _ 1轴为实轴，x _ 2轴为虚轴的平面，则上式有明确的几何意义．取z = x + \mathrm iy，点(x, y, 0)、(x _ 1, x _ 2, x _ 3)、(0, 0, 1)在一条直线上．因此，这个对应实际上是以(0, 0, 1)为中心的中心投影，将S^2上的点投影到\mathbb{C} _ \infty上，称这个投影为球极平面投影．在球面表示中，无穷远点不再有任何特殊了．

如果记z=r\mathrm e^{\mathrm i\theta}，还可以如下对应：

z\mapsto \Big(\frac{2r\cos\theta}{r^2+1},\frac{2r\sin\theta}{r^2+1},\frac{r^2-1}{r^2+1}\Big).

指数函数

类似于直角坐标和极坐标，复数也可以有另一种表示，z=r\mathrm e^{\mathrm i\theta}，其中r\geqslant0，\theta为实数，分别对应模长和辐角．这种表示使得乘法变得更为明显．当然这里涉及到了复指数函数，现在就来定义它．

一种比较便于推广到复数的实指数函数是用幂级数定义的定义．也就是对复数z定义

\mathrm e^z=1+z+\frac{z^2}{2!}+\frac{z^3}{3!}+\cdots.

和实数情形一样，绝对收敛级数是收敛的，而\mathrm e^z总是绝对收敛，故本身收敛．

三角函数：令z=\mathrm i\theta，并比较三角函数的Taylor级数，可以得出Euler公式

\mathrm e^{\mathrm i\theta}=\cos\theta+\mathrm i\sin\theta.

由此知

\cos\theta=\frac{\mathrm e^{\mathrm i\theta}+\mathrm e^{-\mathrm i\theta}}{2},\quad \sin\theta=\frac{\mathrm e^{\mathrm i\theta}-\mathrm e^{-\mathrm i\theta}}{2\mathrm i}.

这对一般复数也成立．这还让我们能看出三角函数和双曲函数的关系．

\cosh z=\frac{\mathrm e^{z}+\mathrm e^{-z}}{2},\quad \sin z=\frac{\mathrm e^{z}-\mathrm e^{-z}}{2}.\\
\implies \cosh (\mathrm iz)=\cos z,\quad \sinh (\mathrm iz)=\mathrm i\sin z,\\
\phantom{\implies} \cosh z=\cos (\mathrm iz),\quad \sinh z=-\mathrm i\sin (\mathrm iz).

命题：指数函数的级数绝对收敛意味着可以利用级数乘法证明\mathrm e^a\mathrm e^b=\mathrm e^{a+b}．

令w=\mathrm e^z，有如下观察：

• 若z以某一速度向上运动，那么w以这一速度绕原点旋转．
• 当z向上移动2\pi后，w回到原点，因此指数函数有周期2\pi\mathrm i．
• 若z向左运动，则w向原点靠拢，若向右，则远离．
• 这表明，复平面高为2\pi的带状区域被变换到整个除了w=0外的所有点．

幂级数

将幂级数作为复变函数，可以得到更深刻的结果．例如，利用几何级数，可知

\frac{1}{1-x^2}=\sum _ {j=0}^\infty x^{2j},\quad \frac{1}{1+x^2}=\sum _ {j=0}^\infty (-1)^jx^{2j},

收敛区间都是-1<{x}<1，对于第一个是不难看出的，因为\pm1是其无穷大点（奇点），但是对第二个就不能这么说了．只有当作复变函数看待才清楚，\pm\mathrm i是1\mathbin/(1+x^2)的奇点，因此“收敛半径”不大过1．

收敛半径：考虑以原点为中心的幂级数，若在一点z处收敛，则在圆盘D(0,|z|)里绝对收敛．证明和实情形雷同．由此也知，若在z处发散，则在D(0,|z|)外处处发散．

这样，就可以找到一个收敛半径，在这个半径范围内的点都收敛，之外的都发散．在圆周上的则不能确定．

和实数情形一样，在收敛圆盘内的紧的闭圆盘，是一致收敛的，也就是内闭一致收敛（或者更精确地叫紧一致收敛）．考虑极限时，这是比一致收敛更有用的概念．

收敛半径的求法也和实情形类似，例如可用Cauchy-Hadamard公式

R=\frac{1}{\limsup\limits _ {n\to\infty}\sqrt[n]{|a _ n|}}.

多值函数：函数z\mapsto \sqrt[3]z就是个多值函数的例子．将z绕原点一周回到原处，像却没有归位，而是增大了2\pi/3的辐角，因此要转三圈才能回到原来，因此原点0被称作2阶支点．

从多值函数中可以分出单值支．从一个点p出发，任取一个立方根作为\sqrt[3]p，然后让p运动，运动到z，这个z的像与路径形状是无关的．如果让路径连续的变形，但不允许越过支点，就总会得到同一个\sqrt[3]p．这表明，主要考虑一个单连通区域，就可以定义单值的一支．

通常的做法是取负实轴作为割线，割出单连通区域．不越过割口，只需让辐角总满足-\pi< \operatorname{arg}z\leqslant\pi，称作辐角主值．

支点也是幂级数收敛的障碍．如果收敛圆盘包含支点，从一个点出发，到终点的两条路径就可以有不同的结果，如果包含支点的话．但幂级数是单值的，因此并不能做到这点．

命题：如果复变函数可表示为幂级数，则收敛半径为由中心到最近的奇点或支点的距离．

对数函数

下面不会过多涉及对数函数，但这里还是给出定义．对数函数定义为\exp(\log z)=z的函数\log z，由此知

\log z=\ln |z|+\mathrm i\operatorname{arg}z.

这是个可取无穷多值的多值函数．原点是一个支点，无论绕多少圈\log都回不去，称作对数支点．

复数级数

除了前面提及的级数性质，还有很多是可以轻松从实情形推广的，例如：

• Cauchy收敛原理．
• Weierstrass判别法．
• 一个一致收敛的连续函数序列，其极限函数也是连续的．

对于逐项求导，在实的情形，定理为：一列闭区间上的可导函数，在里面至少一个点收敛，且它们导数一致收敛，那么这列函数一致收敛，极限的导数恰为导数的极限．对于复的情形，可以利用后面的积分理论来证明以下的Weierstrass定理．

定理(Weierstrass)：一个可导函数列内闭一致收敛（即紧一致收敛），那么极限函数也是可导的，且导数也内闭一致收敛到极限函数的导数．

全纯函数

前面讨论的主要是能直接照搬实变数函数的讨论（具体细节因而没写出太多），Weierstrss定理却可以看出来一涉及到导数，情况就有了本质的不同，不再是对实情形的简单模仿．考虑复变函数的微积分，大量全新的结果才开始涌现．

导数

设函数f(z)定义在一开集上，在z _ 0的复导数，还是定义为

f'(z _ 0)=\lim _ {z\to z _ 0}\frac{f(z)-f(z _ 0)}{z-z _ 0}.

这相当于是个二重极限，而且还是个复数的除法的极限，因此其存在对函数的要求非常高．例如，（后面可以轻松看出，）简单地取个共轭就没有导数：z\mapsto\bar z．

将上式改写为

f(z)=f(z _ 0)+f'(z _ 0)(z-z _ 0)+o(z-z _ 0),

也就是函数改变的主要部分是将z-z _ 0按f'(z _ 0)进行伸缩和旋转，不妨写为\mathrm df(z)=f'(z)\mathrm dz．这样，直观上看，就可以粗略地说\mathrm dz按f'(z _ 0)进行伸缩和旋转为\mathrm df(z)，以\mathrm dz为半径的圆盘被映为了半径缩放f'(z)的圆盘．

由此立知共轭函数不可导，因为不同方向的\mathrm dz会按不同的角度旋转．

全纯函数

如果函数总是可导，那么叫做全纯函数(holomorphic function)或解析函数(analytic function)．

常见的导数法则仍适用，例如加法与乘法、反函数、复合函数的法则．还可以验证z\mapsto 1/z在非零处都是可导的，因而除法也有对应法则．

简单的全纯函数如恒等映射z\mapsto z，通过相加相乘，可知多项式都是全纯的，有理函数于是也是全纯的．但是幂级数是不是全纯的？导数如何？可以证明答案是肯定的，导数就是逐项求导．直接计算来证是可行的，当然如果利用积分理论证明了Weierstrass定理，就直接推出来了．

定理：设f在定义域可被幂级数表示，也就是在里面每个圆盘都可展开为以圆心为中心的幂级数，那么f全纯，导数可被幂级数表示，且f的幂级数表示可以逐项求导．

这定理表明导数也全纯，也可被幂级数表示．设f在一个圆盘的幂级数表示为f(z)=\sum _ {i=0}^\infty c _ n(z-a)^n，利用逐项求导，不难推知

n!c _ n=f^{(n)}(a).

这表明幂级数表示唯一．

更重要的是这个定理的逆定理，也就是全纯函数都能在定义域里的圆盘被圆盘圆心为中心的幂级数表示．用Cauchy的积分理论可证．

Cauchy-Riemann方程

可以把函数看成是\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2的实映射，即(x,y)\mapsto (u,v)，f(x+\mathrm iy)=u(x,y)+\mathrm i\, v(x,y)．如果f在一点z _ 0复可导，那么函数改变的主要部分是f'(z _ 0)(z-z _ 0)，设f'(z _ 0)=a+b\mathrm i，那么z _ 0处的微分是

(x,y)\mapsto (a+b\mathrm i)(x+y\mathrm i)=(ax-by)+(ay+bx)\mathrm i.

写成实的线性映射就是

\begin{pmatrix}
x\\y
\end{pmatrix}\mapsto\begin{pmatrix}
a&-b\\b&a
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x\\y
\end{pmatrix}.

所以不难得知，复可导时也实可导；对照Jacobi矩阵，在这点处

\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}=a,\quad -\frac{\partial u}{\partial y}=\frac{\partial v}{\partial x}=b.

这就是Cauchy-Riemann方程．

定理：一个实可微的复变函数在一点复可导，当且仅当Cauchy-Riemann方程成立．

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还可以再换个角度．不妨设z _ 0=0，那么对于一个实可微的复值函数f，

f(z)=f(0)+\frac{\partial f}{\partial x}(0)x+\frac{\partial f}{\partial y}(0)y+o(z).

再将x=(z+\bar z)\mathbin/2和y=(z-\bar z)\mathbin/(2i)代入，记\alpha=\frac{\partial f}{\partial x}(0)，\beta=\frac{\partial f}{\partial y}(0)，

\begin{aligned}
f(z)&=f(z _ 0)+\frac{\alpha}{2}(z+\bar z)-\frac{\mathrm i\beta}{2}(z-\bar z)+o(z)\\
&=f(z _ 0)+\frac{\alpha-\mathrm i\beta}{2}z+\frac{\alpha+\mathrm i\beta}{2}\bar z+o(z).
\end{aligned}

这就引出了如下习惯上定义的算子：

\partial =\frac12\Big(\frac{\partial}{\partial x}-\mathrm i\frac{\partial}{\partial y}\Big),\quad \bar\partial=\frac12\Big(\frac{\partial}{\partial x}+\mathrm i\frac{\partial}{\partial y}\Big).

由此看出，在z _ 0=0处f复可导，当且仅当下式总成立，只能系数为零

(\bar\partial f)(0)\frac{\bar z}{z}=0,\quad z\neq 0.

定理：设复函数f在U实可微，则f是U上的全纯函数的充要条件是(\bar\partial f)(z)=0对z\in U都成立．全纯函数的导数可表示为f'(z)=(\partial f)(z)．

将\bar\partial f=0实复部拆开，就是Cauchy-Riemann方程．

积分

积分是研究全纯函数的有力工具．要对全纯函数的更多惊人性质进行讨论，最好最便捷的方案是先建立基础的积分理论．

由于积分要在复平面上进行，因此可以考虑用曲线积分的方法来定义复积分．这样，设\Gamma是一条分段连续可导的曲线，有参数表示\gamma(t)\, (t\in[\alpha,\beta])，参数增加对应曲线定向，而函数f在这曲线\Gamma上连续，那么：

• 积分可以变为在实数轴上进行：

\int _ \Gamma f(z)\, \mathrm dz=\int _ \alpha^\beta f(\gamma(t))\gamma'(t)\, \mathrm dt.

• 曲线上一致收敛的函数列的积分收敛于极限函数的积分．
• 还有不等式

\Big|\int _ \Gamma f(z)\, \mathrm dz\Big|\leqslant \|f\| _ \infty\int _ \alpha^\beta|\gamma'(t)|\, \mathrm dt.

右边，\|f\| _ \infty是|f|在曲线上的最大值，积分是曲线长度．

环绕数

在讨论多值函数时可以看到闭合路径环绕一个点的次数似乎有一定意义，事实上它在复积分里发挥非常重要的作用．设\Gamma是闭合路径，即\gamma(\alpha)=\gamma(\beta)，则环绕数(winding number, index)就是按照其定向绕行后绕过某个点z的（净）次数，记作\operatorname{Ind} _ \gamma(z)．

环绕数可以从1/z的积分中得到启发，如果写z=r\mathrm e^{\mathrm i\theta}，则\mathrm dz=\mathrm e^{\mathrm i\theta}\mathrm dr+\mathrm ir\mathrm e^{\mathrm i\theta}\mathrm d\theta，故\mathrm dz/z=\mathrm dr/r+\mathrm i\, \mathrm d\theta=\mathrm d(\ln r)+\mathrm i\, \mathrm d\theta．当绕闭路径积分，第一项为零，1/z的积分就等于\mathrm i乘辐角的变化量，也就是原点的环绕数乘2\pi．因此应有

\operatorname{Ind} _ \gamma(0)=\frac{1}{2\pi\mathrm i}\oint _ \gamma\frac{\mathrm dz}{z}.

对于1/z的积分，一种几何的方法可参见《复分析：可视化方法》（原书Visual Complex Analysis）．

在所有幂函数中1/z是最特殊，也是最重要的．下面定理表明，z^n在n\neq-1时环路积分都是零，因为有原函数z^{n+1}\mathbin/(n+1)．

定理：设f在\Omega连续可导，则对任意其中的闭合路径\Gamma有

\oint _ \Gamma f'(z)\, \mathrm dz=0.

利用微积分基本定理即证．

环绕数

定理：设\Gamma是闭合路径，参数表示为\gamma(t)\, (t\in[\alpha,\beta])，令\Omega:=\mathbb C\setminus\Gamma，

\operatorname{Ind} _ \gamma(z):=\frac{1}{2\pi\mathrm i}\oint _ \gamma\frac{\mathrm d\zeta}{\zeta-z},\quad z\in\Omega.

那么，

• 这样定义的\operatorname{Ind} _ \gamma(z)\in\mathbb Z，总是取整的．
• 在\Omega的每个连通单元（每个最大连通子集）都是常值．
• 在\Omega的无界的连通单元上是零．（因为\Gamma紧，可被一个圆盘D盖住，那么D^c就全在\Omega里，而D^c连通，故\Omega有且只有一个无界的连通单元，下面不妨把它称作\Gamma的外部．）

定理证明不难．将\operatorname{Ind} _ \gamma(z)写为

\frac{1}{2\pi\mathrm i}\int _ \alpha^\beta\frac{\gamma'(t)}{\gamma(t)-z}\, \mathrm dt.

将右边这个积分看作变上限积分I(x)（其中\alpha\leqslant x\leqslant \beta）在x=\beta的取值．我们要证这个积分是2\pi\mathrm i的整数倍，等价于\exp(I(x))=1，令\varphi(x)=\exp(I(x))，求导得

\frac{\varphi'(x)}{\varphi(x)}=\frac{\gamma'(x)}{\gamma(x)-z}.

这只在\gamma不可导的有限多个点不成立．如果是实值函数已经可以得知\ln \varphi(x)和\ln(\gamma(x)-z)只相差个常数，这里其实也成立\varphi(x)\mathbin/(\gamma(x)-z)是常数，可以通过求导验证．于是

\frac{\varphi(x)}{\gamma(x)-z}=\frac{\varphi(\alpha)}{\gamma(\alpha)-z}\implies \varphi(x)=\frac{\gamma(x)-z}{\gamma(\alpha)-z}.

令x=\beta，注意到\Gamma是闭合的，即知\varphi(x)=1，这就是要证的．这就得出了\operatorname{Ind} _ \gamma(z)是整数．通过下一命题，可知\operatorname{Ind} _ \gamma(z)是全纯函数，因此在\Omega的连通单元下的像也是连通的，由于只能取整数，像只能是单个点，这表明每个连通单元上都是常数．最后，|z|充分大时，|\operatorname{Ind} _ \gamma(z)|可以非常小，因此只能是零．

这个证明用到了环绕数是全纯函数这一断言，利用前面定理，只需验证它在定义域都能被幂级数表示．

命题：设\Omega是一个开集，取\Omega中的圆盘D(a,r)，设\varphi是一个像集不与\Omega相交的函数，则下面这种积分可被a为中心的幂级数表示：

\int _ \alpha^\beta\frac{\psi(\zeta)}{\varphi(\zeta)-z}\mathrm d\zeta.

证明它可以利用|\varphi(\zeta)-a|\geqslant r以及Weierstrass判别法，将被积函数写成一致收敛的幂级数，交换积分和求和的顺序即证．

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例：一个简单的例子就是圆的环绕数，设它是逆时针正向定向，已知外部的点环绕数是0．对于内部，只需考虑圆心的环绕数，代入积分计算即知环绕数是1．

下面给出求环绕数的一个实用方法．以上图的\operatorname{Ind} _ \gamma(z)为例，点z穿过一次\gamma后到w，那么

\operatorname{Ind} _ \gamma(z)=1+\operatorname{Ind} _ \gamma(w).

也就是说，如果穿过去时路径是从右往左，那么环绕数减小1；这样，由于已经知道\gamma外部环绕数是零，只需要看一个点到达外部穿过多少次\gamma，就可以轻松知道其环绕数．

上式可以如下推导，用到了后边的柯西积分定理．不妨设z,w在\gamma两边附近，作一个包含z,w的小圆盘D，仅包含\gamma的一小段．然后记圆盘圆周为C，f为圆上边部分的闭合路径，g为圆下边部分的闭合路径，h为\gamma把圆盘内的部分移到圆周上边部分所成的新路径．那么利用后面的柯西积分定理，可知\operatorname{Ind} _ g(w)=\operatorname{Ind} _ f(z)=0．

\operatorname{Ind} _ \gamma(z)=\operatorname{Ind} _ \gamma(z)+\operatorname{Ind} _ f(z)=\operatorname{Ind} _ h(z)=\operatorname{Ind} _ h(w).

而\operatorname{Ind} _ h(w)=\operatorname{Ind} _ h(w)+\operatorname{Ind} _ g(w)，在h和g上的积分等于在\gamma和C上的积分，而圆周的环绕数已经求出，故

\operatorname{Ind} _ \gamma(z)=\operatorname{Ind} _ \gamma(w)+\operatorname{Ind} _ C(w)=\operatorname{Ind} _ \gamma(w)+1.

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我们知道了，固定一个环路而让点连续运动, 则只在点穿越环路时环绕数才会改变．直观上，环绕数还有这样一个性质：如果是固定的点和连续运动的环路，同样的结果也是对的：只有在演变中的环路穿过此点时环绕数才会变．数学中用同伦homotopy来刻画这种环路的连续变动．

定理：设\Omega是复平面上的一个区域，\Gamma _ 1,\Gamma _ 2是里面两条闭合路径，满足：其中一条可以在\Omega里连续形变为另一条（也就是\Omega-同伦）．对于\Omega之外的点\alpha，必有

\operatorname{Ind} _ {\Gamma _ 1}(\alpha)=\operatorname{Ind} _ {\Gamma _ 2}(\alpha), \quad \alpha\notin\Omega.

证明了这个定理，利用\alpha对\Gamma _ 1-\Gamma _ 2的环绕数为零（这里减号不代表集合操作）以及后面的定理，立即可得

\oint _ {\Gamma _ 1}f(z)\, \mathrm dz=\oint _ {\Gamma _ 2}f(z)\, \mathrm dz.

其中f是\Omega上的全纯函数．更一般地，可用Cauchy积分定理证明如下定理．

定理：设U是一个开集，\Gamma _ 1,\Gamma _ 2都是一些U中的闭合路径，满足对U之外的点\alpha都有

\operatorname{Ind} _ {\Gamma _ 1}(\alpha)=\operatorname{Ind} _ {\Gamma _ 2}(\alpha),\quad \alpha\notin U.

其中环绕数表示对各自所含的所有闭路径的环绕数求和（下面积分类似），那么

\int _ {\Gamma _ 1}f(z)\, \mathrm dz=\int _ {\Gamma _ 2}f(z)\, \mathrm dz.

例如，\Gamma是一个闭路径，里面有两个U的“洞”，可以对这两个洞分别作个小圆\gamma _ 1,\gamma _ 2，则对\Gamma的积分等于对\gamma _ 1,\gamma _ 2的积分和．

Cauchy积分定理

由于积分是用曲线积分定义，因此从一个点到另一个点的积分值依赖于路径的选择．然而，对于全纯函数来说，积分与路径无关，或者等价地说，环路积分为零，这就是神奇的Cauchy积分定理．

如果设全纯函数f=u+\mathrm iv实连续可导，利用\mathrm dz=\mathrm dx+\mathrm i\, \mathrm dy，得

\oint _ \Gamma f(z)\, \mathrm dz=\oint _ \Gamma (u\, \mathrm dx - v\, \mathrm dy) + \mathrm i\oint _ \Gamma (v\, \mathrm dx + u\, \mathrm dy).

利用Green公式和Cauchy-Riemann方程，

\oint _ \Gamma f(z)\, \mathrm dz=\iint \Big(-\frac{\partial v}{\partial x} - \frac{\partial u}{\partial y}\Big)\, \mathrm dx\mathrm dy+\mathrm i\iint \Big(\frac{\partial u}{\partial x} - \frac{\partial v}{\partial y}\Big)\, \mathrm dx\mathrm dy=0.

这就在假设的情况比较好时得到了一个Cauchy定理——全纯函数的环路积分是零（可以证明全纯函数自动无穷连续可导，也就是假设总是会满足）．后面讨论Cauchy–Pompeiu公式会再次讨论．

下面叙述重要的Cauchy积分定理和Cauchy积分公式，是比较现代的一般版本．

定理(Cauchy)：设U是复平面上的一个开集，f(z)是其上一个全纯函数．\Gamma是一些U中的闭合路径，满足对U之外的点\alpha都有

\operatorname{Ind} _ \Gamma(\alpha)=0,\quad \alpha\notin U.

那么，Cauchy积分定理成立：

\int _ \Gamma f(z)\, \mathrm dz=0.

Cauchy积分公式（对路径外的点）也成立：

f(z)\cdot \operatorname{Ind} _ \Gamma(z)=\frac1{2\pi\mathrm i}\int _ \Gamma \frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\, \mathrm d\zeta.

特例：设\Omega是一个单连通区域，利用前面的环绕数的定理，当\Gamma是一条闭合路径，它连续收缩为一点时，\Omega外的点的环绕数不变，而零长度的路径的环绕数易知是零．也就是本定理条件此时总成立，f(z)的环路积分总等于0．

一般地，若闭合路径能连续收缩到一个点，则定理条件成立．反之，若\Omega之外的点对这闭合路径都有零环绕数，能不能在\Omega内让路径连续收缩到一点？这是可以做到的，其解释可参见《复分析：可视化方法》（原书Visual Complex Analysis）．

推论：设\Omega是一个单连通区域、\Gamma是一条闭合路径，则

\oint _ \Gamma f(z)\, \mathrm dz=0.

如果\Gamma还是简单闭曲线，也就是Jordan曲线，内部的z对\Gamma环绕数是1，那么

f(z)=\frac1{2\pi\mathrm i}\oint _ \Gamma \frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\, \mathrm d\zeta.

定理(Morera)：设U是一个开集，连续函数f满足对任意分段光滑曲线的环路积分为零，其中该曲线和内部都在U中，那么f全纯．

这是Cauchy积分定理的逆定理．

局部幂级数表示

有了Cauchy定理，可以得到大量的全纯函数的性质．本节给出如下重要定理和它的一系列推论．

定理：全纯函数可局部被幂级数表示．

证明现在很简单．任取\Omega中的圆盘D(a,R)，它当然是单连通的，由Cauchy积分公式和圆的环绕数，

f(z)=\frac1{2\pi\mathrm i}\oint _ {D(a,r)} \frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\, \mathrm d\zeta,\quad z\in D(a,r).

这里r<{R}．前面的命题表明这种类型的积分都是可被幂级数表示的．而表示的唯一性表明对任意r<{R}都得到同样的幂级数．这就证明了定理．

所以，全纯和可被幂级数表示等价，而幂级数可以逐项求导得到其幂级数表示，从而导数也全纯．

定理：全纯函数的导数是全纯的．所以，一阶导数存在，则任意阶导数存在．

定理：设f是一个区域\Omega上的全纯函数．如果f不是零函数，那么f的零点构成的点列不可能有\Omega里的点作为极限点．可通过以下观察得出：设a是一个零点，那么有正整数m使得f可写成

f(z)=(z-a)^mg(z),\quad z\in\Omega,

这种形式．其中g是\Omega上的全纯函数且g(a)\neq0，这个m就是零点a的阶数．由此可得以下这一重要的唯一性定理．

推论：设全纯函数f,g在一个收敛于区域\Omega里的点列上相等，那么在整个\Omega上f=g．

平方均值

利用局部幂级数计算一个圆周的平方均值，可以得到一系列有用的结论．

设f在圆盘D(a,R)内可幂级数展开为\sum c _ n(z-a)^n，对于r<{R}的圆周\{z\mid |z-a|=r\}，如果将z表示为z=a+r\mathrm e^{\mathrm i\theta}，那么函数值为

f(z)=\sum _ {n=0}^\infty c _ nr^n\mathrm e^{\mathrm in\theta},\quad |z-a|=r.

这其实是个Fourier级数，由前面讨论，该级数绝对收敛和一致收敛．当m,n均为整数时，

\frac1{2\pi}\int _ {-\pi}^\pi\mathrm e^{\mathrm i(m-n)\theta}\, \mathrm d\theta=\delta _ {mn},

也就是m=n时才为0，否则为1．而

|f(a + r \mathrm e^{\mathrm i\theta})|^2 =\sum _ {m,n=0}^\infty c _ m\bar c _ nr^{m+n}\mathrm e^{\mathrm i (m-n) \theta}.

积分后就得到

定理：

\frac1{2\pi}\int _ {-\pi}^\pi|f(a + r \mathrm e^{\mathrm i\theta})|^2\, \mathrm d\theta=\sum _ {n=0}^\infty |c _ n|^2r^{2n}.

利用它可得到：

定理（Cauchy估计）：设f在圆盘D(a,R)全纯，这上面有|f(z)|\leqslant M，那么对任意r<{R}有|c _ n|^2r^{2n}\leqslant M^2，而c _ n=f^{(n)}(a)/n!，故

|f^{(n)}(a)|\leqslant \frac{n!M}{R^n},\quad n=1,2,\dots.

定理(Liouville)：整函数如果有界，则必是常数．（整函数就是在整个复平面全纯的函数）这是因为对任意r>0都有\sum|c _ n|^2r^{2n}\leqslant M，只能所有系数都是零．

定理（最大模原理）：设\Omega是区域，f是其上一个全纯函数，圆盘\overline{D}(a,r)在\Omega中，则|f(a)|\leqslant\max _ {\theta}|f(a+r\mathrm e^{\mathrm i\theta})|，等号成立当且仅当f是常数．也就是说，f不是常数函数时，|f|没有极大值点．

利用前面的结果，如果对所有\theta有|f(a+r\mathrm e^{\mathrm i\theta})|\leqslant |f(a)|=|c _ 0|，那么其余系数只能是零c _ 1=c _ 2=\dots=0，于是f局部是常数，所以在整个连通的区域里也是常数．

对应地，有最小模原理：如果进一步假设f在圆盘内无零点，则|f(a)|\geqslant\min _ \theta|f(a+r\mathrm e^{\mathrm i\theta})|．只需考虑1/f即可．

定理（代数基本定理）：n次复系数多项式P(z)=a _ nz^n+a _ {n-1}z^{n-1}+\dots+a _ 0在\mathbb C恰有n个根．重根按重数计算．

有很多种证明方式，下以最大模原理为例．不妨设a _ n=1，由前面的讨论，只需证它存在一个零点．首先取半径比较大的D(0,r)，使得z在圆周上时|P(z)|>|P(0)|=|a _ 0|．例如取r>1+|a _ {n-1}|+\dots+|a _ 2|+|a _ 1|+2|a _ 0|，那么有如下估计

\begin{aligned}
|P(z)|&\geqslant r^n-|a _ {n-1}|r^{n-1}-\dots-|a _ 1|r-|a _ 0|\\
&\geqslant r^{n-1}(r-|a _ {n-1}|-\dots-|a _ 1|)-|a _ 0|\\
&>2|a _ 0|-|a _ 0|=|a _ 0|.
\end{aligned}

如果P(z)无零点，那么1/P是整函数，但上式表明1/|P(0)|比圆周上的1/|P(z)|要大，与最大模原理矛盾，于是P(z)至少一个零点．

接下来，回过头证明前面提及的Weierstrass定理．

定理(Weierstrass)：一个全纯函数列内闭一致收敛，那么极限函数也是全纯的，且导数也内闭一致收敛到极限函数的导数．

由假设，函数列\{f _ n\}存在一个极限函数f，而且是连续的．可根据积分与极限的换序和Morera定理推出f在定义域U全纯．为了证明第二个结论，设K是U的紧子集，存在r>0，使得E=\bigcup _ {z\in U}D(z,r)包含K，而且闭包\overline{E}是U的紧子集．由Cauchy估计，|f'(z)-f' _ n(z)|\leqslant \sup _ {z\in E}|f(z)-f _ n(z)|\mathbin/r．由于f _ n在E上一致收敛于f，右边趋于零，这表明f'也在E上一致收敛于f'．

开映射定理

下面推导全纯函数的一个重要性质：区域\Omega上的非常数的全纯函数的像集是一个区域．这被称作是开映射定理．

定理：设f是开集U上的全纯函数，z _ 0\in U，满足f'(z _ 0)\neq0，那么：存在z _ 0的邻域V\subseteq U，使得W=f(V)是开集，且在f:V\to W有全纯的反函数g．

定理：反之，设f是U上的非常数的全纯函数，z _ 0\in U，w _ 0=f(z _ 0)．设f(z)-w _ 0在z _ 0处的零点重数为m，那么：存在z _ 0的邻域V\subseteq U，使得V上有个全纯函数g:V\to D(0,r)，满足：

• f(z)能表示为f(z)=w _ 0+g^m(z)，z\in V；
• 在V里都有g'(z)\neq0；
• g:V\to D(0,r)是满射，因而在V有逆映射．

这表明在一点z _ 0的附近f(z)是m对1映射，把它的一个邻域V映到一个圆盘邻域D(w _ 0,r^m)，于是w _ 0成为f(U)的一个内点，从而f是开映射．

定理：特别地，令f是U上的单射．那么对任意z\in U有f'(z)\neq0，且反函数是全纯函数．

---

下面考虑证明这几个定理．

引理：先证明U\times U上的函数

\varphi (z _ 1,z _ 2)=\begin{cases}
\frac{f(z _ 1)-f(z _ 2)}{z _ 1-z _ 2},&z _ 1\neq z _ 2,\\
f'(z _ 1),& z _ 1=z _ 2.
\end{cases}

是连续函数．对a\in U，任给\varepsilon>0，存在\delta>0使得|z-a|<\delta时都有D(a,\delta)\subseteq U以及|f'(z)-f'(a)|<\varepsilon，那么当z _ 1,z _ 2\in D(a,\delta)时，|(z _ 1,z _ 2)-(a,a)|\leqslant |z _ 1-a|+|z _ 2-a|<2\delta．连接z _ 1,z _ 2的线段的参数表示为\zeta(t)=z _ 2+t(z _ 1-z _ 2)，t\in[0,1]，这是个D(a,\delta)中的曲线．所以\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}f(\zeta(t))=f'(\zeta(t))(z _ 1-z _ 2)，积分后是f(z _ 1)-f(z _ 2)，故

|\varphi(z _ 1,z _ 2)-\varphi(a,a)|=\Big|\int _ 0^1\, [f'(\zeta(t))-f'(a)]\mathrm dt\Big|<\varepsilon.

这就证明了“对角点”连续性，其余点的连续性是显然的．

证明引理后，现在设f是开集U上的全纯函数，z _ 0\in U，满足f'(z _ 0)\neq0．由\varphi的连续性，存在z _ 0的邻域V，含于U且|f(z _ 1)-f(z _ 2)|\geqslant |z _ 1-z _ 2|\cdot\frac12|f'(z _ 0)|（当z _ 1,z _ 2\in V）．由|f'(0)|>0，这表明f在V上是单射．

然后，可以证明f(V)是开集．取a\in V，要证存在r>0使得D(f(a),r)\subseteq f(V)．在上面令z _ 2=a，可知当r>0充分小时，|f(z)-f(a)|>c在\partial D(a,r)上总成立．当|w-f(a)|<{c/2}时，|w-f(z)|>c-c/2=c/2在\partial D(a,r)上总成立，也就是\min _ {z\in\partial D(a,r)}|w-f(z)|>|w-f(a)|，根据最小模原理，w-f(z)=0在D(a,r)里必存在零点，这表明D(f(a),c/2)的点都在值域f(V)上．从而要证的结论成立：f(V)是开集．

由于f在V是单射，存在反函数g:W\to V，w\mapsto z．令w _ 0\in W，对应z _ 0\in V，那么

\frac{g(w)-g(w _ 0)}{w-w _ 0}=\frac{z-z _ 0}{f(z)-f(z _ 0)}.

当w\to w _ 0时，z\to z _ 0，由于f(V)是开集，得到

g'(w _ 0)=\frac{1}{f'(z _ 0)}.

这个结论当然是局部的，导数不是零函数只能在局部是一一映射．指数函数e^z就给出了一个导数非零但是不是单射的例子．

一般地，设f是U上的非常数的全纯函数，z _ 0\in U．那么在z _ 0的一个邻域内，有f(z)-w _ 0=(z-z _ 0)\varphi^m(z)，其中\varphi是这个邻域上的全纯函数且\varphi(z _ 0)\neq0．不妨设在这个邻域内都有\varphi(z)\neq0．可以证明这个邻域内\varphi可以写成\varphi=\exp(\psi)，这个结论在后文会（多次）证明．于是可有

\begin{gathered}
g(z):=(z-z _ 0)\exp(h(z)/m),\\
g(z _ 0)=0,\quad g'(z _ 0)\neq0,\\
f(z)=w _ 0+g^m(z).
\end{gathered}

按上个定理，g在z _ 0的某个邻域是可逆的开映射．于是存在某个邻域V使得g(V)一一地映到圆盘D(0,r)上．这就证明了定理．

Schwarz引理

由最大模原理，可以证明Schwarz引理．这个引理可以求得单位圆盘D:=D(0,1)的全纯自同构群．

定理(Schwarz)：设单位圆盘上的全纯函数满足|f(z)|\leqslant 1，z\in D，以及f(0)=0．那么，对z\in D，

\begin{gathered}
|f(z)|\leqslant |z|,\\
|f'(0)|\leqslant 1.
\end{gathered}

如果第一个等号在z(\neq0)成立，或者如果第二个等号成立，则f(z)=\mathrm e^{\mathrm it}z，其中t\in\mathbb R．

也就是说，若全纯函数f:D\to D保持中心不动, 则或者每个内点都移得更靠近中心, 或者f就是简单的旋转．

证明很简单．因为|f(z)/z|\leqslant1，由可去奇点定理，存在D上的全纯函数g，f(z)=zg(z)．对|z|<{r}<{1}，有|g(z)|\leqslant \max _ \theta |f(r\mathrm e^{\mathrm i \theta})|/r\leqslant1/r，再令r\to1，得|g(z)|\leqslant 1，z\in D．利用g得定义就得到定理中的两不等式．如果存在z _ 0\in D使得|g(z _ 0)|=1，那么z _ 0使|g(z)|有局部极大值，只能g为常数．

---

下面的变换在几何上有特别的意义，是Möbius变换的一种．

定义：对a\in D，令

\varphi _ a(z)=\frac{z-a}{1-\overline a z}.

• 除了1/\overline{a}这个极点外，这个变换是全纯的．
• 可以验证\varphi _ {-a}(\varphi _ a(z))=z，因此\varphi _ a是一一映射，\varphi _ {-a}和\varphi _ a为逆．
• 此外，\varphi _ a把D映为D，把\partial D映为\partial D．

后面还会用到它的导数

\begin{gathered}
\varphi _ a'(z)=\frac{1-\overline{a}z+(z-a)\overline{a}}{(1-\overline az)^2}=\frac{1-|a|^2}{(1-\overline{a}z)^2},\\
\varphi' _ a(0)=1-|a|^2,\quad \varphi' _ a(a)=\frac{1}{1-|a|^2}.
\end{gathered}

利用这个变换，可以将一些问题化归到更标准的问题．设a,b\in D，D上的全纯函数f满足|f(z)|\leqslant 1，z\in D，和f(a)=b．将f换为考虑

g=\varphi _ {b}\circ f\circ\varphi _ {-a},

这就得到了一个满足Schwarz引理的条件的函数g．计算复合函数的导数，最后可得到

|f'(a)|\leqslant \frac{1-|b|^2}{1-|a|^2}.

这一结论可以给出D上的全纯自同构群，也就是所有的D\to D的全纯的一一映射．事实上，若f:D\to D是全纯的一一映射，则其反函数也是全纯函数．利用这一结论可计算得出：

定理：设f是单位圆盘上全纯的一一映射，f(a)=0，a\in D，则f可表示为\varphi _ a与一个旋转的复合，即

f(z)=\mathrm e^{\mathrm it}\frac{z-a}{1-\overline a z}.

定理(Schwarz-Pick)：

\begin{gathered}
\left| \frac{f(z _ 1) - f(z _ 2)}{1 - \overline{f(z _ 1)} f(z _ 2)} \right| \leqslant \left| \frac{z _ 1 - z _ 2}{1 - \overline{z _ 1} z _ 2} \right|.\\
\frac{|f'(z)|}{1-|f(z)|^2}\leqslant \frac{1}{1-|z|^2}.
\end{gathered}

也就是Schwarz-Pick引理里让z _ 1\to z _ 2，又推出了前式．

非全纯函数的积分

上面的Cauchy定理给出了全纯函数的积分的性质，下面考虑不一定是全纯函数的积分．

定理：设\Omega是一个区域，函数f在\Omega上实连续可导．设\Omega里面的一个光滑曲线\Gamma是有界区域U的边界，那么

\oint _ \Gamma f(z)\, \mathrm dz=\int _ U \overline{\partial}f\, \mathrm d\overline{z}\mathrm dz.

其中，\overline\partial（前面引入过）、\mathrm d\overline{z}\mathrm dz分别表示

\begin{gathered}
\bar\partial=\frac12\Big(\frac{\partial}{\partial x}+\mathrm i\frac{\partial}{\partial y}\Big),\\
\mathrm d\overline{z}\mathrm dz=\mathrm d(x-\mathrm iy)\mathrm d(x+\mathrm iy)=2\mathrm i\, \mathrm dx\mathrm dy.
\end{gathered}

证明是简单的．沿用前面的计算，f=u+\mathrm{i}v，利用Green公式，

\begin{aligned}
\oint _ \Gamma f(z)\, \mathrm dz&=\oint _ \Gamma (u\, \mathrm dx - v\, \mathrm dy) + \mathrm i\oint _ \Gamma (v\, \mathrm dx + u\, \mathrm dy)\\
&=\int _ U \Big(-\frac{\partial v}{\partial x} - \frac{\partial u}{\partial y}\Big)\, \mathrm dx\mathrm dy+\mathrm i\int _ U \Big(\frac{\partial u}{\partial x} - \frac{\partial v}{\partial y}\Big)\, \mathrm dx\mathrm dy\\
&=\int _ U\frac12\Big[\Big(\frac{\partial u}{\partial x} - \frac{\partial v}{\partial y}\Big)+\mathrm i\Big(\frac{\partial v}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial y}\Big)\Big]\, \mathrm d\overline{z}\mathrm dz\\
&=\int _ U\overline{\partial}(u+\mathrm{i}v)\, \mathrm d\overline{z}\mathrm dz.
\end{aligned}

当\overline{\partial} f=0，也就是f全纯，上面积分为零，也导出了Cauchy积分定理．这是Cauchy积分定理的对应物，下面要推导Cauchy积分公式的对应物——Cauchy-Pompeiu公式．

设U里的一点z，给出f(z)的积分表示．取z为中心的D中的小圆盘D(z,\varepsilon)，记U _ 1=U\setminus \overline D(z,\varepsilon)，那么易见

\Big(\oint _ \Gamma-\oint _ {\partial D(z,\varepsilon)}\Big)\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\, \mathrm{d}\zeta=\int _ {U _ 1}\overline{\partial} _ \zeta\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\, \mathrm{d}\overline{\zeta}\mathrm{d}\zeta.

由于\overline{\partial}算子定义为偏导的线性组合，也有乘法法则，故

\overline{\partial} _ \zeta\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}=\overline{\partial} _ \zeta f(\zeta)\cdot \frac{1}{\zeta-z}+f(\zeta)\cdot\overline{\partial} _ \zeta\frac{1}{\zeta-z}=\frac{\overline{\partial} _ \zeta f(\zeta)}{\zeta-z}.

这里利用了\zeta\mapsto1\mathbin/(\zeta-z)是全纯函数这一结论，因而算子作用的结果为零．

由假设，f是连续可导的，故在\partial D(z,\varepsilon)上，由有限增量定理，存在M>0使得|f(\zeta)-f(z)|\leqslant M|\zeta-z|，故

\begin{gathered}
\oint _ {\partial D(z,\varepsilon)}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\, \mathrm{d}\zeta-2\pi\mathrm{i}f(z)=\oint _ {\partial D(z,\varepsilon)}\frac{f(\zeta)-f(z)}{\zeta-z}\, \mathrm{d}\zeta
\end{gathered},\\
\Big|\oint _ {\partial D(z,\varepsilon)}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\, \mathrm{d}\zeta-2\pi\mathrm{i}f(z)\Big|\leqslant 2\pi\varepsilon M.

因此令\varepsilon\to0不难看出

\oint _ \Gamma\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\, \mathrm{d}\zeta-2\pi\mathrm{i}f(z)=\int _ U\frac{\overline{\partial} f(\zeta)}{\zeta-z}\, \mathrm{d}\overline{\zeta}\mathrm{d}\zeta.

定理(Cauchy-Pompeiu)：实连续可导的函数f在z点处有积分表示

f(z)=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\oint _ \Gamma\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\, \mathrm{d}\zeta-\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\int _ U\frac{\overline{\partial} f(\zeta)}{\zeta-z}\, \mathrm{d}\overline{\zeta}\mathrm{d}\zeta.

---

在一些复变书上除了Cauchy-Pompeiu公式，还会作为一个应用给出一维\overline{\partial}问题的解．例如龚昇《简明复分析》，史济怀、刘太顺《复变函数》．他们都在书的后面部分讲到多复变函数，而\overline{\partial}问题在多复变里地位重要．此外，也用了\overline{\partial}问题的解证明了一些定理如Mittag-Leffler定理、Weierstrass因子分解定理、插值定理．

本文不会涉及多复变，推导定理也不会用上\overline{\partial}问题的解，因此这里只是做点不严格推导．

问题：简单来说，一维\overline{\partial}问题就是在域\Omega上给定一个函数f，要求出一个函数u，使得在D上有\overline{\partial}u=f．

定理：设f\in C^1(\mathbb C)，即是在\mathbb C实连续可微的函数；且有紧支集（支集意思是函数不取零的点的闭包）．那么

\begin{gathered}
u(z):=-\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\int _ {\mathbb C}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\, \mathrm{d}\overline{\zeta}\mathrm{d}\zeta,\\
u\in C^1(\mathbb C),\quad \overline{\partial}u=f.
\end{gathered}

以下是不严格的简略推导．

\begin{gathered}
u(z)=-\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\int _ {\mathbb C}\frac{f(\xi+z)}{\xi}\, \mathrm{d}\overline{\xi}\mathrm{d}\xi,\\
\overline{\partial}u(z)=-\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\int _ {\mathbb C}\frac{\overline{\partial} f(\xi+z)}{\xi}\, \mathrm{d}\overline{\xi}\mathrm{d}\xi=-\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\int _ {\mathbb C}\frac{\overline{\partial} f(\zeta)}{\zeta-z}\, \mathrm{d}\overline{\zeta}\mathrm{d}\zeta.\\
\begin{aligned}
f(z)&=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\oint _ {\partial D(0,R)}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\, \mathrm{d}\zeta-\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\int _ {D(0,R)}\frac{\overline{\partial} f(\zeta)}{\zeta-z}\, \mathrm{d}\overline{\zeta}\mathrm{d}\zeta\\
&=0-\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\int _ {D(0,R)}\frac{\overline{\partial} f(\zeta)}{\zeta-z}\, \mathrm{d}\overline{\zeta}\mathrm{d}\zeta=-\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\int _ {\mathbb C}\frac{\overline{\partial} f(\zeta)}{\zeta-z}\, \mathrm{d}\overline{\zeta}\mathrm{d}\zeta.
\end{aligned}
\end{gathered}

奇点与留数

孤立奇点

孤立奇点是说一个函数在一个点的去心邻域解析、在这个点上不解析的点．

下面这个定理是Riemann可去奇点定理．可去奇点是说，一个点附近是全纯的函数如果能延拓使得在这个点上也全纯，那么这个点就是可去奇点．简单地说，需要邻域上的有界性．设g(a)=0，g(z)=(z-a)^2f(z)，那么利用有界性，计算可以得出g'(a)=0，其余点也可导，从而h在\Omega全纯，在a点可展开为幂级数．由g(a)=g'(a)=0知前两系数为零，这表明f(a)可适当定义使得f(z)在a的邻域是幂级数，从而在a点也全纯．

除了可去奇点，还有两种相类似的奇点：极点和本性奇点．可以按照\lim\limits _ {z\to a}f(z)进行划分．

• 如果\lim\limits _ {z\to a}f(z)存在且有限，那么就是可去奇点．
• 如果\lim\limits _ {z\to a}f(z)存在且无限，那么就是极点．
• 如果\lim\limits _ {z\to a}f(z)不存在，那么就是本性奇点．Weierstrass定理十分深刻地刻画了f(z)在一个本性奇点附近的值的分布性质，收入在下面的定理中．

由此可见，全纯函数的一个孤立奇点可连续延拓必可全纯延拓．

定理：设f是\Omega\setminus\{a\}上的全纯函数，在去心圆盘\mathring D(a,r)上有界，那么a就是一个可去奇点．

定理：设f是\Omega\setminus\{a\}上的全纯函数，那么

• 或者a是可去奇点，也就是适当定义f(a)使f在点a有Taylor级数表示；
• 或者可适当定义f(a)使f在点a有Laurent级数表示

f(z)=\sum _ {n=-m}^\infty c _ n(z-a)^n,\quad m\in\mathbb N^\ast,

在a有m阶极点(pole)；
- 或者在a有本性奇点(essential singularity)，也就是说，对任意\Omega内的a心取心圆盘\mathring D(a,r)，其在f下的像在复平面稠密，或者说任一个复数都是一个收敛于a的点列的像的极限点．

留数

设U是一个开集，下面考虑f在U中除了一些极点外都全纯的情形，令A为f的这些极点的集合，并假设A在U中没有极限点．最简单的例子是A=\varnothing．

这种函数叫做亚纯函数(meromorphic function)，于是整函数是亚纯函数．

取U中的紧子集，由假设，这里面只能有有限多A的点．由此可以得知，U中的极点个数至多可数．

对于一个极点a，那么a附近f有Laurent级数表示f(z)=\sum _ {n=-m}^\infty c _ n(z-a)^n，负数幂次项\sum _ {n=1}^mc _ {-n}(z-a)^{-n}是主要部分principal part，其中-1次对应系数称作f在a的留数residue：

\operatorname{Res}(f,a):=c _ {-1}.

在此定义下，

\operatorname{Res}(f,a)=\frac{1}{(m-1)!}\lim _ {z\to a}\frac{\mathrm d^{m-1}}{\mathrm dz^{m-1}}[(z-a)^mf(z)].

设\Gamma是U中的一些不经过A的点的闭合路径，满足Cauchy积分定理成立的条件．例如，\Gamma是一个可以连续收缩到U一点的闭合路径．那么，有如下的留数定理．

定理（留数定理）：以上假设下，

\frac{1}{2\pi\mathrm i}\int _ \Gamma f(z)\, \mathrm dz=\sum _ {a\in A}\operatorname{Res}(f,a)\operatorname{Ind} _ \Gamma(a).

---

右边其实是个有限和．如果a在\Gamma外部（无界的联通单元），环绕数是零；而内部有界，可被紧集盖住，而紧集内只能有有限多A的点，因此右边求和有限．设这些A的点为a _ 1,\dots,a _ n，而f在这些点上的主要部分记为Q _ 1,\dots,Q _ n．

令g=f-Q _ 1-\dots-Q _ n，这样a _ 1,\dots,a _ n成g的可去奇点．由Cauchy积分定理，\int _ \Gamma g(z)\, \mathrm dz=0，从而

\frac{1}{2\pi\mathrm i}\int _ \Gamma f(z)\, \mathrm dz=\frac{1}{2\pi\mathrm i}\sum _ {i=1}^n\int _ \Gamma Q _ i(z)\, \mathrm dz=\sum _ {i=1}^n\operatorname{Res}(Q _ i,a _ i)\operatorname{Ind} _ \Gamma(a _ i).

其中用到了非-1次项的积分全都是零．而主要部分和函数本身的留数相等，这就证明了定理．

留数定理本身是简单的，然而可以用它来计算一些定积分的值，而这些定积分的被积函数的原函数往往是求不出来的．用留数定理求定积分有种种技巧，如函数的选取，积分路线的选取等等，这里就不对各种类型的实定积分进行一一的讨论与举例了．

定理（辐角原理）：设\Omega是一个区域，f是其上一个全纯函数，\gamma是其中一条简单闭曲线，可以在\Omega中连续收缩到\Omega中的一个点，且不经过f的零点．则\gamma内部所含f的零点个数为

N _ f=\frac{1}{2\pi\mathrm i}\int _ \gamma \frac{f'(z)}{f(z)}\, \mathrm dz=\operatorname{Ind} _ {f\circ\gamma}(0).

也就是\gamma在f所映下的像曲线绕0的环绕数．

定理(Rouché)：在上个定理的条件下，又设g也全纯，满足在曲线上的任意z都有

|f(z)-g(z)|<{f(z)},

那么f,g在曲线内部有相同零点数N _ f=N _ g．

---

先来直观推导辐角原理，再给出形式证明．先设\gamma只是包含一个m阶零点a，则a附近有f(z)=(z-a)^mg(z)，其中g是全纯函数且g(a)\neq0．当\gamma充分小时，g(a)\neq0表明它不会绕0转．由复数乘法的几何表示，

\operatorname{Ind} _ {f\circ\gamma}(0)=m\operatorname{Ind} _ \gamma(a)+\operatorname{Ind} _ {g\circ\gamma}(0)=m.

如果\gamma内包含多个不同零点，可以将其连续收缩为多个（连着的）只含一个零点的简单闭曲线．每个部分的零点的重数就是这部分像曲线绕0的环绕数，因此总零点数就等于整个像曲线绕0的环绕数．

要形式推导，只需推第一个等式，第二个等式按环绕数定义和重参数化就得到．需要考虑f'/f的积分，这个函数满足留数定理的条件．利用a附近f(z)=(z-a)^mg(z)，邻域充分小时g,1/g都是全纯的．计算f'：

\begin{gathered}
f'(z)=m(z-a)^{m-1}g(z)+(z-a)^mg'(z),\\
\frac{f'(z)}{f(z)}=\frac{m}{z-a}+\frac{g'(z)}{g(z)}.
\end{gathered}

于是f'/f在a的留数为m，也就是这个零点的重数．而简单闭曲线内部环绕数都是1，由留数定理辐角原理即证．

接下来用辐角原理看Rouché定理，思路是可以严格化的．设点A按f(z)的轨迹运动，点B按f(z)+g(z)的轨迹运动．那么，A绕原点绕圈时，想要B也绕原点同样的圈数．一种方案就是，控制B到A的距离，使其短过目标点0到A的距离，从而B能完全“尾随”A．所以，只需要|g(z)|<|f(z)|，那么f+g和f像曲线内有相同零点数．将g换成g-f进行同样论证就得到Rouché定理．

Laurent级数

下面考虑在一个环形域中全纯的函数．令

A=\{z\mid 0\leqslant r _ 1<{|z|}<{r _ 2}\leqslant\infty\}.

设函数f在A全纯．考虑内环附近的一个负定向的圆-\gamma _ 1=\{z\mid |z|=r _ 1+\varepsilon\}，以及外环附近一个正定向的圆\gamma _ 2=\{z\mid |z|=r _ 2-\varepsilon\}．令\Gamma=-\gamma _ 1+\gamma _ 2，为比A略小的圆环，那么

\operatorname{Ind} _ \Gamma(z)=\begin{cases}
1,& r _ 1+\varepsilon<{|z|}<{r _ 2}-\varepsilon,\\ 0,& |z|<{r _ 1}+\varepsilon,\quad |z|>r _ 2-\varepsilon.
\end{cases}

这表明Cauchy积分公式的条件成立，故当r _ 1+\varepsilon<{|z|}<{r _ 2}-\varepsilon时

f(z)=\frac{1}{2\pi\mathrm i}\int _ \Gamma\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\, \mathrm d\zeta=\frac{1}{2\pi\mathrm i}\Big(\oint _ {-\gamma _ 1}+\oint _ {\gamma _ 2}\Big)\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\, \mathrm d\zeta.

若记-\gamma _ 1,\gamma _ 2的这两项分别为f _ 1,f _ 2．注意到令\varepsilon继续减小，得到的f _ 1,f _ 2是原来的延拓．于是这就给出了在|z|>r _ 1都全纯的函数f _ 1和在|z|<{r _ 2}都全纯的函数f _ 2．

事实上这种分解在某种程度上（z\to\infty时f _ 1(z)\to0）还是唯一的．如果存在在|z|>r _ 1都全纯的函数f' _ 1和在|z|<{r _ 2}都全纯的函数f' _ 2，使得在A里f=f' _ 1+f' _ 2=f _ 1+f _ 2，那么可在|z|\geqslant r _ 1处令g=f _ 1-f _ 1'，在|z|\leqslant r _ 2令g=f _ 2-f _ 2'．由于在A里f _ 1-f _ 1'=f _ 2-f _ 2'，这是个良好的定义．这样得到了一个整函数．如果我们要求当z\to\infty时f _ 1'(z)\to0，那么g(z)\to0，g就是个有界整函数，由Liouville定理，g=0，这表明f这种分解唯一．

得到f _ 1,f _ 2后，将它们写为级数．函数f _ 2在圆盘D(0,r _ 2)全纯，可直接写为Taylor级数，函数f _ 1在|z|>r _ 1全纯，因此f _ 1(1/z)在\mathring{D}(0,1/r _ 1)全纯，易见0是可去奇点，因而也可写为Taylor级数，这就得到了f在A上的Laurent级数

f(z)=\sum _ {m=1}^\infty c' _ {m}\Big(\frac1z\Big)^m+\sum _ {n=0}^\infty c _ nz^n=\sum _ {n=-\infty}^\infty c _ nz^n.

该级数在A内闭一致收敛．将上面总结为如下定理．

定理：若f在圆环A=\{z\mid 0\leqslant r _ 1<{|z|}<{r _ 2}\leqslant\infty\}全纯，则f在A上有唯一的Laurent级数展开

f(z)=\sum _ {n=-\infty}^\infty c _ nz^n.

如果还知道f在A有界，那么可以证明f _ 1,f _ 2也有界．

以函数1\mathbin/(1-z)为例，在单位圆盘里是熟悉的几何级数1+z+z^2+\dots，在1<|z|，则可写为

\frac{1}{1-z}=-\frac1z\frac1{1-z^{-1}}=-z^{-1}-z^{-2}-\cdots.

特例：令r _ 1=0，f在0的去心邻域有界，此时主要部分必须为零，由此可得Riemann可去奇点定理．

特例：进一步令r _ 2=\infty，f是一个有界整函数，全纯部分（即f _ 2）必须为常数．由此可得Liouville定理．