调和函数与Poission积分

定义：函数f的Laplace算子定义为\Delta=\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}，调和函数就是指\Delta f=0的函数．

复函数是调和函数，当且仅当实部和虚部是调和函数．

那么，如果混合偏导相等的话，

\begin{gathered}
\partial =\frac12\Big(\frac{\partial}{\partial x}-\mathrm i\frac{\partial}{\partial y}\Big),\quad \bar\partial=\frac12\Big(\frac{\partial}{\partial x}+\mathrm i\frac{\partial}{\partial y}\Big),\\
\implies\Delta =4\partial\bar\partial.\phantom{\implies}
\end{gathered}

对于全纯函数，混合偏导当然相等，上式成立．

定理：全纯函数是调和函数．

Poisson积分

直接给出Poisson核的定义：设0\leqslant r<1，t\in\mathbb{R}，

P _ r(t)=\sum _ {n=-\infty}^\infty r^{|n|}\mathrm e^{\mathrm int}=\frac{1-r^2}{1-2r\cos t+r^2}=\operatorname{Re}\Big(\frac{1+r\mathrm e^{\mathrm it}}{1-r\mathrm e^{\mathrm it}}\Big).

后两式可通过计算验证．令z=r\mathrm e^{\mathrm i\theta}，那么

P _ r(\theta-t)=\frac{1-r^2}{1-2r\cos (\theta-t)+r^2}=\operatorname{Re}\Big(\frac{\mathrm e^{\mathrm it}+z}{\mathrm e^{\mathrm it}-z}\Big)=\frac{1-|z|^2}{|\mathrm e^{\mathrm it}-z|^2}.

以下记单位圆盘(disk) D(0,1)为D，单位圆周(torus)为T．

定义：设f\in L^1(T)，它的Poisson积分F=P[f]在D中定义为

\begin{aligned}
F(r\mathrm e^{\mathrm i\theta})&=\frac{1}{2\pi}\int _ {-\pi}^\pi P _ r(\theta-t)f(t)\, \mathrm dt\\
&=\frac{1}{2\pi}\int _ {-\pi}^\pi \frac{1-|z|^2}{|\mathrm e^{\mathrm it}-z|^2}f(t)\, \mathrm dt.
\end{aligned}

这里方便起见，把f写作了实变函数．

定理：Poisson积分P[f]是D上的调和函数．

Poisson积分可以给出如下类型Dirichlet问题的解：求出在闭单位圆盘上的函数F，使得在T上等于一个给定的连续函数f、在D内是调和函数．下面定理给出了显式的关系，再下个定理表明，这个解还是唯一的．

定理：设f是T上的连续函数，而\overline D上的函数F定义为

F(r\mathrm e^{\mathrm i\theta})=\begin{cases}
f(\mathrm e^{\mathrm i\theta}),&r=1,\\
P[f](r\mathrm e^{\mathrm i\theta}),&0\leqslant r<1.
\end{cases}

那么，F是\overline D上连续函数．

定理：设u是在\overline{D}上连续的实值函数，在D内是调和函数．那么在D内，u可被自身Poisson积分表示：

u(z)=P [ u ] (z)=\frac{1}{2\pi}\int _ {-\pi}^\pi \frac{1-|z|^2}{|\mathrm e^{\mathrm it}-z|^2}u(\mathrm e^{\mathrm it})\, \mathrm dt.

这也表明，u是如下全纯函数f的实部：

f(z)=\frac{1}{2\pi}\int _ {-\pi}^\pi \frac{\mathrm e^{\mathrm it}+z}{\mathrm e^{\mathrm it}-z}u(\mathrm e^{\mathrm it})\, \mathrm dt,\quad z\in D.

以上结论通过简单的换元可以轻易迁移到一般的圆盘，而不仅是单位圆D．设u是\partial D(a,R)上的连续的实函数，在D(a,R)内令

u(a + r\mathrm e^{\mathrm i\theta}) = \frac{1}{2\pi} \int _ {-\pi}^{\pi} \frac{R^2 - r^2}{R^2 - 2Rr \cos(\theta - t) + r^2} u(a + R\mathrm e^{\mathrm it}) \, \mathrm dt.

那么，u在\overline{D}(a,R)上连续，在D(a,R)内调和．

定理：任一实调和函数在局部都是一个全纯函数的实部．从而，任一调和函数都有任意阶的连续偏导数．

---

利用不等式

\frac{R-r}{R+r}\leqslant\frac{R^2 - r^2}{R^2 - 2Rr \cos(\theta - t) + r^2}\leqslant\frac{R+r}{R-r},

还得到圆内一点函数值与圆心函数值的关系：

定理：

\frac{R-r}{R+r}u(a)\leqslant u(a + r\mathrm e^{\mathrm i\theta})\leqslant\frac{R+r}{R-r} u(a).

这个不等式可以用来推导下面的Harnack定理．

定理：设\{u _ n\}是区域\Omega上的一列调和函数，如果内闭一致收敛到函数u，那么u是调和函数．

定理：设\{u _ n\}是区域\Omega上的一列递增的调和函数，则要么函数列内闭一致收敛，要么u _ n(z)\to\infty在\Omega成立．

均值性质、Schwarz反射

在Poisson积分公式，令r=0，可得：

定理：设圆盘上有一个调和函数u，给定圆盘里的z，对任一r>0，使得\overline{D}(z,r)在这圆盘里，则

u(z)=\frac{1}{2\pi}\int _ {-\pi}^\pi u(z+r\mathrm e^{\mathrm it})\, \mathrm dt.

这表明，调和函数有一种均值性质：在圆心z的值可以用Poisson积分在圆周上的积分均值表示．反过来：

定理：设开集U上的连续函数u，满足均值性质：对每一z\in U，都有一列r _ n\to0使得上式对r=r _ n都成立，那么，u是U中的调和函数．

只需考虑u是实值函数．对任一U中的闭圆盘，边界圆周可以给出里面的一个调和函数，证明u在圆里面都等于这个调和函数即可．

Schwarz反射：利用调和函数的性质，可以推出Schwarz反射作解析延拓这一技巧．这种反射下面讨论的是实轴反射，一般地可以推广到一般曲线的反射．

设L是实轴上的一个开区间，\Omega^+是实轴上方的一个区域，每个L上的点t都是\Omega^+的边界点（严格来说，还要求圆盘D(t,r)在r充分小时上半部分都在\Omega^+中）．记\Omega^-为\Omega^+对实轴反射的区域：\Omega^-=\{\bar z\mid z\in\Omega^+\}．

定理：以上假设下，又设f是\Omega\cup L上的连续函数，是\Omega上的全纯函数，且在L上取实值．那么，存在\Omega^+\cup L\cup \Omega^-上的全纯函数F，作为f的解析延拓，满足

\begin{gathered}
F(z)=f(z),\quad z\in \Omega^+,\\
F(\overline {\vphantom{F}z})=\overline{F(z)},\quad z\in \Omega^+\cup L\cup\Omega^-.
\end{gathered}

---

可以利用全纯函数的“共形性”来理解\Omega^-上的都是全纯的．可参见《复分析：可视化方法》（原书Visual Complex Analysis）．

一个曲线反射的例子．设f在单位圆周的一部分L（一段开圆弧）上取实值，在单位圆盘D内的一个区域\Omega全纯，边界包含L，则可以在单位圆外对称的点定义

f(z)=\overline{f\Big(\frac{1}{\overline z}\Big)},\quad \frac1{\overline z}\in\Omega.

从而将f解析延拓成一个在\Omega\cup L\cup \Omega^\ast上全纯的函数．

逼近、分解与零点理论

Runge定理

数学分析可以接触到Weierstrass逼近定理：一个闭区间上的连续函数，存在一列多项式一致地逼近．如果是实值的，那么多项式也可要求为实值的．

在复分析，结论就没有那么简单．一个简单的例子是单位圆上的1/z，积分是2\pi\mathrm i，但是如果能用多项式一致逼近，那么积分为\lim 0=0，矛盾．

命题：设K是复平面的一个紧集，\mathbb C _ \infty\setminus K不连通．存在函数f在K的邻域内全纯（也就是一开集U\supseteq K且f在U全纯），使得f在K上不能被一列多项式一致地逼近．

由假设，\mathbb C _ \infty\setminus K存在一个有界的连通单元V，取a\in V及f(z)=1\mathbin/(z-a)．令M=\max _ {z\in K}|z-a|．如果多项式P(z)使得在K上都有|P(z)-f(z)|<1/M，那么

|(z-a)P(z)-1|=|z-a||P(z)-f(z)|<1,\quad z\in K.

特别地，这在\partial V成立．而由最大模原理，上式在V内都成立，令z=a，就得到1<1，矛盾．

定理：设K是复平面的一个紧集，A是一个对\mathbb C _ \infty\setminus K的每个连通单元都有一个点的点集，函数f在K的邻域内全纯，也就是一开集U\supseteq K且f在U全纯．那么，存在一列有理函数在K上一致地逼近f，满足：其中的任一有理函数的极点必在A中．

有理函数指的是两个多项式之商P(x)/Q(x)，其中Q不为零多项式．有理函数在复平面的极点就是Q(z)的零点；对于无穷远点，不难得知，z=\infty或者是可去奇点（当\operatorname{deg}P\leqslant\operatorname{deg}Q），或者是极点（当\operatorname{deg}P>\operatorname{deg}Q）．如果只有z=\infty这一个极点，那么这个有理函数就是多项式．

定理：特别地，如果\mathbb C _ \infty\setminus K连通，那么f在K上能被一列多项式一致地逼近．

下面是开集上的逼近．

定理：设U是复平面的一个开集，A是一个对\mathbb C _ \infty\setminus U的每个连通单元都有一个点的点集，函数f在U上全纯．那么，存在一列有理函数在U上内闭一致收敛到f，满足：其中的任一有理函数的极点必在A中．

特别地，如果\mathbb C _ \infty\setminus U连通，那么f在U上能被一列多项式在U任意的紧子集里一致地逼近．

Mittag-Leffler定理

下面考虑三个问题：

1. 设有个点列\{a _ n\}是域\Omega中互不相同的点集，且在\Omega中没有极限点，给定一列有理函数P _ n(z)=\sum _ {j=1}^{k _ n}c _ {n,j}\mathbin/(z-a _ n)^j，是否存在\Omega上的亚纯函数f，使得f的极点恰为\{a _ n\}，并且每个极点处的Laurent展开恰为p _ n(z)？
2. 设有个点列\{a _ n\}是单连通的域\Omega中互不相同的点集，且在\Omega中没有极限点，k _ n\in\mathbb{N}，是否存在\Omega上的全纯函数f，使得其零点恰为\{a _ n\}，并且每个零点处的重数恰为k _ n？
3. 设有个点列\{a _ n\}是单连通的域\Omega中互不相同的点集，给定一列多项式P _ n(z)=\sum _ {j=0}^{k _ n}(z-a _ n)^j，是否存在\Omega上的全纯函数f，使得在每个a _ n处的Taylor级数的前几项等于p _ n？

例如问题2，当只有有限个点时，情况比较简单．设函数f零点0,a _ 1,a _ 2,\dots,a _ n重数是m,m _ 1,m _ 2,\dots,m _ n，那么

p(z)=z^m\prod _ {i=1}^n\Big(1-\frac{z}{a _ i}\Big)^{m _ i}

是一个满足要求的整函数．同时，g(z)=f(z)/p(z)是一个没有零点的整函数，g'/g是整函数，那么存在整函数h使得h'=g'/g（详细论证可参见Riemann映射定理的证明过程），于是g\exp(-h)是导数为零的整函数，只能是常数，因此f(z)/p(z)=\mathrm e^{\psi(z)}．这样，f可以表示为p(z)\mathrm e^{\psi(z)}．

但无穷多零点就不太一样．不过部分结论是不难得到的：f的零点必须可数，且存在趋于无穷的子列．

再看问题3中，如果每个多形式都是常数，那么是简单的插值问题，可以找到一个多项式满足条件；但是一般情况下，即使只有两个点a _ 1,a _ 2，似乎也不易知道肯定与否，如果要写出一个这样的f，就更难了．

后面的几个定理表明，都可以对这些问题给出肯定回答．首先，前面的Runge定理可以用来证Mittag-Leffler定理．

定理(Mittag-Leffler)：设U是复平面上一个开集，A是U中的一些没有U的极限点的点集．对每个a\in A，都有一个正整数N _ a，与有理函数

P _ n(z)=\sum _ {n=1}^{N _ a}\frac{c _ {a,n}}{(z-a)^n}.

那么存在U上的一个亚纯函数f，在任一a\in A的主要部分都是P _ n(z)，且没有其它极点．

Weierstrass因子分解定理

Weierstrass因子分解定理回答了前面第二个问题．Weierstrass引入了如下的“因子”：

定义：令E _ 0(z)=1-z，对p\in\mathbb N^\ast，

E _ p(z)=(1-z)\exp\Big(z+\frac{z^2}{2}+\dots+\frac{z^p}{p}\Big).

---

下面对这种函数进行分析．考虑级数f(z)=\sum _ {n=1}^\infty z^n/n，对于实数x，熟知

-\ln(1-x)=\sum _ {n=1}^\infty \frac{x^n}{n},\quad |x|<1.

从而(1-x)\exp(f(x))=1．对复数z这也成立，于是

(1-z)\exp\sum _ {n=1}^\infty \frac{z^n}{n}=1,\quad |z|<1.

前面定义的E _ p(z)是左边的截尾版（p>0）．在|z|<1，有

E _ p(z)=(1-z)\exp\sum _ {n=1}^\infty\frac{z^n}{n}\mathbin{\Big/}\exp{\sum _ {m=p+1}^\infty\frac{z^m}{m}}=\exp\Big\{{-\sum _ {m=p+1}^\infty\frac{z^m}{m}}\Big\}.

代入指数函数定义可以看到其Taylor级数除了第一项1，至少从p+1次项开始，而且都是负系数．所以，令

\varphi(z)=\frac{1-E _ p(z)}{z^{p+1}},\quad 0<|z|<1.

点z=0是可去奇点，而且Taylor级数都是正系数．这个函数可以定义到\mathbb C上成为一个整函数，由Taylor级数唯一性，也都是正系数．在|z|\leqslant1，级数各项按此式放缩，即知

|\varphi(z)|\leqslant |\varphi(1)|=1,\quad |z|\leqslant1.

命题：对p\in\mathbb{N}和|z|\leqslant1，有|1-E _ p(z)|\leqslant |z|^{p+1}．

这种E _ p(z)能使我们写出无穷乘积，从而构造满足条件的f．对于无穷乘积，这里直接给出如下的结论：一个全纯函数列\{f _ n\}，每个函数非零，级数\sum|1-f _ n(z)|内闭一致收敛，则f=\prod f _ n(z)内闭一致收敛．由Weierstrass定理，f是全纯函数．而且f在z的零点重数等于f _ n在这点的重数和．

如果用E _ p(z)构造无穷乘积，利用当|z|\leqslant r< |a|时，|1-E _ p(z/a)|\leqslant (r/|a|)^{p+1}，以上结果可以得到一个内闭一致收敛的级数，以及相应的内闭一致收敛的无穷乘积．可以得到如下定理．

定理：设有一非零点列\{z _ n\}，z _ n\to\infty，又设有一列自然数\{p _ n\}使得对任意的r>0，

\sum _ {n=1}^\infty\Big(\frac{r}{|a _ n|}\Big)^{1+p _ n}<+\infty,

例如，p _ n=n-1，当n充分大时都有r/|a _ n|<1/2，从而成立．无穷乘积

P(z)=\prod _ {n=1}^\infty E _ {p _ n}\Big(\frac{z}{a _ n}\Big)

给出了一个整函数，其零点恰为\{a _ n\}全部．如果一个点在点列出现m次，那么这个点的零点重数是m．

推论：设\sum1/|a _ n|<\infty，则可取p _ n=0，此时P(z)=\prod (1-\frac{z}{a _ n}).

定理（Weierstrass因子分解）：设f是非零整函数，在z=0的零点重数为m\in\mathbb N，其余的非零零点为a _ 1,a _ 2,\dots，又设一列自然数\{p _ n\}使得对任意正数r>0，

\sum _ {n=1}^\infty\Big(\frac{r}{|a _ n|}\Big)^{1+p _ n}<+\infty,

那么存在整函数g使得

f(z)=z^m\mathrm e^{g(z)}\prod _ {n=1}^\infty E _ {p _ n}\Big(\frac{z}{a _ n}\Big).

---

Weierstrass分解定理可以简单修改成为开集上的版本，还可以轻松从中推出一个实用的推论．

定理：设U是\mathbb C _ \infty的开集，A是U中的一些没有U的极限点的点集．对每个a\in A，都有一个正整数m(a)，那么存在U上的全纯函数，零点集恰为A，且任一a\in A重数为m(a)．

推论：设U为开集，任一U上的亚纯函数都能写为两个U的全纯函数之商．反过来是显然的．

插值定理

利用Weierstrass因子分解定理和Mittag-Leffler定理，可推出下面的插值定理．

定理：设U是开集，A是U中的一些没有U的极限点的点集．对每个a\in A，都有一个正整数m(a)以及m(a)个复数w _ {a,n}，n=1,\dots,m(a)．那么，存在U上的全纯函数f，使得对任意的a\in A，

f^{(n)}(a)=n!\, w _ {a,n},\quad 0\leqslant n\leqslant m(a).

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下面通过将f写成f=gh的形式证明该定理，其中g是某种以A为零点集的全纯函数，h是以A为极点的亚纯函数．

首先，利用因子分解，存在一个全纯函数g，使其以A为零点集，在a\in A处的零点重数是m(a)+1．

再利用Mittag-Leffler定理，存在一个亚纯函数h，使其以A为极点集，在a\in A处的主要部分是

P _ a(z)=\sum _ {j=1}^{1+m(a)}c _ {a,j}(z-a)^{-j}.

里面诸c _ {a,j}是待定系数．

以a=0为例，简记m=m(0)，在a=0附近令

\begin{aligned}
&g(z)P(z)=\sum _ {i=1}^\infty b _ {i}z^{m+i}\sum _ {j=1}^{m+1}c _ jz^{-j}\\
={}&(b _ 1+b _ 2z+\cdots)(c _ 1z^m+c _ 2z^{m-1}+\dots+c _ {m+1})\\
={}&w _ 0+w _ 1z+w _ 2z^2+\cdots.
\end{aligned}

这里b _ i是给定的，c _ j是待定的．注意到b _ 1\neq0，可由b _ 1c _ {m+1}=w _ 0解出c _ {m+1}，再依次解出c _ m,\dots,c _ 1．

现在可以看出，f=gh是满足条件的全纯函数．

Jensen公式

通过前面的定理，让全纯函数的零点在定义域里没有极限点是最低的要求．但如果将考虑范围从所有的全纯函数替换为更小的一类，情况会非常不同．为了得到相关结果，先来推导Jensen公式．

设\Omega=D(0,R)，f是\Omega上的非零全纯函数，其零点设为a _ 1,a _ 2,\dots，使得在\Omega内无极限点，并且已经按模长递增的顺序列出．Jensen公式考虑的是模长|a|\leqslant r<R的零点，这有限个设有N个．

定理：如果f(0)\neq0，那么

\begin{gathered}
|f(0)|\prod _ {n=1}^N\frac{r}{|a _ n|}=\exp\Big\{\frac{1}{2\pi}\int _ {-\pi}^\pi \ln |f(r\mathrm e^{\mathrm i\theta})|\, \mathrm d\theta\Big\},\\
\ln|f(0)|=-\sum _ {n=1}^N\ln\frac{r}{|a _ n|}+\frac{1}{2\pi}\int _ {-\pi}^\pi \ln |f(r\mathrm e^{\mathrm i\theta})|\, \mathrm d\theta.
\end{gathered}

对于0也是零点的函数，可以考虑对f(z)/z^k应用上式，其中k为零点重数．

一个特殊情况是N=0，那么\ln|f(0)|=\frac1{2\pi}\int\ln|f(r\mathrm e^{\mathrm i\theta})|\, \mathrm d\theta，可以证明\ln|f(z)|是调和函数，因而该式说的就是它的均值性质．

一个等价的说法是，把N更具体地写成N(r)，

\frac{1}{2\pi}\int _ {-\pi}^\pi \ln |f(r\mathrm e^{\mathrm i\theta})|\, \mathrm d\theta-\ln|f(0)|=\int _ 0^r \frac{N(t)}{t}\, \mathrm dt.

这是因为

\sum _ {n=1}^{N(r)}\ln\frac{r}{|a _ n|}
=\sum _ {n=1}^{N(r)}\int _ {|a _ n|}^r\frac{\mathrm dt}{t}=\int _ {0}^r\sum _ {n=1}^{N(r)}\frac{\chi _ {(|a _ n|,r)}(t)}{t}\, \mathrm dt
= \int _ 0^r \frac{N(t)}{t}\, \mathrm dt.

推导

先来考虑上面的特殊情况，也就是函数f在D(0,R)全纯且没有|z|\leqslant r零点．设正数\epsilon _ 0使得D(0,r+\epsilon _ 0)上f全纯且没有零点．可以类似前文，论证f有对数：f'/f全纯，可以证明有全纯的原函数\psi(z)=\int _ 0^zf'(\zeta)/f(\zeta)\, \mathrm d\zeta，即\psi'=f'/f，于是f\mathrm e^{-\psi}有零导数，f=\mathrm e^{\varphi}．此式可在D(0,r+\epsilon _ 0)成立．

然后就有\ln|f|=\operatorname{Re}\varphi，那么\ln|f|是调和函数，满足均值性质，Jensen公式成立．

下面回到一般的N．考虑构造一个在某圆盘里面没有零点的全纯函数．

我们知道，对单位圆盘D，\alpha\in D时(z-\alpha)\mathbin/(1-\overline {\alpha }z)：

• 给出了一个单位圆盘的自同构，也是单位圆周到自身的一一映射．
• \alpha\mapsto 0，0\mapsto -\alpha，
• 1/\overline{\alpha}\mapsto\infty，\infty\to -1/{\overline{\alpha}}，

也就是说，如果乘个负号，那么它对换(\alpha,0)、(1/\overline{\alpha},\infty)这两组点．

令|\alpha|=|a|/r<1，那么变换

z\mapsto-\frac{\frac{z}{r}-\frac ar}{1-\overline {\frac ar}\frac{z}{r}}=\frac{r(a-z)}{r^2-\overline az}

是\{z\mid |z/r|<1\}=D(0,r)到D(0,1)的双射，取倒数就是D(0,r)到D(0,1)外部的变换：

z\mapsto\frac{r^2-\overline az}{r(a-z)}.

而取倒数对换(0,\infty)，现在a\mapsto 0\mapsto\infty变成了（唯一的）极点，r^2/\overline{a}\mapsto \infty\mapsto 0变为了（唯一的）零点．

类似地，

\begin{gathered}
z\mapsto\frac{a}{a-z},\\
\infty\mapsto0,\quad 0\mapsto1,\quad a\mapsto\infty.
\end{gathered}

回到\Omega=D(0,R)上的全纯函数f，有N个（非零）零点满足|z|\leqslant r<{R}．设前m个零点a _ 1,\dots,a _ m在D(0,r)中，a _ {m+1},\dots,a _ N在|z|=r上，其中0\leqslant m\leqslant N．考虑

g(z)=f(z)\prod _ {n=1}^m\frac{r^2-\overline a _ nz}{r(a _ n-z)}\prod _ {n=m+1}^N\frac{a _ n}{a _ n-z}.

通过乘N个因子，把f的|z|\leqslant r的零点都“移到”了|z|>r的点或者无穷远点．从而g是D(0,r+\epsilon)上的全纯函数，没有|z|\leqslant r的零点．对g利用已有的结论，可知

\begin{gathered}
\ln|g(0)|=\frac{1}{2\pi}\int _ {-\pi}^\pi\ln|g(r\mathrm e^{\mathrm i\theta})|\, \mathrm d\theta.\\
|g(0)|=|f(0)|\prod _ {n=1}^m \frac{r}{|a _ n|},\\
\ln|g(r\mathrm e^{\mathrm i\theta})|=\ln|f(r\mathrm e^{\mathrm i\theta})|-\sum _ {n=m+1}^N \ln\Big|1-\frac{r\mathrm e^{\mathrm i\theta}}{a _ n}\Big|.
\end{gathered}

其中第三式用到了g定义里的中间因子把|z|=r映到|z|=1的结论．把后两式代入第一式，可以发现要证明Jensen公式，需要如下结论：如果a _ n=r\mathrm e^{\mathrm i\theta _ n}，那么\ln|1-r\mathrm e^{\mathrm i\theta}/a _ n|=\ln|1-\exp\{\mathrm i(\theta-\theta _ n)\}|，只需

\frac{1}{2\pi}\int _ {-\pi}^\pi \ln|1-\mathrm e^{\mathrm i\theta}|\, \mathrm d\theta=0.

来计算这个积分．考虑\{z\in\mathbb C\mid \operatorname{Re}z<1\}上的全纯函数h使得\exp(h(z))=1-z，那么有：\operatorname{Re}h(z)=\ln|1-z|，-\pi/2<\operatorname{Im}h(z)<\pi/2．于是对小\delta>0，令\Gamma为单位圆上\delta到2\pi-\delta的大圆弧，\gamma为以1为圆心且过\Gamma两端点的圆的短圆弧．那么

\frac1{2\pi}\int _ {\delta}^{2\pi-\delta}\ln|1-\mathrm e^{\mathrm i\theta}|\, \mathrm d\theta=\operatorname{Re}\Big[\frac1{2\pi\mathrm i}\int _ \Gamma\frac{h(z)}z\, \mathrm dz\Big]=\operatorname{Re}\Big[\frac1{2\pi\mathrm i}\int _ \gamma\frac{h(z)}z\, \mathrm dz\Big].

其中利用到了0是h(z)/z的可去奇点．对最右的积分进行估计，\gamma的长度是\delta量级的，|h(z)/z|\approx|h(z)|\approx \big|\ln|1-z|\big|\approx|\ln\delta|，因此积分不超过\delta\ln\delta的量级，而\delta\to0时\delta\ln\delta\to0，这就证明了结论．

整函数的零点密度

设f是整函数，r>0，令n(r)为\overline{D}(0,r)内的零点个数，

M=\sup _ {|z|=r}|f(z)|.

由Jensen公式，在\{a _ n\}已按模长进行递增排序的假设下，

\begin{gathered}
\begin{aligned}
M(2r)&\geqslant \exp\Big\{\frac{1}{2\pi}\int _ {-\pi}^\pi \ln |f(2r\mathrm e^{\mathrm i\theta})|\, \mathrm d\theta\Big\}=|f(0)|\prod _ {n=1}^{n(2r)}\frac{2r}{|a _ n|}\\
&\geqslant |f(0)|\prod _ {n=1}^{n(r)}\frac{2r}{|a _ n|}\geqslant|f(0)|\cdot 2^{n(r)}.
\end{aligned}\\
n(r)\ln2+\ln|f(0)|\leqslant \ln M(2r).
\end{gathered}

这就将n(r)的增长速度用M(r)控制住．

考虑例子．用f(r)\lesssim g(r)表示有某正数C使得f(r)\leqslant Cg(r)．假设\ln M(r)\lesssim r^k对充分大的r都成立，那么：

定理：

\begin{gathered}
n(r)\lesssim r^k,\quad r\to\infty,\\
\limsup _ {r\to\infty}\frac{\ln n(r)}{\ln r}\leqslant k.
\end{gathered}

这个估计不能改进．例如f(z)=1-\exp(z^k)，零点是方程z^k=2\pi\mathrm i\cdot n的根，一个整数n有k个同模长的根．对于|z|^k\leqslant r^k的根，2\pi|n|\leqslant r^k，大致有r^k/\pi个满足的整数，因此n(r)大致为kr^k/\pi，当k\to\infty时\ln n(r)/\ln r=k．

Blaschke乘积

Weierstrass定理通过E _ p(z)的无穷乘积构造给出了符合要求的零点的整函数，而对于D上的函数，对应的构造是Blaschke乘积．

Blaschke乘积是指

B(z)=z^k\prod _ {n=1}^\infty \frac{a _ n-z}{1-\overline{a} _ nz}\frac{|a _ n|}{a _ n}, \quad z\in D(0,1).

其中a _ 1,a _ 2,\dots是D=D(0,1)中的一列非零的点列，k\in\mathbb{N}．乘积也可以为有限多项．

定理：存在D上的有界的非零全纯函数，使得函数恰以诸a _ n为零点，没有其余非零零点，当且仅当

\sum _ {n=1}^\infty(1-|a _ n|)<+\infty.

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简单看下证明思路．当上述级数收敛，可构造Blaschke乘积B(z)，计算

\sum _ {n=1}^\infty \Big|1-\frac{a _ n-z}{1-\overline{a} _ nz}\frac{|a _ n|}{a _ n}\Big|\leqslant\sum _ {n=1}^\infty\frac{1+r}{1-r}(1-|a _ n|),\quad |z|\leqslant r.

根据无穷乘积的结论，不难推出．反过来设f是D上的有界的非零全纯函数，|f(z)|\leqslant M．不妨设f(0)\neq0，对正整数k，选择r>0使得|z|\leqslant r的零点至少有k个．由Jensen公式，

|f(0)|\prod _ {n=1}^{n(r)}\frac{r}{|a _ n|}=\exp\Big(\frac{1}{2\pi}\int _ {-\pi}^\pi\ln|f(r\mathrm e^{\mathrm i\theta})|\, \mathrm d\theta\Big)\leqslant M.

于是在下式令r\to 1^{-}再令k\to\infty，

\begin{gathered}
\prod _ {n=1}^k|a _ n|\geqslant M^{-1}|f(0)|r^k,\\
\prod _ {n=1}^\infty|a _ n|\geqslant M^{-1}|f(0)|>0.
\end{gathered}

再利用无穷乘积的结论．

Riemann映射定理

如果把两个区域\Omega _ 1,\Omega _ 2按如下意义称作全纯等价：存在全纯函数f:\Omega _ 1\to\Omega _ 2，是个一一映射；那么易知这是个等价关系，因为一一映射存在全纯的逆映射．Riemann发现，所有的单连通区域只有两类，一类只有整个\mathbb C自己，另一类是其余所有单连通域．即，不是\mathbb C的单连通域，除了是同胚的（拓扑等价）之外，还都是全纯等价的，这就是复分析中的重要定理——Riemann映射定理．

根据这个定理，可以构建\Omega _ 1,\Omega _ 2=D(0,1)上的全纯函数的对应（同构），达到把区域化简的目的．很多情况下考虑单位圆盘的情形就够了．

下面的主要目的就是证明Riemann映射定理．现在通行的证明需要正规族的概念．在叙述正规族前，先来看单连通区域拥有的一个良好性质．

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取w _ 0\in\mathbb C\setminus\Omega，那么z\mapsto z-w _ 0在\Omega总不为零，可以证明这个函数可以“开方”．

z\mapsto 1\mathbin{/}(z-w _ 0)是\Omega上的全纯函数．因为\Omega单连通，由Cauchy积分定理，对\Omega里的闭合路径\gamma都有\int _ \gamma \frac{1}{\zeta-w _ 0}\, \mathrm d\zeta=0．于是任取z _ 0\in\Omega后，对z\in\Omega可以定义F(z)=\int _ {z _ 0}^z\frac{1}{\zeta-w _ 0}\, \mathrm d\zeta．可以证明这是个\Omega上的全纯函数，且F'(z)=1\mathbin{/}(z-w _ 0)．进行计算，

\begin{gathered}
\frac{F(z)-F(a)}{z-a}=\frac{1}{z-a}\int _ {a}^z \frac{1}{\zeta-w _ 0}\, \mathrm d\zeta,\\
\frac{F(z)-F(a)}{z-a}-\frac1{a-w _ 0}=\frac{1}{z-a}\int _ {a}^z \Big[\frac{1}{\zeta-w _ 0}-\frac{1}{a-w _ 0}\Big]\, \mathrm d\zeta.
\end{gathered}

由z\mapsto1\mathbin{/}(z-w _ 0)在z=a的连续性，对\varepsilon>0，存在\delta>0使得|z-a|<\delta时上式积分的被积函数模长<\varepsilon．

\begin{gathered}
\Big|\frac{F(z)-F(a)}{z-a}-\frac1{a-w _ 0}\Big|<\varepsilon\implies\lim _ {z\to a}\frac{F(z)-F(a)}{z-a}=\frac1{a-w _ 0},\\
F'(z)=\frac{1}{z-w _ 0}\implies \Big((z-w _ 0)\mathrm e^{-F(z)}\Big)'=0.
\end{gathered}

这表明z-w _ 0=\mathrm e^{\widetilde F(z)}=(\mathrm e^{\varphi(z)})^2，其中\varphi(z)=\widetilde F(z)/2，\widetilde{F}是个与F相差个常数的全纯函数．

以上论证当然可以应用到其它没有零点的全纯函数f，定义F(z)=\int _ {z _ 0}^z \frac{f'(\zeta)}{f(\zeta)}\, \mathrm d\zeta，重复以上论证即可．

正规族

定义：设\mathcal F是区域\Omega上的一族全纯函数，称它为正规族(normal family)是指\mathcal F中任意一列函数都有一个子列在\Omega内闭一致收敛（即紧一致收敛）．

下面的Montel定理给出了全纯函数族是正规族的特征，先做些准备工作．证明它要用到分析学里的Arzelà–Ascoli定理．

定理(Arzelà–Ascoli)：设K\subseteq\mathbb{C}是紧集，\{f _ n\}是一列在K上一致有界且等度连续的函数列，那么\{f _ n\}有子列在K上一致收敛．

这里只进行一些解释，不给出其证明了．在泛函分析中的Arzelà–Ascoli定理：紧集K上的连续函数空间(C(K),\|\cdot\|)的一个子集\mathcal F，它的闭包是紧的（即相对紧）当且仅当\mathcal F是有界的且等度连续．对于一列K上的连续函数\{f _ n\}，

• 如果在(C(K),\|\cdot\|)有界，那么\sup _ {z\in K}|f _ n(z)|<M对所有n成立，也就是\{f _ n\}在K上一致有界；
• 等度连续(equicontinuous)即对任意\varepsilon>0，存在\delta>0使得z _ 1,z _ 2\in K且|z _ 1-z _ 2|<\delta时，|f _ n(z _ 1)-f _ n(z _ 2)|<\varepsilon对n\in\mathbb N都成立；
• 前两点的假设下，\{f _ n\}是(C(K),\|\cdot\|)的一个紧子空间里的一列，则存在收敛子列\{f _ {n _ i}\}与f\in C(K)，\max _ {z\in K}|f _ {n _ i}(z)-f(z)|\to 0，这表明\{f _ {n _ i}\}在K上一致收敛．

下面再考虑一个引理——紧集穷竭(exhaustion by compact sets)．

引理：设U是一开集，那么存在一列紧集\{K _ n\}，使得：

1. 对n\in\mathbb N都有K _ n\subseteq K _ {n+1}^\circ；
2. U=\bigcup _ n K _ n；
3. 对任一U的紧子集K，它含于某个K _ n；

可以给出一种构造如下：

K _ n=\overline D(0,n)\cap \bigcap _ {a\notin U}D^c(a,1/n), n=1,2,\dots.

作为闭集的交，这些都是闭集，而且都有界，因而是紧集．任取z\in U，存在N使得|z|\leqslant N且D(z,1/N)\subseteq U，那么z\in K _ N，第二个条件满足．对于第一个条件，任取z\in K _ n，那么|z|\leqslant n且\inf _ {a\notin U}|a-z|\geqslant 1/n．对z'\in D(z,r)，|z'|\leqslant n+r且|a-z'|\geqslant |a-z|-|z-z'|\geqslant 1/n+r．于是取r=\frac1n-\frac1{n+1}就有D(z,r)\subseteq K _ {n+1}．这表明K _ n的点都是K _ {n+1}的内点，第一个条件也满足．

对于第三个条件，设K是紧子集，由于U也可写成\bigcup _ n K _ n^\circ，这就是K的一个开覆盖，因而有有限覆盖，K\subseteq K _ 1^\circ\cup\dots\cup K _ N^\circ=K _ N^\circ，故n\geqslant N都有K\subseteq K _ n．

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定理(Montel)：设\mathcal F是区域\Omega上的一族全纯函数，那么\mathcal F是正规族，当且仅当\mathcal F在\Omega上内闭一致有界．

内闭一致有界是说对任意紧集K\subseteq \Omega，存在M(K)>0使得|f(z)|<M(K)对f\in\mathcal F和z\in K都成立．类似内闭一致收敛．

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因为后面的证明中只用到了条件的充分性，因此这里只证明一个方向．假设\mathcal F在\Omega上内闭一致有界．由Arzelà–Ascoli定理，只需证\mathcal \Omega的任意紧子集上\mathcal F都等度连续．不过下面只需考虑在一个紧集穷竭上等度连续也够了．

设紧集K\subseteq \Omega，存在M(K)>0使得|f(z)|<M(K)对f\in\mathcal F和z\in K都成立．设\Omega的一个紧集穷竭\{K _ n\}，满足上述引理中的三个条件．

固定n，从引理的证明过程可以看出，存在r>0使得D(z,r)\subseteq K _ {n+1}对任意的z\in K _ n成立．设z _ 1,z _ 2\in K _ n，满足|z _ 1-z _ 2|<r/2．令\gamma为正定向的\partial D(z _ 1,r)，这是个K _ {n+1}中的曲线．然后利用Cauchy积分公式估计，利用\zeta\in\partial D(z _ 1,r)时，|\zeta-z _ 2|\geqslant |\zeta-z _ 1|-|z _ 1-z _ 2|>r/2，

\begin{aligned}
|f(z _ 1)-f(z _ 2)|&=\Big|\frac{1}{2\pi\mathrm i}\oint _ \gamma \Big(\frac{f(\zeta)}{\zeta-z _ 1}-\frac{f(\zeta)}{\zeta-z _ 2}\Big)\, \mathrm d\zeta\Big|\\
&=\Big|\frac{z _ 1-z _ 2}{2\pi\mathrm i}\oint _ \gamma \frac{f(\zeta)}{(\zeta-z _ 1)(\zeta-z _ 2)}\, \mathrm d\zeta\Big|\\
&\leqslant\frac{|z _ 1-z _ 2|}{2\pi}\cdot 2\pi r\cdot \frac{M(K _ {n+1})}{r\cdot r/2}\\
&=\frac{2M(K _ {n+1})}{r}|z _ 1-z _ 2|.
\end{aligned}

该式对f\in\mathcal F和满足|z _ 1-z _ 2|<r的z _ 1,z _ 2\in K _ n都成立．所以，可以看到\mathcal F在K _ n上是等度连续的，也就可以从中取一个一致收敛的子列．

给定一个一般的紧集K\subseteq\Omega，要取\mathcal F中的子列，使其在K上一致收敛．先取一列\{f _ n\}，在K _ 1上是一致收敛的；再取\{f _ n\}的一列子列，使其在K _ 2上一致收敛；依此类推，最后，用对角线法就得到一个在所有K _ n都一致收敛的子列．这最终的子列当然也在K上一致收敛．

证明Riemann映射定理

现在可以来证明主要的定理，用常见的但又巧妙至极的标准证法．

定理（Riemann映射定理）：每一个单连通区域\Omega(\neq\mathbb C)皆全纯等价于单位圆盘D．

推论：设a是单连通区域\Omega(\neq\mathbb C)中的任一点，存在唯一的全纯函数f:\Omega\to D使得f(a)=0，f'(a)>0，且f是一一映射．

为了使过程更详细易懂，把证明分几步进行．令

\mathcal F=\{f\in H(\Omega)\mid f:\Omega\hookrightarrow D\}.

其中H(\Omega)表示全纯函数集合，\Omega\hookrightarrow D表示单射映到D．我们要证明存在f\in \mathcal F使得f(\Omega)=U．

第一步

先证\mathcal F非空．前面已推出，对w _ 0\in\mathbb C\setminus\Omega，存在\Omega上的全纯函数\varphi，使得z-w _ 0=\varphi^2(z)．

• 如果\varphi(z _ 1)=\varphi(z _ 2)，那么平方后可知z _ 1=z _ 2，从而\varphi是个单射．
• 如果\varphi(z _ 1)=-\varphi(z _ 2)，同样可知z _ 1=z _ 2，\varphi(z _ 1)=0，不可能．
• 因为\varphi是开映射，像集内存在某圆盘D(a,r)\subseteq f(\Omega)，那么0<r<|a|；由上一点知D(-a,r)\cap f(\Omega)=\varnothing，正数r>0可使得对任意z\in\Omega都有|\varphi(z)+a|> r．

令

\psi(z)=\frac{r}{\varphi(z)+a}\in H(\Omega).

这是个单射，且|\psi(z)|<1,故\psi\in\mathcal F．

第二步

设a\in\Omega．证明存在g\in\mathcal F，使得

|g'(a)|=\sup _ {f\in\mathcal F}|f'(a)|.

因为对任意的f\in\mathcal F，总有|f(z)|<1，z\in\Omega，所以\mathcal F在\Omega上一致有界．取\mathcal F中的一列\{f _ n\}，使得\lim _ n|f'(a)|=\sup|f'(a)|．由Montel定理，\{f _ n\}是个正规族．所以可以从中取出一个内闭一致收敛的子列，不妨仍把这个子列记为\{f _ n\}，\{f _ n\}内闭一致收敛到极限函数g．由Weierstrass定理，g是全纯的且|g'(a)|=\lim _ n|f'(a)|=\sup|f'(a)|>0．于是要证明g\in\mathcal F．需要验证两点：g把\Omega映到D内；g是单射．

对z\in \Omega，|g(z)|=\lim _ n|f _ n(z)|\leqslant1，因此g(\Omega)\subseteq \overline{D}，由开映射定理，进一步知g(\Omega)\subseteq D．

取z _ 1\neq z _ 2，可证g(z _ 1)\neq g(z _ 2)．考虑函数g(z)-g(z _ 1)的零点，可以找到r>0，使得r<|z _ 1-z _ 2|且g(z)-g(z _ 1)在圆周\partial{D}(z _ 2,r)上没有零点（若不然，函数有一列收敛于z _ 2\in\Omega的零点，从而函数是零函数，但|g'(a)|>0表明这不可能）．在圆周\partial D(a _ 2,r)上，存在\varepsilon>0使得总有|g(z)-g(z _ 1)|>\varepsilon．

函数列\{f _ n(z)-f _ n(z _ 1)\}在\overline{D}(z _ 2,r)一致地收敛到g(z)-g(z _ 1)，因而n充分大时它们的差绝对值在圆周上总小于\varepsilon，由Rouché定理，g(z)-g(z _ 1)在D(z _ 2,r)与f _ n(z)-f _ n(z _ 1)在D(z _ 2,r)有相同的零点数．这个零点数是零，因为f _ n(z)-f _ n(z _ 1)是单射而且唯一的零点是圆盘外的z _ 1，因此g(z)-g(z _ 1)在圆盘内也没有零点，特别地，g(z _ 2)\neq g(z _ 1)．

第三步

证明g(\Omega)=D．用反证法，如果不是满射，即存在z _ 0\in D使得z _ 0\notin g(\Omega)，下面证明存在\widetilde{g}\in\mathcal F使得|g'(a)|<|\widetilde{g}'(a)|，这就与g的定义矛盾．

在讨论Schwarz引理时，已经引入了如下的变换：

\begin{gathered}
\begin{aligned}
\varphi _ {\alpha}:D&\to D,\\
z&\mapsto \frac{z-\alpha}{1-\overline{\alpha}z}.
\end{aligned}\\
\varphi _ {-\alpha}\circ\varphi _ {\alpha}=\varphi _ \alpha\circ\varphi _ {-\alpha}=\operatorname{Id} _ {D}.
\end{gathered}

因为z _ 0\notin g(\Omega)，映射\varphi _ {z _ 0}\circ g:\Omega\to D是全纯单射，即\varphi _ {z _ 0}\circ g\in\mathcal F，而且在\Omega都没有零点．再次利用非零全纯函数可以开方的结论，知道存在\Omega上的全纯函数h使得h^2=\varphi _ {z _ 0}\circ g．类似前面证明，可知这个函数是单射，于是h\in\mathcal F．

令b=h(a)．函数\widetilde{g}=\varphi _ b\circ h是\Omega上单射映到D的全纯函数，即\widetilde{g}\in \mathcal{F}．而且z=a是其零点．现在有

g=\varphi _ {-z _ 0}\circ h^2=\varphi _ {-z _ 0}\circ ()^2\circ h=\varphi _ {-z _ 0}\circ ()^2\circ \varphi _ {-b}\circ \widetilde{g}.

令F=\varphi _ {-z _ 0}\circ ()^2\circ \varphi _ {-b}，那么

g'(a)=F'(0)\widetilde{g}'(a).

函数F(U)\subseteq U，由Schwarz-Pick引理，|F'(0)|\leqslant\frac{1-|F(0)|^2}{1-0^2}=1-|F(0)|^2．等号成立时F是双射，但从F的定义看出这不可能，因此|F'(0)|<1．这就得到了

0<|g'(a)|=|F'(0)||\widetilde{g}'(a)|<|\widetilde{g}'(a)|.

于是，g就是要找的\Omega到D的全纯等价的函数．

第四步

可以证明，如果还要求f(a)=0、f'(a)>0，这样的函数还是唯一的．

这用D上的自同构可以轻松做到，若f(a)\neq0，f'(a)=r\mathrm e^{\mathrm i\theta}（其中r>0），那么考虑自同构\mathrm e^{-\mathrm i\theta}\varphi _ {f(a)}\circ f，这还是\Omega到D的全纯等价的函数，但满足了f(a)=0、f'(a)>0的条件．事实上，f(a)\neq0是不可能的．若f(a)=b\neq0，则\varphi _ b\circ f\in\mathcal F且

|(\varphi _ b\circ f)'(a)|=|\varphi' _ b(b)f'(a)|=\frac{|f'(a)|}{1-|b|^2}>|f'(a)|.

与f是\mathcal F中a点导数模最大矛盾．

最后是唯一性．如果f _ 1,f _ 2都是满足要求的函数，那么考虑f _ 1\circ f _ 2:D\to D，这是D到D的自同构，由(f _ 1\circ f _ 2^{-1})(0)=0知这个自同构只能是一个旋转z\mapsto \mathrm e^{\mathrm i\theta}z，但又有(f _ 1\circ f _ 2^{-1})'(0)=f _ 1'(a)\mathbin/f _ 2/(a)>0，即知(f _ 1\circ f _ 2^{-1})(z)=z．由此不难得出f _ 1=f _ 2．

Riemann映射定理就证完了．

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既然所有不是\mathbb C的单连通域都全纯等价于D，它们相互之间当然也全纯等价．

定理：设\Omega _ 1,\Omega _ 2是异于\mathbb C的单连通域，那么对于给定的z\in \Omega _ 1和w\in \Omega _ 2，存在一一映射的全纯函数f:\Omega _ 1\to\Omega _ 2．如果还要求f(z)=w、f'(z)>0，那么f存在且唯一．

单连通域有这个简单的结果，而单连通域不全纯等价于多连通域，那么n({>}1)连通域之间是不是全纯等价的？一般来说，答案是否定的．即使是两个同心圆环\{z\mid r _ 1<|z|<R _ 1\}和\{z\mid r _ 2<|z|<R _ 2\}这种简单情况，要全纯等价需要\frac{r _ 1}{r _ 2}=\frac{R _ 1}{R _ 2}．可见Riemann映射定理的特殊地位．同样，人们还发现，Riemann映射定理只在单复变成立；在这之前的实分析，没有这定理，这之后的多复变里也没有这定理．