行列式

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第三章：行列式 行列式的概念，就是用来刻画n阶方阵的某种特征的一个重要数据.

Contents
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 1.  n阶方阵的行列式
   1.1.  行列式函数的定义
   1.2.  行列式函数\mathrm{det}(A)
 2.  行列式的其它性质
 3.  行列式的初步应用
   3.1.  齐次线性方程组
   3.2.  逆矩阵
   3.3.  矩阵乘积的行列式
   3.4.  矩阵的秩与行列式
 4.  Laplace展开式与Binet-Cauchy公式

1. n阶方阵的行列式 1.1. 行列式函数的定义

若能证定理theorem312，定理theorem311即证：若不满秩，某列可被其它列线性组合，将这行变为0即得f(A)=0.而反过来只需取两列相同的矩阵都有f(A)=0，这正是反对称的定义.

对定理theorem312，设A=(\dots,\beta_i,\dots,\beta_j,\dots)，
\begin{aligned}
&f(\dots,\beta_i,\dots,\beta_j,\dots)+f(\dots,\beta_j,\dots,\beta_i,\dots) \\
=&f(\dots,\beta_i,\dots,\beta_j,\dots)+f(\dots,\beta_j,\dots,\beta_i,\dots)+
f(\dots,\beta_i,\dots,\beta_i,\dots)+f(\dots,\beta_j,\dots,\beta_j,\dots)\\
=&f(\dots,\beta_i,\dots,\beta_i+\beta_j,\dots)+f(\dots,\beta_j,\dots,\beta_i+\beta_j,\dots)\\
=&0.
\end{aligned}
\begin{aligned}
&f(\dots,\beta_i,\dots,\beta_j+\lambda\beta_i,\dots) \\
=&f(\dots,\beta_i,\dots,\beta_j,\dots)+\lambda f(\dots,\beta_i,\dots,\beta_i,\dots)\\
=&f(\dots,\beta_i,\dots,\beta_j,\dots).
\end{aligned}

于是我们有：

对定理theorem313，如果f,g均是行列式函数，不满秩矩阵按定义就有f(A)=g(A)=0.如果满秩，则A相抵于E，由f(E)=g(E)=1及推论tuilun311，f(A)=g(A).

对定理theorem314，仅考虑A满秩.此时E可一系列初等列变换变为A，一开始有f(E)=1，每一次初等列变换，交换两列反号，某列乘\lambda则f也乘\lambda，某列数乘加到另一列f不变.设A=EP_1P_2\dots P_m,\, f(A)=(-1)^r\lambda_1\lambda_2\dots\lambda_s，则A^{\mathrm{T}}=EP^{\mathrm{T}} _mP^{\mathrm{T}} _{m-1}\dots P^{\mathrm{T}} _2P^{\mathrm{T}} _1.\, f(A^{\mathrm{T}})=(-1)^r\lambda_1\lambda_2\dots\lambda_s=f(A).

由定理theorem314不难推出定理theorem315.
1.2. 行列式函数\mathrm{det}(A)

由定理theorem313，只需要知道\det(A)是行列式函数即可，逐条验证定义条件即可.
2. 行列式的其它性质

对定理theorem321，考虑归纳法配合引理lemma321即可.

对引理lemma321，把行列式按第一行行向量的分量拆开，得到\det(A)=\sum\limits_{k=1}^na_{1k}\det\begin{bmatrix}\varepsilon_k\\ \alpha_2\\ \vdots\\ \alpha_n\end{bmatrix}，
\begin{aligned}
\det\begin{bmatrix}\varepsilon_k\\ \alpha_2\\ \vdots\\ \alpha_n\end{bmatrix}&=\sum_{(j_2j_3\dots j_n)}(-1)^{N(kj_2j_3\dots j_n)}a_{2j_2}a_{3j_3}\dots a_{nj_n} \\
&=\sum_{(j_2j_3\dots j_n)}(-1)^{k-1+N(j_2j_3\dots j_n)}a_{2j_2}a_{3j_3}\dots a_{nj_n}\\
&=(-1)^{k+1}\sum_{(j_2j_3\dots j_n)}(-1)^{N(j_2j_3\dots j_n)}a_{2j_2}a_{3j_3}\dots a_{nj_n}\\
&=(-1)^{1+k}\det(A(_k^1)).
\end{aligned}\\
\begin{aligned}
\Longrightarrow\det(A)&=\sum_{k=1}^na_{1k}\det\begin{bmatrix}\varepsilon_k\\ \alpha_2\\ \vdots\\ \alpha_n\end{bmatrix} \\
&=\sum_{k=1}^n(-1)^{1+k}a_{1k}\det(A(_k^1)).
\end{aligned}
对定理theorem322，
A=\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\a_{i1}&a_{i2}&\cdots&a_{in}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{bmatrix},\, \overline{A}=\begin{bmatrix}a_{i1}&a_{i2}&\cdots&a_{in}\\a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\a_{i-1,1}&a_{i-1,2}&\cdots&a_{i-1,n}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{bmatrix},

后者由前者互换相邻两行n-1次得到，有|A|=(-1)^{i-1}|\overline{A}|,\overline{M} _ {1k} =M_{ik}，因而
\overline{A} _{1k}=(-1)^{1+k}\overline{M} _{1k}=(-1)^{1+k}M_{ik}=(-1)^{1+i}(-1)^{i+k}M_{ik}=(-1)^{1+i}A_{ik}. \\
|\overline{A}|=\sum_{k=1}^n a_{ik}\overline{A} _{1k}=(-1)^{i+1}\sum_{k=1}^n a_{ik}A_{ik}.\\
|A|=(-1)^{i-1}|\overline{A}|=(-1)^{i-1}\cdot(-1)^{i+1}\sum_{k=1}^n a_{ik}A_{ik}=\sum_{k=1}^n a_{ik}A_{ik}.

对定理theorem323，对A的阶数作归纳法，展开第一列即可.

对定理theorem324，写出定义展开式即可.
\begin{aligned}
|A(t)|&=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\sum_{(i_1i_2\dots i_n)}(-1)^{N(i_1i_2\dots i_n)}a_{1i_1}(t)a_{2i_2}(t)\dots a_{ni_n}(t) \\
&=\sum_{k=1}^n\sum_{(i_1i_2\dots i_n)}(-1)^{N(i_1i_2\dots i_n)}a_{1i_1}(t)\dots a'_{ki_k}(t)\dots a_{ni_n}(t)\\
&=\sum_{k=1}^n\begin{bmatrix}
a_{11}(t)&a_{12}(t)&\dots&a_{1n}(t)\\
\vdots&\vdots& &\vdots\\
a_{k1}'(t)&a_{k2}'(t)&\dots&a_{kn}'(t)\\
\vdots&\vdots& &\vdots\\
a_{n1}(t)&a_{n2}(t)&\dots&a_{nn}(t)\end{bmatrix}
\end{aligned}
3. 行列式的初步应用 应用行列式讨论线性方程组和矩阵论的若干问题.
3.1. 齐次线性方程组

事实上，如果不满秩，按行列式函数的定义即知|A|=0.如果|A|=0但满秩，对A作初等变换仍有|A|=0，而A可一系列初等列变换后变为E，就得到|E|=0，矛盾.
3.2. 逆矩阵

对于定理theorem332，i=j时已知，i\neq j时把A的第j行换成与第i行一样，再对第j行展开.由此又可以推出定理theorem333.

对于定理theorem334，|A\neq0等价于A^{-1}存在，原方程有解A^{-1}B且r(A)=n，这又说明解唯一.
\begin{aligned}
X&=A^{-1}B=\frac{1}{|A|}A^*B \\
&=\frac{1}{|A|}\begin{bmatrix}A_{11}&A_{12}&\cdots&A_{1n}\\A_{21}&A_{22}&\cdots&A_{2n}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\A_{n1}&A_{n2}&\cdots&A_{nn}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}b_1\\b_2\\ \vdots\\b_n\end{bmatrix}
=\frac{1}{|A|}\begin{bmatrix}
\sum A_{k1}b_k\\ \sum A_{k2}b_k\\ \vdots\\ \sum A_{kn}b_k
\end{bmatrix}.\\
|A_i|&=\sum_{k=1}^n A_{ki}b_k=\begin{vmatrix}
\cdots&a_{1,i-1}&b_1&a_{1,i+1}&\cdots\\
\cdots&a_{2,i-1}&b_2&a_{2,i+1}&\cdots\\
&\vdots&\vdots&\vdots& \\
\cdots&a_{n,i-1}&b_n&a_{n,i+1}&\cdots
\end{vmatrix}\Longrightarrow X=\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\ \vdots\\x_n\end{bmatrix}=\frac{1}{|A|}\begin{bmatrix}
|A_1|\\|A_2|\\ \vdots\\|A_n|
\end{bmatrix}.
\end{aligned}
3.3. 矩阵乘积的行列式

可以看到，矩阵的加法较简单，但|A+B|\neq|A|+|B|，矩阵乘法较复杂，却有如上定理.这表明行列式对讨论矩阵乘法特别有用，它也是许多矩阵技巧的来源.
3.4. 矩阵的秩与行列式

一般的矩阵没有行列式的概念，但行列式仍对它的研究甚为重要，这就是研究其各种子式.这两个定理说明可以借助子式研究矩阵的秩，在理论上研讨问题是有用的.

证：对定理theorem337，若r(A)=m，以列向量组的极大线性无关部分组为列的子式就是不为0的m阶子式.若有m阶子式不为0，此子式的行标遍历1到m，则这m个列向量线性无关，同时又可被A列向量组的极大线性无关部分组线性表示，就有m\leqslant r(A)\leqslant m.

对定理theorem338，先设r(A)=r，则行向量组里可选线性无关的r行，以这r个行向量为行得到r\times n矩阵，利用定理theorem337，知有一r阶子式不为0.如果有r+1阶子式不为0，由定理theorem337以这r+1个行向量为行得到(r+1)\times n矩阵，秩为r+1，同时又可被A行向量组的极大线性无关部分组线性表示，那么r+1\leqslant r，矛盾.

反过来，设A有r阶子式不为0，以这r个行向量为行得到r\times n矩阵，利用定理theorem337，这r个行向量线性无关，有r(A)\geqslant r.若r(A)>r（有r(A)阶子式不为0），必可取线性无关的r+1个行向量得到(r+1)\times n矩阵，秩为r+1，由定理theorem337，就会有r+1 阶子式不为0.
4. Laplace展开式与Binet-Cauchy公式