可测函数的定义及其性质

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定理1：设f(x)是可测集E上的函数，D是\mathbb{R}^1中的一个稠密集．若对任意的r\in D，点集\{x: f(x)>r\}都是可测集，则对任意的t\in \mathbb{R}^1，点集也是\{x: f(x)>t\}也是可测集．

定理2：若f(x)是E上可测函数，则下列等式中左端的点集皆可测：
\begin{aligned}
(1).& \{x: f(x) \leqslant t\}=E \backslash\{x: f(x)>t\} \quad\left(t \in \mathbb{R}^{1}\right) \\
(2).& \{x ; f(x) \geqslant t\}=\bigcap_{k=1}^{\infty}\left\{x: f(x)>t-\frac{1}{k}\right\} \quad\left(t \in \mathbb{R}^{1}\right) ; \\
(3).& \{x: f(x)<t\}=E \backslash\{x: f(x) \geqslant t\}\left(t \in \mathbb{R}^{1}\right) ; \\
(4).& \{x: f(x)=t\}=\{x: f(x) \geqslant t\} \cap\{x ; f(x) \leqslant t\} \quad\left(t \in \mathbb{R}^{1}\right) \\
(5).& \{x: f(x)<+\infty\}=\bigcup_{k=1}^{\infty}\{x: f(x)<k\} ;\\
(6).& \{x: f(x)=+\infty\}=E \backslash\{x: f(x)<+\infty\} ;\\
(7).& \{x: f(x)>-\infty\}=\bigcup_{k=1}^{\infty}\{x: f(x)>-k\} ; \\
(8).& \{x: f(x)=-\infty\}=E \backslash\{x: f(x)>-\infty\}.
\end{aligned}
定理3：

1. 设f(x)是定义在E_1\cup E_2\subset \mathbb{R}^n上的广义实值函数，若f(x)在E_1上可测，在E_2上也可测，则f(x)在E_1\cup E_2上可测．
2. 若f(x)在E上可测， A是E中可测集，则f(x)看做是定义在A上的函数在A上也是可测的．

定理4：可测函数的运算性质

推论1：对广义实值函数也有这样的运算性质

定理5：若\{f_k(x)\}是E上的可测函数列，则下列函数
\sup_{k\geqslant1}\{f_k(x)\},\quad \inf_{k\geqslant1}\{f_k(x)\},\quad\limsup_{k\to\infty}f_k(x),\quad\liminf_{k\to\infty}f_k(x)
都是E上的可测函数。

推论2：若\{f_k(x)\}是E上的可测函数列，且有f_k(x)\to f(x)，则f(x)是E上的可测函数。

定理6：设f(x),g(x)是定义在E\subset \mathbb{R}^n上的广义实值函数，f(x)是E上可测函数若f(x)=g(x), a. e. x\in E，则g(x)在E上可测．

定理7（简单函数逼近）：

1. 若f(x)是E上的非负可测函数，则存在非负可测的简单函数渐升列：\varphi(x)\leqslant\varphi_{k+1}(x)，k=1,2,\dots，使得\varphi_k(x)\to f(x),\, x\in E.
2. 若f(x)是E上的可测函数，则存在可测简单函数列\{\varphi_k(x)\}，使得|\varphi(x)|\leqslant|f(x)|，且\varphi_k(x)\to f(x),\, x\in E.
   若f(x)还是有界的，则上述收敛是一致的。

推论3：上述定理中所说的简单函数列中的每一个均可取成具有紧支集的函数。

可测函数的收敛

引理：设f(x),\{f_k(x)\}是E\subset \mathbb{R}^n上是上几乎处处有限的可测函数且m(E)<\infty，若f_k(x)\to f(x), a.e. x\in E，则对任给\varepsilon>0，令
E_{k}(\varepsilon)=\left\{x \in E:\left|f_{k}(x)-f(x)\right| \geqslant \varepsilon\right\},
有
\lim _{j \rightarrow \infty} m\left(\bigcup_{k=j}^{\infty} E_{k}(\varepsilon)\right)=0.
定理8（Егоров）：设f(x),\{f_k(x)\}是E\subset \mathbb{R}^n上是上几乎处处有限的可测函数且m(E)<\infty，若f_k(x)\to f(x), a.e. x\in E，则对任给的\delta>0，存在E中可测子集E_\delta，m(E_\delta)<\delta，使得\{f_k(x)\}在E\backslash E_\delta上一致收敛于f(x)。（也称为“近乎一致收敛”）

注意定理中的m(E)<\infty不能去掉，例如f_n(x)=\chi_{(0,n)}(x), x>0，在(0,\infty)中的任一个有限测度集外均不一致收敛于1.

定理9：若\{f_k(x)\}在E上同时依测度收敛于f(x)与g(x)，则f(x)与g(x)是对等的。

定理10：若\{f_k(x)\}在E上几乎处处有限的可测函数列且m(E)<\infty．若\{f_k(x)\}几乎处处收敛于几乎处处有限的函数f(x)，则f_k(x)在E上依测度收敛于f(x).

定理11：设f(x),\{f_k(x)\}是E\subset \mathbb{R}^n上是上几乎处处有限的可测函数，若对任给的\delta>0，存在E_\delta\subset E且m(E_\delta)<\delta，使得\{f_k(x)\}在E\backslash E_\delta上一致收敛于f(x)，则\{f_k(x)\}在E上依测度收敛于f(x).

定理12：若\{f_k(x)\}是E上的依测度Cauchy列，则在E上存在几乎处处有限的可测函数f(x)，使得\{f_k(x)\}在E上依测度收敛于f(x).

定理13（Riesz）：若\{f_k(x)\}在E上依测度收敛于f(x)，则存在子列\{f_{k_i}(x)\}，使得f_{k_i}(x)\to f(x), a.e. x\in E.

可测函数与连续函数的关系

定理14（Лузин）：若f(x)是E\subset \mathbb{R}^n上的几乎处处有限的可测函数，则对任给的\delta>0, 存在E中的闭集F，m(E\backslash F)<\delta，使得f(x)是F上的连续函数．

推论4：若f(x)是E\subset \mathbb{R}^n上的几乎处处有限的可测函数，则对任给的\delta>0, 存在\mathbb{R}^n上的一个连续函数g(x)，使得m(\{x \in E: f(x) \neq g(x)\})<\delta；

若E还是有界集，则可使上述g(x)具有紧支集．

推论5：若f(x)是E\subset \mathbb{R}^n上的几乎处处有限的可测函数，则存在\mathbb{R}^n上的连续函数列\{g_k(x)\}，使得g_k(x)\to f(x), a.e. x\in E.

复合函数的可测性

为了讨论可测函数复合运算的可测性问题，首先用点集映射的观点把函数可测性的定义改述一下．已经知道，对于实值函数f(x)来说，点集\{x: f(x)>t\}与f^{-1}((t,\infty))是一致的，有下述结论：

引理：若f(x)是定义在\mathbb{R}^n上的实值函数，则f(x)在\mathbb{R}^n上可测的充分且必要条件是：对于\mathbb{R}^1中的任一开集G，f^{-1}(G)是可测集．

定理15：设f(x)是\mathbb{R}^1上的连续函数，g(x)是\mathbb{R}^1上的实值可测函数，则复合函数h(x)=f[g(x)]是\mathbb{R}^1上的可测函数．

定理16：设T:\, \mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n是连续变换，当Z\to \mathbb{R}^n且m(Z)=0时，T^{-1}(Z)是零测集。若f(x)是\mathbb{R}^n上的实值可测函数，则f(T(x))是\mathbb{R}^n上的可测函数．

推论6：设f(x)是\mathbb{R}^n的实值可测函数，T:\, \mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n是非奇异线性变换，则f(T(x))是\mathbb{R}^n上的可测函数。