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Sherman–Morrison 公式

对可逆矩阵A及向量u,v，有
(A+uv^\prime)^{-1}=A^{-1}-\frac{A^{-1}uv^\prime A^{-1}}{1+v^\prime A^{-1}u}.

证明1：

注意到u+uv^\prime A^{-1}u=u(1+v^\prime A^{-1}u)=(A+uv^\prime )A^{-1}u
有
(A+uv^\prime )^{-1}u=\frac{A^{-1}u}{1+v^\prime A^{-1}u}.
故
\begin{aligned}
A^{-1}&=(A+uv^\prime )^{-1}(A+uv^\prime )A^{-1}\\
&=(A+uv^\prime )^{-1}(I+uv^\prime A)\\
&=(A+uv^\prime )^{-1}+(A+uv^\prime )^{-1}uv^\prime A\\
&=(A+uv^\prime )^{-1}+\frac{A^{-1}u}{1+v^\prime A^{-1}u}v^\prime A.
\end{aligned}

证明2:

考虑分块矩阵方程
\begin{pmatrix}
A&u\\v^\prime &-1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
X\\Y
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
I\\0
\end{pmatrix}.
此即矩阵方程组
\begin{cases}
AX+uY=I,\\
v^\prime X-Y=0.
\end{cases}
有AX+uv^\prime X=I，从而
X=(A+uv^\prime )^{-1},
所以只要求X.

而由方程组第一个方程又有
X=A^{-1}(I-uY).
代入第二个方程，
\begin{gathered}
v^\prime A^{-1}(I-uY)=Y,\\
v^\prime A^{-1}=(1+v^\prime A^{-1}u)Y,\\
Y=\frac{v^\prime A^{-1}}{1+v^\prime A^{-1}u}.
\end{gathered}
再代回第一个方程：
\begin{gathered}
AX+\frac{uv^\prime A^{-1}}{1+v^\prime A^{-1}u}=I\\
X=A^{-1}-\frac{A^{-1}uv^\prime A^{-1}}{1+v^\prime A^{-1}u}.
\end{gathered}

证明3：

由LDU分解：
\begin{pmatrix}
A&u\\v^\prime &1
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
I&0\\v^\prime A^{-1}&1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
A& \\ &1-v^\prime A^{-1}u
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
I&A^{-1}u\\0^\prime &1
\end{pmatrix},
求逆得
\begin{pmatrix}
A&u\\v^\prime &1
\end{pmatrix}^{-1}=
\begin{pmatrix}
I&A^{-1}u\\0^\prime &1
\end{pmatrix}^{-1}
\begin{pmatrix}
A& \\ &1-v^\prime A^{-1}u
\end{pmatrix}^{-1}
\begin{pmatrix}
I&0\\v^\prime A^{-1}&1
\end{pmatrix}^{-1}
即
\begin{pmatrix}
A&u\\v^\prime &1
\end{pmatrix}^{-1}=
\begin{pmatrix}
I&-A^{-1}u\\0^\prime &1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
A^{-1}& \\ &(1-v^\prime A^{-1}u)^{-1}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
I&0\\-v^\prime A^{-1}&1
\end{pmatrix}
右边计算结果的1行1列元素：
\begin{pmatrix}
I&-A^{-1}u
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
A^{-1}& \\ &(1-v^\prime A^{-1}u)^{-1}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
I\\-v^\prime A^{-1}
\end{pmatrix}=A^{-1}+\frac{A^{-1}uv^\prime A^{-1}}{1+v^\prime A^{-1}u}.
原矩阵又可LDU分解：
\begin{pmatrix}
A&u\\v^\prime &1
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
I&u\\0^\prime &1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
A-uv^\prime&\\ &1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
I&0\\v^\prime &1
\end{pmatrix},
求逆
\begin{pmatrix}
A&u\\v^\prime &1
\end{pmatrix}^{-1}=
\begin{pmatrix}
I&0\\-v^\prime &1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
(A-uv^\prime )^{-1}& \\ &1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
I&-u\\0^\prime &1
\end{pmatrix},
第1行1列元素为
\begin{pmatrix}
I&0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
(A-uv^\prime )^{-1}& \\ &1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
I\\0^\prime
\end{pmatrix}=(A-uv^\prime )^{-1},
综合两方面结果就有
(A-uv^\prime )^{-1}=A^{-1}+\frac{A^{-1}uv^\prime A^{-1}}{1+v^\prime A^{-1}u}.
与原式当然是等价的。