我的原文地址

Sherman–Morrison 公式

对可逆矩阵$A$及向量$u,v$，有
$(A+uv^\prime)^{-1}=A^{-1}-\frac{A^{-1}uv^\prime A^{-1}}{1+v^\prime A^{-1}u}.$

证明1：

注意到$u+uv^\prime A^{-1}u=u(1+v^\prime A^{-1}u)=(A+uv^\prime )A^{-1}u$
有
$(A+uv^\prime )^{-1}u=\frac{A^{-1}u}{1+v^\prime A^{-1}u}.$
故
$\begin{aligned} A^{-1}&=(A+uv^\prime )^{-1}(A+uv^\prime )A^{-1}\\ &=(A+uv^\prime )^{-1}(I+uv^\prime A)\\ &=(A+uv^\prime )^{-1}+(A+uv^\prime )^{-1}uv^\prime A\\ &=(A+uv^\prime )^{-1}+\frac{A^{-1}u}{1+v^\prime A^{-1}u}v^\prime A. \end{aligned}\begin{aligned} A^{-1}&=(A+uv^\prime )^{-1}(A+uv^\prime )A^{-1}\\ &=(A+uv^\prime )^{-1}(I+uv^\prime A)\\ &=(A+uv^\prime )^{-1}+(A+uv^\prime )^{-1}uv^\prime A\\ &=(A+uv^\prime )^{-1}+\frac{A^{-1}u}{1+v^\prime A^{-1}u}v^\prime A. \end{aligned}$

证明2:

考虑分块矩阵方程
$\begin{pmatrix} A&u\\v^\prime &-1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} A&u\\v^\prime &-1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} X\\Y \end{pmatrix}\begin{pmatrix} X\\Y \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} I\\0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} I\\0 \end{pmatrix}.$
此即矩阵方程组
$\begin{cases} AX+uY=I,\\ v^\prime X-Y=0. \end{cases}\begin{cases} AX+uY=I,\\ v^\prime X-Y=0. \end{cases}$
有$AX+uv^\prime X=I$，从而
$X=(A+uv^\prime )^{-1},$
所以只要求$X$.

而由方程组第一个方程又有
$X=A^{-1}(I-uY).$
代入第二个方程，
$\begin{gathered} v^\prime A^{-1}(I-uY)=Y,\\ v^\prime A^{-1}=(1+v^\prime A^{-1}u)Y,\\ Y=\frac{v^\prime A^{-1}}{1+v^\prime A^{-1}u}. \end{gathered}\begin{gathered} v^\prime A^{-1}(I-uY)=Y,\\ v^\prime A^{-1}=(1+v^\prime A^{-1}u)Y,\\ Y=\frac{v^\prime A^{-1}}{1+v^\prime A^{-1}u}. \end{gathered}$
再代回第一个方程：
$\begin{gathered} AX+\frac{uv^\prime A^{-1}}{1+v^\prime A^{-1}u}=I\\ X=A^{-1}-\frac{A^{-1}uv^\prime A^{-1}}{1+v^\prime A^{-1}u}. \end{gathered}\begin{gathered} AX+\frac{uv^\prime A^{-1}}{1+v^\prime A^{-1}u}=I\\ X=A^{-1}-\frac{A^{-1}uv^\prime A^{-1}}{1+v^\prime A^{-1}u}. \end{gathered}$

证明3：

由LDU分解：
$\begin{pmatrix} A&u\\v^\prime &1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} A&u\\v^\prime &1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} I&0\\v^\prime A^{-1}&1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} I&0\\v^\prime A^{-1}&1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} A& \\ &1-v^\prime A^{-1}u \end{pmatrix}\begin{pmatrix} A& \\ &1-v^\prime A^{-1}u \end{pmatrix} \begin{pmatrix} I&A^{-1}u\\0^\prime &1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} I&A^{-1}u\\0^\prime &1 \end{pmatrix},$
求逆得
$\begin{pmatrix} A&u\\v^\prime &1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} A&u\\v^\prime &1 \end{pmatrix}^{-1}= \begin{pmatrix} I&A^{-1}u\\0^\prime &1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} I&A^{-1}u\\0^\prime &1 \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} A& \\ &1-v^\prime A^{-1}u \end{pmatrix}\begin{pmatrix} A& \\ &1-v^\prime A^{-1}u \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} I&0\\v^\prime A^{-1}&1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} I&0\\v^\prime A^{-1}&1 \end{pmatrix}^{-1}$
即
$\begin{pmatrix} A&u\\v^\prime &1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} A&u\\v^\prime &1 \end{pmatrix}^{-1}= \begin{pmatrix} I&-A^{-1}u\\0^\prime &1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} I&-A^{-1}u\\0^\prime &1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} A^{-1}& \\ &(1-v^\prime A^{-1}u)^{-1} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} A^{-1}& \\ &(1-v^\prime A^{-1}u)^{-1} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} I&0\\-v^\prime A^{-1}&1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} I&0\\-v^\prime A^{-1}&1 \end{pmatrix}$
右边计算结果的1行1列元素：
$\begin{pmatrix} I&-A^{-1}u \end{pmatrix}\begin{pmatrix} I&-A^{-1}u \end{pmatrix} \begin{pmatrix} A^{-1}& \\ &(1-v^\prime A^{-1}u)^{-1} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} A^{-1}& \\ &(1-v^\prime A^{-1}u)^{-1} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} I\\-v^\prime A^{-1} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} I\\-v^\prime A^{-1} \end{pmatrix}=A^{-1}+\frac{A^{-1}uv^\prime A^{-1}}{1+v^\prime A^{-1}u}.$
原矩阵又可LDU分解：
$\begin{pmatrix} A&u\\v^\prime &1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} A&u\\v^\prime &1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} I&u\\0^\prime &1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} I&u\\0^\prime &1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} A-uv^\prime&\\ &1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} A-uv^\prime&\\ &1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} I&0\\v^\prime &1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} I&0\\v^\prime &1 \end{pmatrix},$
求逆
$\begin{pmatrix} A&u\\v^\prime &1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} A&u\\v^\prime &1 \end{pmatrix}^{-1}= \begin{pmatrix} I&0\\-v^\prime &1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} I&0\\-v^\prime &1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} (A-uv^\prime )^{-1}& \\ &1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} (A-uv^\prime )^{-1}& \\ &1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} I&-u\\0^\prime &1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} I&-u\\0^\prime &1 \end{pmatrix},$
第1行1列元素为
$\begin{pmatrix} I&0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} I&0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} (A-uv^\prime )^{-1}& \\ &1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} (A-uv^\prime )^{-1}& \\ &1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} I\\0^\prime \end{pmatrix}\begin{pmatrix} I\\0^\prime \end{pmatrix}=(A-uv^\prime )^{-1},$
综合两方面结果就有
$(A-uv^\prime )^{-1}=A^{-1}+\frac{A^{-1}uv^\prime A^{-1}}{1+v^\prime A^{-1}u}.$
与原式当然是等价的。