Lebesgue积分换元公式

定理：设\varphi:D _ t\to \mathbb R^n是连续可微的单射，其中D _ t是\mathbb R^n中的开集，满足条件：对任何\boldsymbol t\in D _ t，都有D\varphi(\boldsymbol t)\neq0，也就是微分总不为零，Jacobi矩阵总可逆。又设f是D _ x:=\varphi(D _ t)上的可测函数，如果f非负可测或Lebesgue可积，那么(f\circ\varphi)\cdot|\det D\varphi|可测，且有换元公式
\int _ {D _ x}f(\boldsymbol x)\, \mathrm d\boldsymbol{x}=\int _ {D _ t}f\circ\varphi(\boldsymbol{t})\cdot|\det D\varphi(\boldsymbol{t})|\, \mathrm d\boldsymbol t.

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由于\varphi是单射，\varphi^{-1}:D _ x\to D _ t存在，由逆映射定理，\varphi在局部有连续可微的逆映射，而\varphi^{-1}在局部也是逆映射，因此\varphi^{-1}在D _ x每一点都是连续可微，从而\varphi^{-1}\in C^1(D _ x)。

因此，换元公式对\varphi的条件也可以换成更方便的——\varphi:D _ t\to D _ x是微分同胚，且微分处处不为零。

一个朴素的证明思路是，我们把D _ t划分为无穷小的矩形（以二维为例），它们被\varphi映过去后变为曲边平行四边形，以直代曲，平行四边形的面积和原来矩形面积的伸缩比是|\det D\varphi(\boldsymbol{t})|。那么

\sum f(\boldsymbol x _ i)m(\Delta _ {x,i})\sim \sum f(\varphi(\boldsymbol t _ i))|\det D\varphi(\boldsymbol t _ i)|m(\Delta _ {t,i}).

无限加细后就是换元公式。

可测变换

复合的可测性并不是那么理所当然的，例如我们可以构造可测的F,G使得G\circ F并不可测。如果是Riemann积分，也要对可积性进行一定的讨论（例如Zorich的数学分析，虽然过程有些小问题），后续也需要对边界进行非常细致的分析。干脆一步到位直接看Lebesgue积分算了。

反例：考虑[0,1]上的类Cantor集（从[0,1]出发，刨去中间一部分，再从剩下部分各自刨去中间一部分；无限重复这一步骤），使其具有正测度。记为C，则m(C)>0，再考虑C^c=[0,1]\setminus C，也具有正测度。然后定义
F(x)=\int _ 0^x \chi _ {C^c}\, \mathrm dm.

那么，F(x)是一个绝对连续函数、几乎处处成立F'(x)=\chi _ {C^c}(x)，从而F'(x)在C^c上为1，C上为0。

当x _ 2>x _ 1时，考虑F(x _ 2)-F(x _ 1)。注意到C不含内点（任何邻域始终会被刨去一部分），且C^c是开集，可知m(C^c\cap(x _ 1,x _ 2))>0，所以，F(x)严格递增。（这表明F在一个正测度集合上有零导数，但还是严格递增。）

由于C有正测度，可以构造一个不可测的子集E（从有理等价类中各取一数）。这样F(E)\subseteq F(C)。另外可以证明，F(C)测度等于F'(x)在C上的积分（由换元公式可以看出），也就是零。所以，F(E)是零测集。

现在令G=\chi _ {F(E)}，这是个可测函数，而G\circ F(x)=\chi _ {F(E)}(F(x))=\chi _ E(x)；E不可测表明G\circ F不可测。

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下证\varphi总把可测集变为可测集。

引理：函数\varphi:D _ t\to D _ x把零测集映为零测集。

首先考虑闭长方体中的零测集，如果零测集E包含于D _ t中的闭长方体I，那么由于\varphi\in C^1(I)，即D\varphi在I上连续，其算子范数可被一常数M界住：\|D\varphi(\boldsymbol{t})\|\leqslant M。现在，对\boldsymbol x _ 1,\boldsymbol x _ 2\in I，由有限增量定理

|\varphi(\boldsymbol x _ 1)-\varphi(\boldsymbol x _ 2)|\leqslant M|\boldsymbol x _ 1-\boldsymbol x _ 2|.
由于m(E)=0，可被一列I中的闭长方体盖住，且它们测度和小于任意给定的\varepsilon>0；对每个长方体，都作一个同心的、边长放大M倍的长方体，可知这些新长方体覆盖了\varphi(E)，它们测度和小于M^n\varepsilon。由此不难推出m(\varphi(E))=0。

对于开集D _ t，将其写成一列闭长方体的并。例如，将\mathbb R^n按整数分为一个个立方体，如[0,1]^n，将包含在D _ t里的并起来记作F _ 1，然后每个立方体边长二等分，细化为多个小立方体，将所有含于D _ t的小立方体的并记作F _ 2。如此下去得到一个闭集列，那么\bigcup F _ n\subseteq D _ t。另一方面，若\boldsymbol{t}\in D _ t，它的一个邻域含于D _ t，必存在二进方体在这个邻域内且这方体也是一个邻域，可得知D _ t\subseteq \bigcup F _ n，故D=\bigcup F _ n。

因为已经知道对每个n都有m(\varphi(F _ n\cap E))=0，可知

m^\ast(\varphi(E))=m^\ast\Big(\bigcup _ {n=1}^\infty\varphi(E\cap F _ n)\Big)\leqslant \sum _ {n=1}^\infty m^\ast(\varphi(E\cap F _ n))=0.

从而\varphi(E)是零测集。

命题：映射\varphi:D _ t\to D _ x把可测集映为可测集。

设E是D _ t中的可测集，则E可写成一个F _ \sigma集（一列闭集的并集）和一个零测集的并。由于并的像等于像的并，而且F _ \sigma的像还是F _ \sigma集，零测集的像还是零测集，故\varphi(E)可测。

线性情况

由于考虑以直代曲的思路，线性情况需要首先考虑。首先可以证明外测度在线性算子下的变换关系。

定理：设T:\mathbb R^n\to\mathbb R^n是可逆的线性算子，那么

m^\ast(T(E))=|\det(T)|\cdot m^\ast(E).

特别地，E可测时，由前文知T(E)可测，上式都可写为测度。这里只考虑证明E可测的情形。

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如果能证明上式对单位立方体\{(x _ 1,\dots,x _ n)\mid 0\leqslant x _ i<1\}成立，由于开立方体、半开闭、闭立方体都可测且测度相同（从而T的像也测度相同），而测度有平移不变性，若E平移为\widetilde E那么T(\widetilde E)也是T(E)的平移，这样，单位立方体平移整数格定理还成立。再考虑小立方体\{(x _ 1,\dots,x _ n)\mid 0\leqslant x _ i<2^{-k}\}，这是单位立方体的数乘，那么T(E)也是相同尺度的数乘，从而对这种小立方体定理也成立。同样，对于它们的平移，定理成立。

如前文所示，开集可写为半开闭的不相交的二进方体的并，而现在已知定理对二进方体成立，于是定理对开集成立。然后，对一般的可测集，写成G _ \delta集和零测集的差即可轻易得出定理。

这表明只需考虑单位立方体E=\{(x _ 1,\dots,x _ n)\mid 0\leqslant x _ i<1\}情形，此时m(E)=1。线性代数中已知道，T可写成有限个初等变换的复合，这里初等变换就是指以下三种：交换两坐标、将一个坐标进行伸缩、将一个坐标加到另一个坐标。注意到线性算子复合的行列式等于各自行列式相乘，因此只需证T是初等变换的情形。

第一种是两坐标交换，此时显然有T(E)=E及|\det T|=1。

第二种是将一个坐标，不妨设为x _ 1，伸缩到\lambda x _ 1，此时|\det T|=|\lambda|，而T(E)是一边长\lambda其余边长1的长方体，有m(T(E))=|\lambda|。

第三种不妨设是x _ 1\mapsto x _ 1+x _ 2，那么|\det T|=1。考察T(E)，

\begin{aligned} T(E)&=\{(y _ 1,\dots,y _ n)\mid 0\leqslant x _ 1=y _ 1-y _ 2<1,\, 0\leqslant x _ i=y _ i<1,\, i>1\} \\ &=\{(y _ 1,\dots,y _ n)\mid y _ 2\leqslant y _ 1<1+y _ 2,\, 0\leqslant y _ i<1,\, i>1\} \\ &=\{(y _ i)\in T(E)\mid y _ 2\leqslant y _ 1<1\}\\ &\quad \cup\{(y _ i)\in T(E)\mid 1\leqslant y _ 1<1+y _ 2\}.\end{aligned}

第二个集合把y _ 1左平移一个单位，就是\{(y _ i)\in T(E)\mid 0\leqslant y _ 1<y _ 2\}，此时可以立即看出它的测度和第一个集合的测度之和为m(E)=1。这表明这种情况定理成立。

这就证明了线性情况的定理。

以直代曲

如果只考虑线性的\varphi，那么由上述定理不难推出换元公式。设E为可测集，

\int \chi _ E\, \mathrm dm=m(E)=|\det T|\cdot m(T^{-1}(E))=|\det T|\int \chi _ {T^{-1}(E)}\, \mathrm dm.

而\chi _ {T^{-1}(E)}(x)=\chi _ E(T(x))，因而

\int \chi _ E\, \mathrm dm=|\det T|\int \chi _ E\circ T\, \mathrm dm.

从而可推出对简单函数成立，进而对非负函数、可积函数成立。

但是对于更一般的\varphi，则还需要些步骤。本节先证明，对D _ t内的立方体Q，有一个方向的不等式

m(\varphi(Q))\leqslant \int _ Q|\det D\varphi(\boldsymbol{x})|\, \mathrm d\boldsymbol{x}.

这其实对应了换元公式中f\equiv1的情况。

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立方体的优势在于能用无穷范数方便地表示。设\boldsymbol{t}=(t _ 1,\dots,t _ n)，则

|\boldsymbol{t}| _ \infty=\max _ {1\leqslant i\leqslant n}|t _ i|.

设一个立方体中心为\boldsymbol{p}，立方体为\{\boldsymbol{x}\mid |\boldsymbol{x}-\boldsymbol{p}| _ \infty\leqslant h\}，设映射g在这立方体上连续可微，那么由有限增量定理，

|g(\boldsymbol{x})-g(\boldsymbol{p})| _ \infty\leqslant \Big(\sup _ {|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{p}| _ \infty\leqslant h} \|Dg(\boldsymbol{x})\|\Big)\cdot |\boldsymbol{x}-\boldsymbol{p}| _ \infty\leqslant \max _ {|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{p}| _ \infty\leqslant h}\|Dg(\boldsymbol{x})\|\cdot h.

这里面，用到了Dg(\boldsymbol{x})在有界闭集|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{p}| _ \infty\leqslant h上连续的结果，可取到最值。观察该式，它表明立方体的像能被一个大立方体包住，其中心为g(\boldsymbol{p})，边长可为原来的\max\| Dg(\boldsymbol{x})\|倍。所以，有

m(g(Q))\leqslant \Big(\max _ {\boldsymbol{x}\in Q}\|Dg(\boldsymbol{x})\|\Big)^n m(Q).
将这个公式应用到g(\boldsymbol{t})=T^{-1}\circ\varphi(\boldsymbol{t})，其中T是一个可逆线性算子。由于线性算子的逆也是线性的，且线性算子的微分是自身，可知Dg=T^{-1}\circ D\varphi，再利用已证的线性的结论，

\begin{gathered}
|\det T^{-1}|\cdot m(\varphi(Q))=m(T^{-1}\circ\varphi(Q))\leqslant\Big(\max _ {\boldsymbol{t}\in Q}\|T^{-1}\circ D\varphi(\boldsymbol{t})\|\Big)^nm(Q)\\
m(\varphi(Q))\leqslant|\det T|\Big(\max _ {\boldsymbol{t}\in Q}\|T^{-1}\circ D\varphi(\boldsymbol{t})\|\Big)^nm(Q).
\end{gathered}

现在可以考虑通过将Q边长等分的方式将Q细分，设细分为N份，每份中心为\boldsymbol{t} _ k，边长\leqslant\delta，在每一个小立方体应用上式，取T=D\varphi(\boldsymbol{t} _ k)，然后求和，得

m(\varphi(Q))\leqslant \sum _ {k=1}^N|\det D\varphi(\boldsymbol{t} _ k)|\Big(\max _ {\boldsymbol{t}\in Q _ k}\|(D\varphi)^{-1}(\boldsymbol{t} _ k)\circ D\varphi(\boldsymbol{t})\|\Big)^nm(Q _ k)
当\boldsymbol{t},\boldsymbol{t}'\in Q时，(\boldsymbol t,\boldsymbol t')\mapsto\|(D\varphi)^{-1}(\boldsymbol{t}')\circ D\varphi(\boldsymbol{t})\|^n是一致连续的，也就是说对任意给定的\varepsilon>0，\delta的选取可使得|(\boldsymbol t,\boldsymbol t_k)-(\boldsymbol t_k,\boldsymbol t_k)| _ \infty\leqslant \delta时，也就是|\boldsymbol{t}-\boldsymbol{t} _ k| _ \infty\leqslant\delta时都有

\begin{gathered}
\|(D\varphi)^{-1}(\boldsymbol{t} _ k)\circ D\varphi(\boldsymbol{t})\|^n-\|(D\varphi)^{-1}(\boldsymbol{t} _ k)\circ D\varphi(\boldsymbol{t} _ k)\|^n<\varepsilon,\\
\|(D\varphi)^{-1}(\boldsymbol{t} _ k)\circ D\varphi(\boldsymbol{t})\|^n<1+\varepsilon,
\end{gathered}

注意到|\boldsymbol{t}-\boldsymbol{t} _ k| _ \infty\leqslant\delta也就是\boldsymbol{t}\in Q _ k，又x\mapsto x^n是递增函数，故

m(\varphi(Q))\leqslant (1+\varepsilon)\sum _ {k=1}^N|\det D\varphi(\boldsymbol{t} _ k)|\cdot m(Q _ k).

对右边继续进行估计，

\begin{aligned}
&\sum _ {k=1}^N|\det D\varphi(\boldsymbol{t} _ k)|\cdot m(Q _ k)=\sum _ {k=1}^N \int _ {Q _ k}|\det D\varphi(\boldsymbol{t} _ k)|\, \mathrm d\boldsymbol{t}\\
\leqslant{}&\int _ Q|\det D\varphi(\boldsymbol{t})|\, \mathrm d\boldsymbol{t}+\sum _ {k=1}^N\int _ {Q _ k}|\det D\varphi(\boldsymbol{t})-\det D\varphi(\boldsymbol{t} _ k)|\, \mathrm d\boldsymbol{t}.
\end{aligned}

在Q上，函数(\boldsymbol{t},\boldsymbol t')\mapsto|\det D\varphi(\boldsymbol{t})-\det D\varphi(\boldsymbol{t}')|是一致连续的，故\delta的选取可进一步使得|\boldsymbol{t}-\boldsymbol{t} _ k| _ \infty\leqslant \delta时，即\boldsymbol{t}\in Q _ k时，都有|\det D\varphi(\boldsymbol{t})-\det D\varphi(\boldsymbol{t} _ k)|<\varepsilon，这样

m(\varphi(Q))\leqslant(1+\varepsilon)\Big[\int _ Q|\det D\varphi(\boldsymbol{t})|\, \mathrm d\boldsymbol{t}+\varepsilon\cdot m(Q)\Big].

由\varepsilon的任意性即知

m(\varphi(Q))\leqslant\int _ Q|\det D\varphi(\boldsymbol{t})|\, \mathrm d\boldsymbol{t}.

完成证明

因为开集可表示为二进方体的并，不难得知对D _ t的开子集G也有

m(\varphi(G))\leqslant\int _ G|\det D\varphi(\boldsymbol{t})|\, \mathrm d\boldsymbol{t}.
对可测集E\subseteq D _ t，将其写为等测包和一个零测集的差：

E=G\setminus Z=\bigcap _ {n=1}^\infty G _ n\mathbin{\Big\backslash Z},\quad m(Z)=0.

其中G _ n,Z\subseteq D _ t。于是

m(\varphi(E))\leqslant m(\varphi(G _ n))\leqslant\int _ {G _ n}|\det D\varphi(\boldsymbol{t})|\, \mathrm d\boldsymbol{t}.
为了取极限，先设存在开集U使得E\subseteq U\subseteq\overline{U}\subseteq D _ t，其中\overline U是紧集；不妨令G _ n\subseteq U都成立，那么\chi _ {G _ n}\cdot|\det D\varphi|是可测函数，且在U上有上界\max _ {\boldsymbol{t}\in\overline{U}}|\det D\varphi(\boldsymbol{t})|，而U测度有限，由有界收敛定理，

m(\varphi(E))\leqslant\int _ U \chi _ G\cdot|\det D\varphi|\, \mathrm dm=\int _ E|\det D\varphi(\boldsymbol{t})|\, \mathrm d\boldsymbol{t}.

这就对这种情况推出所需不等式。以下分情况利用该结论：

1. 开集D _ t外部是空集，D _ t=\mathbb R^n。直接用有界开球截断：U _ n=B(\boldsymbol{0},n)。
2. 开集D _ t有外部，则取U _ n=B(\boldsymbol{0},n)\cap\{\boldsymbol{t}\mid d(\boldsymbol{t},D _ t^c)>1/n\}，其中d是\mathbb R^n中的一个距离函数；U _ n作为两个开集的交集，它是开集。

令E _ n=E\cap U _ n，这就有了E _ n\subseteq U _ n\subseteq\overline U _ n\subseteq D _ t，其中\overline U _ n是紧集，利用前面结论得到

\begin{gathered}
m(\varphi(E _ n))\leqslant\int _ {E _ n}|\det D\varphi(\boldsymbol t)|\, \mathrm dt\\
\begin{aligned}
E=\bigcup _ {n=1}^\infty E _ n&\implies m(\varphi(E))\leqslant\int _ E |\det D\varphi(\boldsymbol t)|\, \mathrm dt\\
&\implies\int _ {D _ x}\chi _ {\varphi(E)}\, \mathrm dm\leqslant\int _ {D _ t}\chi _ {E}\cdot|\det D\varphi|\, \mathrm dm.
\end{aligned}
\end{gathered}

而\chi _ E=\chi _ {\varphi(E)}\circ \varphi，所以，可以得到如下命题。

命题：对于非负可测简单函数f，有
\int _ {D _ x}f\, \mathrm dm\leqslant \int _ {D _ t}f\circ\varphi\cdot|\det D\varphi|\, \mathrm dm.

从而对非负可测函数、进而对可积函数成立。

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最后推导另一个方向，就完成了证明。这是简单的。

设f在D _ x上非负可测或可积。令g=f\circ\varphi\cdot|\det D\varphi|，\psi=\varphi^{-1}，满足原条件，从而有

\begin{aligned}
\int _ {D _ t}g\, \mathrm dm&\leqslant\int _ {\psi^{-1}(D _ t)}g\circ\psi\cdot|\det D\psi|\, \mathrm dm\\
&=\int _ {D _ x}f(\boldsymbol{x})\cdot|\det D\varphi(\varphi^{-1}(\boldsymbol{x}))|\cdot |\det D\varphi^{-1}(\boldsymbol{x})|\, \mathrm d\boldsymbol{x}\\
&=\int _ {D _ x}f\, \mathrm dm.
\end{aligned}

这就最终证明了

\int _ {D _ x}f\, \mathrm dm=\int _ {D _ t}f\circ\varphi\cdot|\det D\varphi|\, \mathrm dm.