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微积分

复变函数论是在复数域上讨论微积分。一部分可以没有多大难度地直接推广得到，而另一部分是在原来实数域理论中所没有的。前一部分当然重要，但人们兴趣往往更集中在后一部分，因为常常真正刻画了事物的本质。

微积分由三部分组成，即微分、积分、以及联系它们称为一对矛盾的微积分基本定理，即Newton-Leibniz公式。

微积分基本定理（微分形式）：$f(x)$连续于$[a,b]$，$x\in[a,b]$，则$\Phi(x)=\int_a^xf(t)dt$在此闭区间可微，
$\Phi'(x)=f(x),\quad i.e.\quad d\Phi(x)=f(x)dx$

即是说，若$f(x)$的积分是$\Phi(x)$，则$\Phi(x)$的微分就是$f(x)dx$

微积分基本定理（积分形式）：$[a,b]$上$\frac{\Phi(x)}{dx}=f(x)$连续，那么
$\int_a^xf(t)dt=\Phi(x)-\Phi(a)$

即是说，若$\Phi(x)$的微分是$f(x)dx$，则$f(x)$的积分就是$\Phi(x)$

高维微积分

也有相应三个部分。高维情形下，第三部分由Green公式、Stokes公式及Gauss公式刻画。

Green公式：$D$为平面封闭曲线$L$围成的封闭图形，$P(x,y),Q(x,y)$在$D$上有一阶连续偏导，则
$\oint_LPdx+Qdy=\iint\limits_D\Big(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Big)dx\, dy$

Stokes公式：空间曲面$\varSigma$边界是封闭曲线$L$，$P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)$有一阶连续偏导，

$\oint_LPdx+Qdy+Rdz=\iint\limits_\varSigma\Big(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}\Big)dy\, dz+\Big(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}\Big)dz\, dx+\Big(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Big)dx\, dy$

Gauss公式：$V$是空间封闭曲面$\varSigma$所围成的闭区域，$P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)$有一阶连续偏导，
$\int\limits_\varSigma Pdy\, dz+Qdz\, dx+Rdx\, dy=\iiint\limits_V\Big(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\Big)dx\, dy\, dz$

都刻画了在边界上积分与在内部积分的关系，如果用外微分形式，那么可以统一成一个公式，称为Stokes公式。
$\int_{\partial\varSigma}\omega=\int_\varSigma d\omega$

这个公式不仅对三维欧氏空间成立，而且对任意高维的也成立，不仅如此，对于更一般的微分流形也是成立的，所以它是高维空间的微积分的基本定理，是微积分的顶峰与终点。

复数域、扩充复平面及其球面表示

要对扩充复数平面做个几何模型，在这个模型上一切扩充平面上的点都有一个具体的表示，这就是球面表示， 它是通过球极平面投影(stereographic projection) 得到的。

考察一三维空间的单位球面$S^2:\, x_1^2+x_2^2+x_3^2=1$，其上除了$(0,0,1)$外，可用复数
$z=\frac{x_1+\mathrm{i}x_2}{1-x_3}$

与之对应，这个对应是一对一的。令无穷远点对应于$(0,0,1)$，就完成了$S^2$上的点与扩充复数平面$\mathbb{C}^*$上的点的一对一的对应，这球面称为Riemann球面。

$x_3<0$的半球面对应单位圆盘$|z|<1$，$x_3>0$的半球面对应单位圆盘的外部$|z|>1$，等等。

如复平面为以$x_1$轴为实轴， $x_2$轴为虚轴的平面，则上式有明确的几何意义。
取$z=x+\mathrm{i}y$，点$(x,y,0),(x_1,x_2,x_3),(0,0,1)$在一条直线上。因此，这个对应实际上是以$(0,0,1)$为中心的中心投影，将$S^2$上的点投影到$\mathbb{C}^*$上，称这个投影为球极平面投影。在球面表示中，无穷远点不再有任何特殊了。

复微分

简单曲线，或称Jordan曲线；简单闭曲线或Jordan闭曲线

下面的事实是直观的，但证起来却很复杂，故述而不证。
Jordan定理：一条简单闭曲线$\gamma$把复平面分成两个域，其中一个是有界的，称为$\gamma$的内部，另一个是无界的，称为$\gamma$的外部，$\gamma$是这两个域的共同边界。

Heine-Borel定理：若$A$为紧集， $G$为$A$的开覆盖，则从$G$中可以选出有限个开集覆盖$A$
Bolzano-Weierstrass定理：任一无穷集至少有一极限点

称$f(z)$为其定义域上的解析函数(analytic function)或全纯函数(holomorphic function)，如果$f(z)$在其定义域上每一点都可微

复微商终究是在复平面上进行，所以这里有一些特殊的地方。
$f(z)=u(z)+\mathrm{i}\, v(z)=u(x,y)+\mathrm{i}\, v(x,y)$在$z_0=x_0+\mathrm{i}\, y_0$可微，则$\lim (f(z)-f(z_0)/(z-z_0)$对任意$z\to z_0$都存在且相等，考察沿平行坐标轴的方向：
$z=x+\mathrm{i}\, y_0,\, x\to x_0$，则$f'(z_0)=\frac{\partial u}{\partial x}+\mathrm{i}\frac{\partial v}{\partial x}$；$z=x_0+\mathrm{i}\, y,\, y\to y_0$，则$f'(z_0)=\frac{\partial v}{\partial y}-\mathrm{i}\frac{\partial u}{\partial y}$
得到Cauchy-Riemann方程：

$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y},\, \frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}\\\frac{\partial f}{\partial x}=-\mathrm{i}\, \frac{\partial f}{\partial y}$

是在一点可微的必要条件而非充分条件。

定理1：函数$f(z)=u+\mathrm{i}\, v$在某域内全纯的充要条件为：$u,v$有一阶连续偏导，且满足C-R方程

下一章会有：$f(z)=u+\mathrm{i}\, v$全纯，则$f'(z)$全纯，所以$u,v$二阶混合偏导数相等，由C-R方程，$\frac{\partial^2u}{\partial x^2}=\frac{\partial ^2v}{\partial x\partial y},\, \frac{\partial^2u}{\partial y^2}=-\frac{\partial ^2v}{\partial y\partial x}$，因此
$\frac{\partial^2u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2u}{\partial y^2}=0,\, \mathrm{similarly},\, \frac{\partial^2v}{\partial x^2}+\frac{\partial^2v}{\partial y^2}=0\\ \Delta u=\Delta v=0$
即全纯函数的实部与虚部均为调和函数。

引入两个重要的偏微分算子：
$\frac{\partial }{\partial z}=\frac12\left(\frac{\partial }{\partial x}-\mathrm{i}\, \frac{\partial }{\partial y}\right),\, \frac{\partial }{\partial \bar z}=\frac12\left(\frac{\partial }{\partial x}+\mathrm{i}\, \frac{\partial }{\partial y}\right)$

则偏导连续的函数是全纯的当且仅当

$\frac{\partial f}{\partial \bar z}=0\Leftrightarrow \frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial f}{\partial z}$

Nabla算子可写成$\Delta=4\frac{\partial }{\partial z}\frac{\partial }{\partial\bar z}=4\frac{\partial }{\partial\bar z}\frac{\partial }{\partial z}$

有$df=\frac{\partial f}{\partial z}dz+\frac{\partial f}{\partial\bar z}d\bar z:=\partial f+\bar\partial f$，于是

$d=\partial+\bar\partial$

共形性

设$f(z)$在域$D$内全纯，$z_0$为该域内导数不为0的点，过该点的任两条光滑曲线$\gamma_1(t),\gamma_2(t)$在$f(z)$映射下的像分别是过点$w_0=f(z_0)$的光滑曲线$\sigma_1(t),\sigma_2(t)$，$\gamma_1(t)$与$\gamma_2(t)$在点$z_0$处的夹角等于$\sigma_1(t),\sigma_2(t)$在点$w_0=f(z_0)$处的夹角，也就是说在映射$w=f(z)$之下，在导数不为零的点处，两条光滑曲线的夹角的大小及旋转方向是保持不变的，此为$f(z)$在$z_0$处的保角性。

另一方面，由导数定义，像点之间的距离与原来两点之间的距离之比的极限与曲线无关，称$|f'(z_0)|$为$f(z)$在点$z_0$处的伸长度。
因此，任意一个以$z_0$为顶点的小三角形，经过$f(z)$映射后成为一曲边三角形，它们的微分三角形是相似的。

上述两个性质加在一起， 称为共形性。所以称在$D$上的全纯映射为共形映射（若$f'(z)\neq0$），后面要详细讨论之。

复积分

复形式的Gauss公式

$d\bar z\wedge dz=（dx-\mathrm{i}\, dy)\wedge (dx+\mathrm{i}\, dy)=2\mathrm{i}\, dx\wedge dy=2\mathrm{i}\, dA$

这里$dA$为二维面积元素。

定理2：若$\omega=\omega_1dz+\omega_2d\bar z$为域$\varOmega$上的一次外微分形式，

$\int_{\partial\varOmega}\omega=\iint_\varOmega d\omega$

该式在高维复欧氏空间也成立，在流形上也成立，所以这是一般情形的特例这个一般形式也叫做Stokes公式
该式也是下章的出发点之一

复数级数

如同原来一样，可以证明：
一个一致收敛的连续函数序列，其极限函数本身也是连续的。
Cauchy判别准则
Weierstrass判别法
Abel定理（幂级数，Hadamard公式）

如果$f(z）$具有一个幂级数展开式，那么它被唯一确定
下一章中会有：每一个全纯函数都具有一个Taylor展开式

定理4：函数项级数每一项在集合$A$上连续，且级数在$A$上一致收敛到$f(z)$，则$f(z)$在$A$上连续；
${f_n(z)}$在可求长曲线$\gamma$上连续，且$\sum f_n(z)$在$\gamma$上一致收敛到$f(z)$，则$\int_\gamma f(z)dz=\sum\int_\gamma f_n(z)dz$

初等函数

如果将$w=f(z)$看做由$z$平面上一个区域到$w$平面上一个区域的映射，映射称为单叶的，如果映射是一对一的。