回顾微积分
微积分
复变函数论是在复数域上讨论微积分。一部分可以没有多大难度地直接推广得到，而另一部分是在原来实数域理论中所没有的。前一部分当然重要，但人们兴趣往往更集中在后一部分，因为常常真正刻画了事物的本质。
微积分由三部分组成，即微分、积分、以及联系它们称为一对矛盾的微积分基本定理，即Newton-Leibniz公式。
微积分基本定理（微分形式）：f(x)连续于[a,b]，x\in[a,b]，则\Phi(x)=\int_a^xf(t)dt在此闭区间可微，
\Phi'(x)=f(x),\quad i.e.\quad d\Phi(x)=f(x)dx
即是说，若f(x)的积分是\Phi(x)，则\Phi(x)的微分就是f(x)dx
微积分基本定理（积分形式）：[a,b]上\frac{\Phi(x)}{dx}=f(x)连续，那么
\int_a^xf(t)dt=\Phi(x)-\Phi(a)
即是说，若\Phi(x)的微分是f(x)dx，则f(x)的积分就是\Phi(x)
高维微积分
也有相应三个部分。高维情形下，第三部分由Green公式、Stokes公式及Gauss公式刻画。
Green公式：D为平面封闭曲线L围成的封闭图形，P(x,y),Q(x,y)在D上有一阶连续偏导，则
\oint_LPdx+Qdy=\iint\limits_D\Big(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Big)dx\, dy
Stokes公式：空间曲面\varSigma边界是封闭曲线L，P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)有一阶连续偏导，
\oint_LPdx+Qdy+Rdz=\iint\limits_\varSigma\Big(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}\Big)dy\, dz+\Big(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}\Big)dz\, dx+\Big(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Big)dx\, dy
Gauss公式：V是空间封闭曲面\varSigma所围成的闭区域，P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)有一阶连续偏导，
\int\limits_\varSigma Pdy\, dz+Qdz\, dx+Rdx\, dy=\iiint\limits_V\Big(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\Big)dx\, dy\, dz
都刻画了在边界上积分与在内部积分的关系，如果用外微分形式，那么可以统一成一个公式，称为Stokes公式。
\int_{\partial\varSigma}\omega=\int_\varSigma d\omega
这个公式不仅对三维欧氏空间成立，而且对任意高维的也成立，不仅如此，对于更一般的微分流形也是成立的，所以它是高维空间的微积分的基本定理，是微积分的顶峰与终点。
复数域、扩充复平面及其球面表示
要对扩充复数平面做个几何模型，在这个模型上一切扩充平面上的点都有一个具体的表示，这就是球面表示， 它是通过球极平面投影(stereographic projection) 得到的。
考察一三维空间的单位球面S^2:\, x_1^2+x_2^2+x_3^2=1，其上除了(0,0,1)外，可用复数
z=\frac{x_1+\mathrm{i}x_2}{1-x_3}
与之对应，这个对应是一对一的。令无穷远点对应于(0,0,1)，就完成了S^2上的点与扩充复数平面\mathbb{C}^*上的点的一对一的对应，这球面称为Riemann球面。
x_3<0的半球面对应单位圆盘|z|<1，x_3>0的半球面对应单位圆盘的外部|z|>1，等等。
如复平面为以x_1轴为实轴， x_2轴为虚轴的平面，则上式有明确的几何意义。
取z=x+\mathrm{i}y，点(x,y,0),(x_1,x_2,x_3),(0,0,1)在一条直线上。因此，这个对应实际上是以(0,0,1)为中心的中心投影，将S^2上的点投影到\mathbb{C}^*上，称这个投影为球极平面投影。在球面表示中，无穷远点不再有任何特殊了。
复微分
简单曲线，或称Jordan曲线；简单闭曲线或Jordan闭曲线
下面的事实是直观的，但证起来却很复杂，故述而不证。
Jordan定理：一条简单闭曲线\gamma把复平面分成两个域，其中一个是有界的，称为\gamma的内部，另一个是无界的，称为\gamma的外部，\gamma是这两个域的共同边界。
Heine-Borel定理：若A为紧集， G为A的开覆盖，则从G中可以选出有限个开集覆盖A
Bolzano-Weierstrass定理：任一无穷集至少有一极限点
称f(z)为其定义域上的解析函数(analytic function)或全纯函数(holomorphic function)，如果f(z)在其定义域上每一点都可微
复微商终究是在复平面上进行，所以这里有一些特殊的地方。
f(z)=u(z)+\mathrm{i}\, v(z)=u(x,y)+\mathrm{i}\, v(x,y)在z_0=x_0+\mathrm{i}\, y_0可微，则\lim (f(z)-f(z_0)/(z-z_0)对任意z\to z_0都存在且相等，考察沿平行坐标轴的方向：
z=x+\mathrm{i}\, y_0,\, x\to x_0，则f'(z_0)=\frac{\partial u}{\partial x}+\mathrm{i}\frac{\partial v}{\partial x}；z=x_0+\mathrm{i}\, y,\, y\to y_0，则f'(z_0)=\frac{\partial v}{\partial y}-\mathrm{i}\frac{\partial u}{\partial y}
得到Cauchy-Riemann方程：
\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y},\, \frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}\\\frac{\partial f}{\partial x}=-\mathrm{i}\, \frac{\partial f}{\partial y}
是在一点可微的必要条件而非充分条件。
定理1：函数f(z)=u+\mathrm{i}\, v在某域内全纯的充要条件为：u,v有一阶连续偏导，且满足C-R方程
下一章会有：f(z)=u+\mathrm{i}\, v全纯，则f'(z)全纯，所以u,v二阶混合偏导数相等，由C-R方程，\frac{\partial^2u}{\partial x^2}=\frac{\partial ^2v}{\partial x\partial y},\, \frac{\partial^2u}{\partial y^2}=-\frac{\partial ^2v}{\partial y\partial x}，因此
\frac{\partial^2u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2u}{\partial y^2}=0,\, \mathrm{similarly},\, \frac{\partial^2v}{\partial x^2}+\frac{\partial^2v}{\partial y^2}=0\\
\Delta u=\Delta v=0
即全纯函数的实部与虚部均为调和函数。
引入两个重要的偏微分算子：
\frac{\partial }{\partial z}=\frac12\left(\frac{\partial }{\partial x}-\mathrm{i}\, \frac{\partial }{\partial y}\right),\, \frac{\partial }{\partial \bar z}=\frac12\left(\frac{\partial }{\partial x}+\mathrm{i}\, \frac{\partial }{\partial y}\right)
则偏导连续的函数是全纯的当且仅当
\frac{\partial f}{\partial \bar z}=0\Leftrightarrow \frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial f}{\partial z}
Nabla算子可写成\Delta=4\frac{\partial }{\partial z}\frac{\partial }{\partial\bar z}=4\frac{\partial }{\partial\bar z}\frac{\partial }{\partial z}
有df=\frac{\partial f}{\partial z}dz+\frac{\partial f}{\partial\bar z}d\bar z:=\partial f+\bar\partial f，于是
d=\partial+\bar\partial
共形性
设f(z)在域D内全纯，z_0为该域内导数不为0的点，过该点的任两条光滑曲线\gamma_1(t),\gamma_2(t)在f(z)映射下的像分别是过点w_0=f(z_0)的光滑曲线\sigma_1(t),\sigma_2(t)，\gamma_1(t)与\gamma_2(t)在点z_0处的夹角等于\sigma_1(t),\sigma_2(t)在点w_0=f(z_0)处的夹角，也就是说在映射w=f(z)之下，在导数不为零的点处，两条光滑曲线的夹角的大小及旋转方向是保持不变的，此为f(z)在z_0处的保角性。
另一方面，由导数定义，像点之间的距离与原来两点之间的距离之比的极限与曲线无关，称|f'(z_0)|为f(z)在点z_0处的伸长度。
因此，任意一个以z_0为顶点的小三角形，经过f(z)映射后成为一曲边三角形，它们的微分三角形是相似的。
上述两个性质加在一起， 称为共形性。所以称在D上的全纯映射为共形映射（若f'(z)\neq0），后面要详细讨论之。
复积分
复形式的Gauss公式
d\bar z\wedge dz=（dx-\mathrm{i}\, dy)\wedge (dx+\mathrm{i}\, dy)=2\mathrm{i}\, dx\wedge dy=2\mathrm{i}\, dA
这里dA为二维面积元素。
定理2：若\omega=\omega_1dz+\omega_2d\bar z为域\varOmega上的一次外微分形式，
\int_{\partial\varOmega}\omega=\iint_\varOmega d\omega
该式在高维复欧氏空间也成立，在流形上也成立，所以这是一般情形的特例这个一般形式也叫做Stokes公式
该式也是下章的出发点之一
复数级数
如同原来一样，可以证明：
一个一致收敛的连续函数序列，其极限函数本身也是连续的。
Cauchy判别准则
Weierstrass判别法
Abel定理（幂级数，Hadamard公式）
如果f(z）具有一个幂级数展开式，那么它被唯一确定
下一章中会有：每一个全纯函数都具有一个Taylor展开式
定理4：函数项级数每一项在集合A上连续，且级数在A上一致收敛到f(z)，则f(z)在A上连续；
{f_n(z)}在可求长曲线\gamma上连续，且\sum f_n(z)在\gamma上一致收敛到f(z)，则\int_\gamma f(z)dz=\sum\int_\gamma f_n(z)dz
初等函数
如果将w=f(z)看做由z平面上一个区域到w平面上一个区域的映射，映射称为单叶的，如果映射是一对一的。
发表回复