第一章：代数学的经典课题 1. 引言 代数学历史悠久，并且看似简单，实则蕴含着丰富而深奥的知识（Wiles与费马大定理）.
高等代数是其入门课程，它的任务是阐述代数学的一些基础知识、研究对象、基本思想和处理问题时特有的一套思想方法.
大致从两方面进入这个课题.
第一，从生产实践和科学理论中自然地产生求解代数方程的问题.Galois解决了长久来未解决的高次代数方程根的理论课题.Galois的工作中最值得注意的是，他不局限在数的四则运算内考察问题，而是跳出去考察根的某些置换所组成的集合.这给我们带来启示：为研讨数及其代数运算中包含的深刻规律，必须跳出其本身的条条框框，去研究更一般的集合及其应有的代数运算.
高等代数中不可能讲Galois的理论，但可以发现，考察线性方程组的问题也把我们引导到同样的领域中.这是着重要讨论的线性代数理论.
第二，考察\mathbf{Z},\, \mathbf{Z}内可以做加减乘法，除法却不总能进行，这就产生了\mathbf{Z}内的整除理论.考察全体多项式组成的集合，这个集合内可以做加减乘法，除法也不总能进行.于是又产生多项式集合内的整除理论.这两个例子集合元素不同，加减乘的具体内容不同，但它们满足相同的运算法则，而且这两个例子的理论研究课题所得结果惊人相似.
这启发我们，可以研究一个一般的集合，其元素可做加法（及逆运算减法）与乘法，同时这两种运算满足一定的运算法则，这就又归纳到前面的代数系统中来，殊途同归.
对于逆映射，f\circ f^{-1}和f^{-1}\circ f都为恒等映射时，才说f^{-1}是f的逆映射.因为有这两个要求，才有
3. 一元高次代数方程的基础知识
首先给出高等代数基本定理，可以推出n次代数方程的全部根在复数域\mathbf{C}内（为了求根，复数域已足够）.另外，没有比\mathbf{C}更大的数系了.
\sum_{1\leqslant k_1<\dots<k_i\leqslant n}\alpha_{k_1}\alpha_{k_2}\dots\alpha_{k_i}=(-1)^i\frac{a_i}{a_0}.
\end{equation*}
\prod_{i=1}^n (x-\alpha_i)=\sum_{i=0}^n(-1)^n\sigma_i(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n)x^{n-i}.
\end{equation*}
其中
\begin{equation*}
\sigma_i(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n)=\sum_{1\leqslant k_1<\dots<k_i\leqslant n}\alpha_{k_1}\alpha_{k_2}\dots\alpha_{k_i}.
\end{equation*}
特别地，对于\mathbf{R}上n次代数方程，有
由此可推出奇数次一元代数方程必有实根.
证:考虑x-a\, |\, f(x)-f(a),\, f(x)-f(a)里每个k次项都有x-a\, |\, x^k-a^k.
因式分解：每个根用带余除法.
由因式分解后的式知，诸\alpha_i均是根，而其余数均不是根，故恰好n个根.
对定理theorem124，考察两多项式的差的多项式，如果是非零多项式，它最多\max\{m,n\}个根，但现在有\max\{m,n\}+1个根，矛盾.
引理lemma121可用归纳法逐步得出.再由多项式的恒等，得出定理theorem125.
4. 线性方程组
可以提出两方面问题：
第一，从理论上探讨：
- 什么时候有解/无解？
- 解的个数多少？
- 各解间的联系？
第二，解法？
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