线性变换的Jordan标准形

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第七章：线性变换的Jordan标准形 1. 总括 本章是线性代数中较为深入的内容. 对复数域上的n维线性空间完满解决了第四章第四节提出的问题，证明\mathbb{C}上n维线性空间内的任意线性变换的矩阵都可以化为一种最简形式——Jordan标准形. 这一理论为研究线性变换的各种问题提供了一个强有力的工具.

1. 本章不但内容是重要的，而且处理方法也是在代数学中具有典型性的. 在第一节，先用商空间的技巧解决了幂零矩阵的Jordan标准形问题，在第二节则使用空间分解的方法解决了一般线性变换的Jordan标准形问题. 应仔细体会这两种基本方法的运用，它们是代数学各领域普遍使用的一套处理问题的特有方法.
   
2. 本章结果虽然限制在复数域上线性空间成立，但在一般数域特别是实数域上线性空间内，也常常可以使用这些结果. 办法是取定一组基，把\boldsymbol{A}的问题转化为A的问题，然后把A看作复数域上矩阵，用A的Jordan标准形处理有关问题，再把结果返回到原数域. 在上一章第二节处理正交变换时已经使用了这种方法. 这也是代数学中普遍使用的一种方法，应给予足够重视.
   
3. 第三节是一个应用，进一步讨论Jordan标准形时，最小多项式起重要作用，但本纲要不使用这种方法来讨论Jordan标准形理论.

Contents
Contents
 1.  总括
 2.  幂零线性变换的Jordan标准形
   2.1.  循环不变子空间
   2.2.  幂零线性变换的Jordan标准形
 3.  一般线性变换的Jordan标准形
   3.1.  Jordan标准形的存在性
   3.2.  Jordan标准形的唯一性
 4.  最小多项式
   4.1.  方阵的化零多项式
   4.2.  方阵的最小多项式

2. 幂零线性变换的Jordan标准形

先从一类最简单的线性变换入手，然后指出：任意线性变换可以归结为此类线性变换，从而解决问题.

一个线性变换的特征值和特征向量对研究该变换有重要意义，所以先看幂零线性变换的特征值.

对\mathbb{C}^n中的非零X _ 0，AX _ 0=\lambda _ 0X _ 0,\, A^mX _ 0=\lambda _ 0^mX _ 0，故\lambda _ 0=0，即f(\lambda)在\mathbb{C}内n个根都是0，所以f(\lambda)=\lambda^n.
2.1. 循环不变子空间 对幂零线性变换，任取一非零向量\alpha，存在正整数k使\boldsymbol{A}^k\alpha=0,\, \boldsymbol{A}^{k-1}\alpha\neq0. 那么，向量组\alpha,\boldsymbol{A}\alpha,\dots,\boldsymbol{A}^{k-1}\alpha线性无关（设
a _ 0\alpha+a _ 1\boldsymbol{A}\alpha+\dots+a _ {k-1}\boldsymbol{A}^{k-1}\alpha=0，两边逐次以\boldsymbol{A}作用，可分别得出从左到右每个系数都是0）. I(\alpha)=L(\alpha,\boldsymbol{A}\alpha,\dots,\boldsymbol{A}^{k-1}\alpha)是维数为k的不变子空间，称之为\boldsymbol{A}的循环不变子空间，在基\boldsymbol{A}^{k-1}\alpha,\dots,\boldsymbol{A}\alpha,\alpha下，\boldsymbol{A}限制在I(\alpha)下矩阵为
\[
J=
\begin{bmatrix}
0 & 1 & & \\
& 0 & \ddots & \\
& & \ddots & 1 \\
& & & 0
\end{bmatrix}.
\]
反过来，一个不变子空间的一组基\varepsilon _ 1,\dots,\varepsilon _ k使\boldsymbol{A}限制在其下的矩阵为J时，那么可以推出M是由\varepsilon _ k生成的循环不变子空间.

要得到存在一组基使{幂零}线性变换在其下的矩阵为Jordan形矩阵，先要有一个基本事实：

本段均以M=V _ {\lambda _ 0}记\boldsymbol{A}的唯一特征值\lambda _ 0=0对应的特征子空间. 任一\alpha\in M,\, \boldsymbol{A}\alpha=0.

若\boldsymbol{A}^{n-1}\neq0,\, \boldsymbol{A}^n=0，则\boldsymbol{A}称为循环幂零线性变换. 此时存在\alpha使
\boldsymbol{A}^{n-1}\alpha\neq0，\boldsymbol{A}^{n-1}\alpha,\dots,\boldsymbol{A}\alpha,\alpha就成为V的一组基，在这组基下的矩阵为上文的J，这组基称为循环基.

由于对任意n阶矩阵A，E _ {i,i+1}A结果效果为将A的第i+1行上移覆盖掉第i行再将除i行外的所有行置为0，而J=\sum E _ {i,i+1}，故JA结果为把该方阵每行向上移一行，原第一行舍弃，最后一行置为0. 于是J^k相当于单位矩阵的1都往右上移k次.

证明：对定理theorem712，设\boldsymbol{A}在某组基下的矩阵成Jordan形，由定理4.4.8，V可分解为不变子空间的直和：V=M _ 1\oplus\dots\oplus M _ s，且在M _ i内存在一组基\varepsilon _ {i1},\dots,\varepsilon _ {in _ i}，\boldsymbol{A}| _ {M _ i}在其下的矩阵为上文J的形式的n _ i阶方阵，于是M _ i=I(\varepsilon _ {in _ i})，V=I(\varepsilon _ {1n _ 1})\oplus\dots\oplus I(\varepsilon _ {sn _ s}). 反过来，如果有
V=I(\alpha _ 1)\oplus I(\alpha _ 2)\oplus\dots\oplus I(\alpha _ s)，在每个I(\alpha _ i)内取一组基
\boldsymbol{A}^{n _ i-1}\alpha _ i,\dots,\boldsymbol{A}\alpha _ i,\alpha _ i，则它们合并成为V的一组基，在此组基下\boldsymbol{A}的矩阵就成Jordan形.

定理theorem713：I(\overline{\alpha})=L(\overline{\alpha},
\boldsymbol{A}\overline{\alpha},\dots,\boldsymbol{A}^{k-1}\overline{\alpha}). \boldsymbol{A}^k\overline{\alpha}=\overline{0}，
则\overline{\boldsymbol{A}^k\alpha}=\overline{0}，\boldsymbol{A}^k\alpha\in M，从而\boldsymbol{A}(\boldsymbol{A}^k\alpha)=0，
而\boldsymbol{A}^k\alpha\neq0，否则\boldsymbol{A}^{k-1}\alpha\in M，那么
\boldsymbol{A}^{k-1}\overline{\alpha}=\overline{\boldsymbol{A}^{k-1}\alpha}=\overline{0}，与I(\overline{\alpha})的假设矛盾.

定理theorem714：由定理theorem712，只需要证明V可分解为\boldsymbol{A}的循环不变子空间的直和就可以了. 为此对n作归纳法. n=1时，取基\varepsilon，必有\boldsymbol{A}\varepsilon=\lambda _ 0\varepsilon，此时\lambda _ 0作为特征值只能为0，故\boldsymbol{A}的矩阵为一阶零矩阵，为Jordan形矩阵.

假设命题当维数小于n时成立，则当维数等于n时，若\boldsymbol{A}=0，则显然成立，若\boldsymbol{A}\neq0，M=V _ {\lambda _ 0}的维数至少为1，故
\dim\overline{V}=\dim V-\dim M<n. \boldsymbol{A}在\overline{V}内诱导变换仍是\overline{V}内幂零线性变换，按归纳假设，
\overline{V}=I(\overline{\alpha} _ 1)\oplus\dots\oplus I(\overline{\alpha} _ s)，其中\dim I(\overline{\alpha} _ i)=k _ i，根据上一定理，I(\alpha _ i)为k _ i+1维循环不变子空间：I(\alpha _ i)=L(\alpha _ i,\boldsymbol{A}\alpha _ i,\dots,\boldsymbol{A}^{k _ i}\alpha _ i). 对M内向量组\boldsymbol{A}^{k _ 1}\alpha _ 1,\dots,\boldsymbol{A}^{k _ s}\alpha _ s，先证它们线性无关，再将其拓充为M的一组基：
\boldsymbol{A}^{k _ 1}\alpha _ 1,\dots,\boldsymbol{A}^{k _ s}\alpha _ s,\beta _ 1,\dots,\beta _ s，证V=I(\alpha _ 1)\oplus\dots\oplus I(\alpha _ s)\oplus I(\beta _ 1)\oplus\dots\oplus I(\beta _ s).

（1）若a _ 1\boldsymbol{A}^{k _ 1}\alpha _ 1+\dots+a _ s\boldsymbol{A}^{k _ s}\alpha _ s=0，因k _ i\in\mathbb{N}^\ast，有
\boldsymbol{A}(a _ 1\boldsymbol{A}^{k _ 1-1}\alpha _ 1+\dots+a _ s\boldsymbol{A}^{k _ s-1}\alpha _ s)=0，表明
a _ 1\boldsymbol{A}^{k _ 1-1}\alpha _ 1+\dots+a _ s\boldsymbol{A}^{k _ s-1}\alpha _ s\in M，故a _ 1\boldsymbol{A}^{k _ 1-1}\overline{\alpha} _ 1+\dots+a _ s\boldsymbol{A}^{k _ s-1}\overline{\alpha} _ s=\overline{0}. 而
\boldsymbol{A}^{k _ i-1}\overline{\alpha} _ i为I(\overline{\alpha} _ i)的基向量之一，不为\overline{0}，且
I(\overline{\alpha} _ 1)+\dots+ I(\overline{\alpha} _ s)为直和，所以只能a _ i=0.

（2）扩充为\boldsymbol{A}^{k _ 1}\alpha _ 1,\dots,\boldsymbol{A}^{k _ s}\alpha _ s,\beta _ 1,\dots,\beta _ s后，令
N=L(\beta _ 1,\dots,\beta _ s)，证V=I(\alpha _ 1)\oplus\dots\oplus I(\alpha _ s)\oplus N. 首先证直和，即零向量表法为一，
\begin{align*}
0&=\beta^\prime _ 1+\dots+\beta^\prime _ s+n,\quad \beta^\prime _ i\in I(\alpha _ i),\, n\in N, \\
\overline{0}&=\overline{\beta}^\prime _ 1+\dots+\overline{\beta}^\prime _ s,\phantom{\; +n}\quad
\overline{\beta}^\prime _ i\in I(\overline{\alpha} _ i),\, \overline{n}=\overline{0},
\end{align*}
于是\overline{\beta} _ i=\overline{0}，可以证明\beta _ i=b _ i\boldsymbol{A}^{k _ i}\alpha _ i.\,代回原式得
\[0=b _ 1\boldsymbol{A}^{k _ 1}\alpha _ 1+\dots+b _ s\boldsymbol{A}^{k _ s}\alpha _ s+c _ 1\beta _ 1+\dots+c _ t\beta _ t,\]
\boldsymbol{A}^{k _ 1}\alpha _ 1,\dots,\boldsymbol{A}^{k _ s}\alpha _ s,\beta _ 1,\dots,\beta _ s是M的一组基，故b _ i\equiv c _ i\equiv0，于是\beta^\prime _ i=n=0，即零向量表法为一.
\begin{align*}
& \phantom{=}\mathrel{}\dim\, (I(\alpha _ 1)\oplus\dots\oplus I(\alpha _ s)\oplus N) \\
& =\sum\dim I(\alpha _ i)+\dim N=\sum (k _ i+1)+t \\
& =\sum k _ i +s+t=\sum\dim I(\overline{\alpha} _ i)+\dim M \\
& =\dim V/M+\dim M=\dim V.
\end{align*}
于是V=I(\alpha _ 1)\oplus\dots\oplus I(\alpha _ s)\oplus N=I(\alpha _ 1)\oplus\dots\oplus I(\alpha _ s)\oplus I(\beta _ 1)\oplus\dots\oplus I(\beta _ s).\, (这里是因为I(\beta _ i)=L(\beta _ i))，这就把V分解为\boldsymbol{A}的循环不变子空间的直和.
3. 一般线性变换的Jordan标准形 3.1. Jordan标准形的存在性 首先对任意数域K上的n维线性空间V内的线性变换\boldsymbol{A}作一些讨论. 根据上一节对幂零线性变换所得到的结果，

令\boldsymbol{B}=\boldsymbol{A}-\lambda _ 0\boldsymbol{E}，定义V中两串子空间序列：
\begin{align*}
& M _ 0=\{0\},\; M _ i=\ker\boldsymbol{B} _ i,\quad i=1,2,\dots \\
& N _ 0=V,\; N _ i=\operatorname{im}\boldsymbol{B} _ i,\quad i=1,2,\dots .
\end{align*}
有如下事实：

1. M _ i,N _ i有如下包含关系：
   \[\{0\}=M _ {0} \subseteq M _ {1} \subseteq M _ {2} \subseteq \cdots ; \quad V=N _ {0} \supseteq N _ {1} \supseteq N _ {2} \supseteq \cdots\]
   
2. 维数满足
   \[\dim M _ i+\dim N _ i=n.\]
   
3. \lambda _ 0是\boldsymbol{A}的一个特征值，因而M _ 1非空，\dim M _ 0=0<\dim M _ 1，另一方面\dim M _ i\leqslant\dim V=n，故必存在最小正整数k使\dim M _ k=\dim M _ {k+1}，从而必有M _ k=M _ {k+1}，且M _ 0,\dots, M _ k维数严格递增，还有
   \begin{gather*}
   M _ {0} \subsetneqq M _ {1} \subsetneqq \cdots \subsetneqq M _ {k}=M _ {k+1}=M _ {k+2}=\cdots, \\
   N _ {0} \supsetneqq N _ {1} \supsetneqq \cdots \supsetneqq N _ {k}=N _ {k+1}=N _ {k+2}=\cdots.
   \end{gather*}
   
4. 对上述k，有V=M _ k\oplus N _ k，且M _ k,N _ k均是\boldsymbol{A}的不变子空间.

第4点，直和只需要M _ k\cap N _ k=\{0\}，任取元素\alpha，\alpha\in M _ k\Rightarrow\boldsymbol{B}^k\alpha=0，\alpha\in N _ k\Rightarrow\alpha=\boldsymbol{B}^k\beta，于是\boldsymbol{B}^{2k}\beta=0,\, \beta\in M _ {2k}=M _ k,\, \alpha=\boldsymbol{B}^k\beta=0；对不变子空间，注意到\boldsymbol{A},\boldsymbol{B}可交换，对\alpha\in M _ i,\, \boldsymbol{B}^{i}\boldsymbol{A} \alpha=\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}^{i} \alpha=0，这表明\boldsymbol{A}\alpha\in M _ i，即M _ i在\boldsymbol{A}下不变. 对\alpha\in N _ i,\, \boldsymbol{A}\alpha=\boldsymbol{AB}^i\beta=\boldsymbol{B}^i\boldsymbol{A}\beta\in N _ i，故N _ i也是\boldsymbol{A}的不变子空间.

现在V分解为两不变子空间直和：V=M _ k\oplus N _ k，而\boldsymbol{B}=\boldsymbol{A}-\lambda _ 0\boldsymbol{E}限制在M _ k=\ker \boldsymbol{B}^k内为幂零线性变换，根据命题prop221，在M _ i内存在一组基，使\boldsymbol{A}| _ {M _ k}的矩阵成Jordan标准形，注意\dim M _ k\leqslant \dim M _ 1>0\Rightarrow\dim N _ k<n，就可以用数学归纳法来处理问题了.

定理要求特征多项式的根全属于K，这个条件对K为复数域时总是成立的. 所以对复数域上的n维线性空间V中的任一线性变换\boldsymbol{A}，必定可在V中找出一组基，使\boldsymbol{A}的矩阵成Jordan形；而对一般数域K，则未必能做到这一点.
3.2. Jordan标准形的唯一性 可以证明：线性变换的Jordan标准形，除了其主对角线上Jordan块的排列次序可以不同外，是唯一确定的.

根据该定理，的任一Jordan形J中以\lambda _ 0为特征值的l阶Jordan块的个数由子空间序列M _ {0} \subset M _ {1} \subset M _ {2} \subset \cdots唯一决定，与基的选取无关，故有

证明：设
\[
J=\begin{bmatrix}
J _ 1 & & & \\
& J _ 2 & & \\
& & \ddots & \\
& & & J _ s
\end{bmatrix},\quad
J _ i=\begin{bmatrix}
\lambda _ i & 1 & & \\
& \lambda _ i & \ddots & \\
& & \ddots & 1 \\
& & & \lambda _ i
\end{bmatrix} _ {n _ i\times n _ i}.
\]
于是
\[r((J-\lambda _ 0E)^l)=r((J _ 1-\lambda _ 0E)^l)+\dots+r((J _ s-\lambda _ 0E)^l).\]

若\lambda _ i\neq\lambda _ 0，则r((J _ i-\lambda _ 0E)^l)=n _ i.

若\lambda _ i=\lambda _ 0，则r((J _ i-\lambda _ 0E)^l)=n _ i-l，当l<n _ i；r((J _ i-\lambda _ 0E)^l)=0，当l\geqslant n _ i.

因此有
\[r(\left(J _ {i}-\lambda _ {0} E\right)^{l})-r(\left(J _ {i}-\lambda _ {0} E\right)^{l+1})=
\begin{cases}
0,& \lambda _ i\neq \lambda _ 0,\\
0,& \lambda _ i=\lambda _ 0,\, l\geqslant n _ i,\\
1,& \lambda _ i=\lambda _ 0,\, l< n _ i.
\end{cases}\]
因而
\begin{align*}
r((J-\lambda _ {0} E)^{l})-r((J-\lambda _ {0} E)^{l+1})&= \sum _ {i=1}^{s}\left(r((J _ i-\lambda _ {0} E)^{l})-r((J _ i-\lambda _ {0} E)^{l+1})\right) \\
& =J\, \text{中以 }\lambda _ 0\text{ 为特征值而阶数比 }l\text{ 大的Jordan块的个数}.
\end{align*}
于是r(I^{l-1})+r(I^{l+1})-2r(I^l)等于J中 以\lambda _ 0为特征值的l阶Jordan块的个数. 命题prop222代入此处即得本定理.
4. 最小多项式 本节阐述线性变换或矩阵研究中使用多项式的一种重要方法.
4.1. 方阵的化零多项式

此定理就是定理4.4.12，但在这里可以用Jordan标准形来轻易得到.

这个定理还说明：一个n阶方阵必有一个首项系数为1的n次化零多项式. 它表明在K上n^2维线性空间M _ n(K)内，A^n可由下面向量组线性表示：E,A,\dots,A^{n-1}. 在这向量组中，是否还有某A^k可以被前面向量线性表示呢？下面讨论这个问题.
4.2. 方阵的最小多项式 如果\varphi(x)是A的最小多项式，那么：系数属于数域K、首项系数为1、\varphi(A)=0、化零多项式的次数大于等于它的次数. 显然，方阵A的最小多项式是存在的，但它是不是唯一的？如何求出最小多项式？这就是下面要讨论的.

这个定理说明，A在K内的任一最小多项式也是在\mathbb{C}内的最小多项式，所以只要把A看作复数域上的方阵决定出它在\mathbb{C}内所有最小多项式，那么A在K内的最小多项式也在其中了.

注意在上述定理中\lambda _ 1,\dots,\lambda _ k未必都属于K，但\varphi(x)的所有系数都在K内.

数域K上一个n阶方阵A，如果其最小多项式无重根，则称为半单矩阵. 一个线性变换在一组基下的矩阵半单时，称为半单线性变换. 因此，A是半单线性变换等价于其最小多项式无重根. 此推论用线性变换的语言来说，就是：

最小多项式也可以不用Jordan标准形来计算. 设A的最小多项式为
\[\varphi(x)=x^{m}+a _ {1} x^{m-1}+\cdots+a _ {m-1} x+a _ {m} \quad\left(a _ {i} \in K\right).\]
因\varphi(A)=0，故
\[A^{m}=-a _ {1} A^{m-1}-\cdots-a _ {m-1} A-a _ {m} E.\]
不难得知，此时在K上线性空间M _ n(K)内，A _ {m-1},\dots,A,E必线性无关. 现在只需考查M _ n(K)内向量组E,A,A^2,\dots，自左至右逐次检查，找出最小正整数m，使A _ m能被E,A,A^2,\dots,A _ {m-1}线性表示，表出式即可写为最小多项式.

证明：对定理theorem231，设g(x)在\mathbb{C}内分解为
\[g(x)=a _ {0}\left(x-\mu _ {1}\right)^{e _ {1}}\left(x-\mu _ {2}\right)^{e _ {2}} \ldots\left(x-\mu _ {k}\right)^{e _ {k}}.\]
其中\mu _ i两两不同，于是
\[g(J)=a _ {0}\left(J-\mu _ {1} E\right)^{e _ {1}}\left(J-\mu _ {2} E\right)^{e _ {2}} \cdots\left(J-\mu _ {k} E\right)^{e _ {k}}.\]
上式右边因子两两可互换，而
\[(J-\mu _ i E)^{e _ i}=\begin{bmatrix}
\lambda _ 0-\mu _ i & 1 & & \\
& \lambda _ 0-\mu _ i & \ddots & \\
& & \ddots & 1 \\
& & & \lambda _ 0-\mu _ i
\end{bmatrix}^{e _ i}.\]
当\lambda _ 0\neq\mu _ i，此方阵可逆，在等式g(J)=0中，可逆因子均可约去，故g(J)=0充要条件是有\mu _ i=\lambda _ 0，且e _ i\geqslant n.

对定理theorem232，有\mathbb{C}上可逆方阵T使T^{-1}AT=J\Rightarrow J^k=T^{-1}A^kT，立知f(J)=T^{-1}f(A)T，故f(A)=0当且仅当f(J)=0.
\[f(\lambda)=|\lambda E-A|=|\lambda E-J|=\left(\lambda-\lambda _ {1}\right)^{n _ {1}}\left(\lambda-\lambda _ {2}\right)^{n _ {2}} \cdots\left(\lambda-\lambda _ {s}\right)^{n _ {s}},\]
因\lambda _ i中可有相同的，故每个\lambda _ i的重数大于等于Jordan块的阶数n _ i，现在f(J)=\operatorname{diag}(f(J _ 1),\dots,f(J _ s))，对每个J _ i，利用定理theorem231，知f(J _ i)=0.

对定理theorem233，\varphi(x)也是在\mathbb{C}内的化零多项式，从而次数应大于等于\psi(x)的次数. 反之，将\psi(x)的系数看作未知量，\psi(A)=0表明众系数是n^2个m+1元（m为\psi(x)次数）线性方程组的解，利用命题prop231，就得到了次数小于等于m的K上的化零多项式，其次数大于等于\varphi(x)的次数，故\psi(x)次数大于等于\varphi(x)次数. 综合即证.

对定理theorem234，从上面可以看出g(A)=0\Leftrightarrow g(J)=0，只需找出J的所有最小多项式. 设g(x)为首项系数为1的化零多项式，此条件等价于g(J _ i)=0,\, i=1,2,\dots,s，按定理theorem231，又等价于\lambda _ i为g(x)零点且重数大于等于J _ i的阶. 设全部不同特征值为\lambda _ 1,\dots,\lambda _ k，以\lambda _ i为特征值的Jordan块最高阶数为l _ i，则在\mathbb{C}内g(x)应表为
\[g(x)=\left(x-\lambda _ {1}\right)^{e _ {1}}\left(x-\lambda _ {2}\right)^{e _ {2}} \cdots\left(x-\lambda _ {k}\right)^{e _ {k}}\left(x-\mu _ {1}\right)^{f _ {1} \cdots}\left(x-\mu _ {t}\right)^{f _ {t}},\]
其中\lambda _ i,\mu _ j全不同，且e _ i\geqslant l _ i\, (i=1,\dots,k). 反之，若g(x)满足上述条件，可知g(J _ i)=0，故J最小多项式为
\[\varphi(x)=\left(x-\lambda _ {1}\right)^{l _ {1}}\left(x-\lambda _ {2}\right)^{l _ {2}} \cdots\left(x-\lambda _ {k}\right)^{l _ {k}}.\]
这表明J的最小多项式是唯一的，从而A在K内的最小多项式也是唯一的，它就是上面写出的\varphi(x).