天地有正气，杂然赋流形。
如果说“流数”是历史上牛顿所指的数的微积分，那么“流形”自然应该指形的微积分。微分流形正是现代数学中几何学的基本研究对象，不仅在几何、拓扑等纯数领域中非常重要，在应用数学和理论物理中也有十分广泛的应用。事实上，我自己学习流形理论的动机就是出于物理上的原因。
古典微分几何研究的是Euclid空间中的曲线和曲面，大致指Cartan之前的微分几何，但到现在已经完全淘汰了。古典理论中，曲线和曲面用传统的外蕴(extrinsic)方法进行研究，例如说，曲面是放在三维空间里的一个几何对象。现代方法则更多是用内蕴(intrinsic)方法研究，直接研究抽象的流形本身，不再需要周围的空间。例如在相对论中，时空是用一个四维流形来描述的，如果考虑将其放到更大的空间，既难以自然地解释，也不必要地将理论复杂化了。
粗略地说，流形就是可以在局部用Euclid空间描述的几何对象，这样在局部我们可以用坐标来认识流形。这正如在地球球面上的人，可以在每个局部都用一张小地图，这样整个地球面都能了然于胸。但值得注意的是，“坐标”这一事物本身只是一种辅助性描述的工具，引入坐标尤其让对手上问题大有简化的坐标，能方便我们进行计算，但流形本身是不配备坐标的。这样我们讨论流形上的对象，就需要它们独立于坐标的选择。一种方案是在局部坐标下定义对象，然后额外证明切换坐标系总会给出相同结果；另一种方案是采取一个本身独立于坐标的定义，我们绝大多数时候都采用这个方案。
主要内容
初入微分几何，应该划定哪些内容？微分流形理论比较全面细致的入门应该看John M. Lee的Introduction to Smooth Manifolds一书，也就是GTM218。但GTM218在内容极为丰富的同时，也给读者的阅读学习带来了不小的负担。因此这里的选材就主要聚焦于在应用上最为基本而重要的概念。
首先，明确了最基础的研究对象，光滑流形。在此基础上，可以定义流形上的光滑函数，以及流形间的光滑映射。
然后，在流形上的每一点都定义可供讨论的向量，也即切向量；切向量构成切空间，在切空间上我们可以定义流形间映射的微分。利用微分，就可以研究映射的局部性态，例如局部微分同胚、嵌入映射。进而可以考察一些（嵌入）子流形理论。
用切向量，我们可以构造向量场，然后考察可积曲线和流。如果考虑切空间的对偶空间，还可以有余切向量，进而有余切场。
余切场的推广是微分形式，同时也是函数的推广。函数的微分是余切场，那么推广到微分形式，就是微分形式的一种重要运算：外导数。外导数统一了向量分析里梯度、散度、旋度的概念。
利用微分形式，可以构建流形上的积分理论。我们对流形进行定向，然后考虑推广的流形——带边流形。这样就可以定义微分形式的积分。除了一些通用的常见积分性质，流形上的积分有一个极为重要的核心定理，Stokes定理，是微积分基本定理的高维推广。这里叙述的内容也到此为止。
一些说明
一般来说，流形理论的预备知识除了要求微积分和线性代数之外，还要求一些拓扑的知识（甚至一些讨论还会有抽象代数和微分方程），因此很多入门材料都会在前面回顾一点拓扑学。遗憾的是，（时间所限）行文没有对拓扑进行任何回顾，而将最基本的拓扑作为默认具备的前置；这或许是不太恰当的做法。但同时，与拓扑相关的讨论也会被刻意淡化，例如，流形的定义直接省略了在拓扑上的要求，只是作为额外说明被提及；不讨论流形的拓扑性质；证明一般的单位分解定理时要用到这些性质，自然也不作详细讨论了。
微分流形作为课程时，一般还会包含Lie群、Lie代数，甚至还可以包括一些De Rham理论、Riemann几何等。为了从简都没有讨论。
最后值得一提的是，既然是“几何”，可视化当然是有莫大裨益的。在论证时有个图示，更是让思路无比清晰。遗憾的是为求省事，没有画什么图。当然这是不恰当的做法。建议阅读时“胸中有丘壑”。