单位分解(Partition of unity)定理在数学中的重要性实在是非同一般，是非常实用的工具，很多地方都可以见到其身影。它让我们能够从局部过渡到整体。下面给出定理和证明。
定理
设\{U_\alpha\}_{\alpha\in I}是\mathbb{R}^n上的一族开集，令U=\bigcup_{\alpha\in I}U_\alpha，则存在一列实值函数\{\phi_j\}_{j=1}^\infty在U上“将单位分解”：
\sum_{j=1}^\infty\phi_j(\boldsymbol x)=1, \quad\boldsymbol x\in U,且同时符合如下限制：
- 每个\phi_j无穷次连续可微，且\phi_j的支集含于某U_\alpha，即
\begin{gathered}
\phi_j\in C^\infty(\mathbb R^n),
\\
\operatorname{supp}\phi_j=\overline{\{\boldsymbol x\mid \phi_j(\boldsymbol x)\neq0\}}\subset U_{\alpha}.
\end{gathered} - \{\phi_j\}_{j=1}^\infty“局部有限”，意即：对U的每个紧子集K，在K上除有限多个j外有\phi_j=0，或者说最多只有有限个j能使\phi_j在K上取非零值.
- 对每一j，都有
0\leqslant\phi_j\leqslant1.
由第(1)点可知，在U外，\sum\phi_j=0.
为给出证明，先证明几个引理。
引理1
对任一\mathbb R^n上的开集U，存在一列紧集\{K_i\}_{i=1}^\infty使得对每一i有
K_i\subset K_{i+1}^\circ,\quad\bigcup_{i=1}^\infty K_i=U.
证明：令K_i=\{\boldsymbol p\mid B(\boldsymbol p,\frac1i)\subset U,\, |\boldsymbol p|\leqslant i\}，下面验证此\{K_i\}_{i=1}^\infty满足条件。
首先，满足B(\boldsymbol p,\frac1i)\subset U的点\boldsymbol p构成一闭集（因为等价于d(\boldsymbol p,U^c)\geqslant\frac1i），半径为i的闭球是有界闭集，此二者之交当然是有界闭集，从而是紧集。
为证K_i\subset K_{i+1}^\circ，考虑验证K_i中的任一点\boldsymbol p是K_{i+1}的内点。设点\boldsymbol q\in B(\boldsymbol p,r)，我们证明r>0充分小时B(\boldsymbol q,\frac1{i+1})\subset U，|\boldsymbol q|\leqslant i+1，此即\boldsymbol q\in K_{i+1}，这说明\boldsymbol p是K_{i+1}内点。由|\boldsymbol q|\leqslant|\boldsymbol p|+|\boldsymbol{q-p}|<i+r\leqslant i+1，且对\boldsymbol q^\prime\in B(\boldsymbol q,\frac1{i+1})，|\boldsymbol{p-q^\prime}|\leqslant|\boldsymbol p-\boldsymbol q|+|\boldsymbol q-\boldsymbol q^\prime|<r+\frac1{i+1}\leqslant\frac1i，所以\boldsymbol q^\prime\in B(\boldsymbol p,\frac1i)\subset U，这就证明了K_i\subset K_{i+1}^\circ. （例如r可取\frac1{i(i+1)}）
最后，由K_i\subset U知\bigcup_i K_i\subset U，另一方面对任一\boldsymbol p\in U，显然i充分大时有\boldsymbol p\in K_i，这表明U\subset\bigcup_i K_i，综合即有\bigcup_{i=1}^\infty K_i=U.
引理2
存在至多可数个开球\{V_j\}_{i=1}^\infty，使得：
- U=\bigcup_jV_j;
- 对每一V_j，有相应的某个\alpha\in I使得\overline V_j\subset U_\alpha;
- 对每一紧集K\subset U，只有有限多个V_j与K相交，亦即除有限多个V_j外都有K\cap V_j=\varnothing. （局部有限覆盖）
证明：令\{K_i\}_{i=1}^\infty为引理1中构造的集列，L_0=K_1，L_i=K_{i+1}\backslash K^\circ_i\, (i\geqslant1)，我们有U=\bigcup L_i及L_i\cap K_{i-1}=\varnothing. （后者显然，前者则因为\bigcup L_i=\bigcup K_i）
对L_i的每一点\boldsymbol p，存在\alpha\in I使\boldsymbol p\in U_\alpha. 因为U_\alpha和K_{i-1}^c都是开集，所以存在\delta>0使得开球V_\boldsymbol{p}=B(\boldsymbol p,\delta)满足\overline V_\boldsymbol{p}\subset U_\alpha且V_\boldsymbol{p}\cap K_{i-1}=\varnothing.
因为L _ i是紧集，所以存在有限点集F _ i\subset L _ i使得L _ i\subset\bigcup _ {\boldsymbol p\in F _ i}V _ {\boldsymbol p}，于是我们得到：\{V _ \boldsymbol{p}\mid \boldsymbol p\in\bigcup _ {i=0}^\infty F _ i\}是一个至多可数的开球的集合，我们编号后记为\{V _ j\} _ {j=1}^\infty，从构造过程可知，它们满足了引理的前两个条件。
若K是U的紧子集，则不难推知存在m使K\subset K_m^\circ\subset K_m. 当i>m时，对\boldsymbol p\in F_i\subset L_i，由前面的讨论V_\boldsymbol{p}\cap K_m=\varnothing，我们可以得出，除有限多个j 外V_j\cap K=\varnothing.
注：此引理在证明单位分解定理中起核心作用。
引理3
令V=\{\boldsymbol{u}:|\boldsymbol{u-p}|<\delta\}为\mathbb R^n中的一个开球，则存在\mathbb R^n上C^\infty类的函数\psi，使得
\psi(\boldsymbol u)
\begin{cases}>0,&\boldsymbol u\in V,\\
=0,&\boldsymbol u\notin V.
\end{cases}
证明：考虑\mathbb R上的函数g：g(t)=\begin{cases}0,&t\leqslant0,\\e^{-1/t},&t>0.\end{cases} 则当t>0时g(t)>0，且可以证明g是C^\infty类的函数（此处略）。再令f(t)=g(1-t)，则f也是C^\infty类的函数，且对t\geqslant1，f(t)=0，对t<1，f(t)>0. 于是，令
\psi(\boldsymbol u)=f\left(\frac{|\boldsymbol{u-p}|^2}{\delta^2}\right).此\psi满足引理所需性质。
单位分解证明
令\{V_j\}_{j=1}^\infty为引理2中的一列开球。对每一j，令\psi_j为引理3中的函数，使：\psi_j是C^\infty类，在V_j外为零（V_j含于某U_\alpha的紧子集），在V_j内严格大于零。若N是一有界开集满足\overline N\subset U，由引理2，只有有限多个V_j与N相交，所以\psi=\sum_j\psi_j右端对每个自变量只有有限多项不为零，故该式定义了一个函数\psi，且在U上是C^\infty类。此外，\psi在U上处处大于零。我们令\phi_j=\psi_j/\psi，显然\{\phi_j\}满足所需性质。
推论
推论：令K为\mathbb R^n中一开集U的紧子集，则存在函数\phi\in C^\infty(\mathbb R^n)使得：在K上\phi=1，在U外\phi=0，在\mathbb R^n上总有0\leqslant\phi\leqslant1.
证明：因为U是U自身的开覆盖，可令\{\phi_j\}_{j=1}^\infty是U的单位分解，因为K是紧集，所以由单位分解的性质(2)可知J=\{j\mid\exists\boldsymbol u\in K,\, \text{s.t. }\phi_j(\boldsymbol u)\neq0\}是有限集，那么函数\phi=\sum_{j\in J}\phi_j满足所需性质。
变体：
设 K 是 \mathbb{R}^n 上的紧子集， \{V_\alpha\} 是 K 的开覆盖，则存在 \psi_1,\dots,\psi_s\in\mathcal{C}(\mathbb{R}^n) 使得：
- 0\leqslant\psi_i\leqslant1 ，当 1\leqslant i\leqslant s；
- 每一 \psi_i 的支集含于某 V_\alpha；
- \psi_1(\boldsymbol{x})+\dots+\psi_s(\boldsymbol{x})=1 对任意 \boldsymbol{x}\in K.
另证：对每一\boldsymbol{x}\in K，令指标\alpha(\boldsymbol{x}) 满足 \boldsymbol{x}\in V_{\alpha(\boldsymbol{x})}. 则存在开球 B(\boldsymbol{x}) 与 W(\boldsymbol{x})，中心为 \boldsymbol{x}, 满足 \overline{B(\boldsymbol{x})} \subset W(\boldsymbol{x}) \subset \overline{W(\boldsymbol{x})} \subset V_{\alpha(\boldsymbol{x})}.
因为K是紧集，所以存在有限多个K中的点 \boldsymbol{x} _ 1,\dots,\boldsymbol{x} _ s 使得 K\subset B(\boldsymbol{x} _ 1)\cup\dots\cup B(\boldsymbol{x} _ s). 那么，存在函数 \varphi _ 1\dots,\varphi _ s\in \mathcal{C}(\mathbb{R}^n)，使得在 B(\boldsymbol{x} _ i) 上 \varphi _ i(\boldsymbol{x})=1，在 W(\boldsymbol{x} _ i) 外 \varphi _ i(\boldsymbol{x})=0，且在\mathbb{R}^n上 0\leqslant\varphi _ i(\boldsymbol{x})\leqslant1. 令 \psi _ 1=\varphi _ 1，\psi _ {i+1}=(1-\varphi _ 1)\dots(1-\varphi _ i)\varphi _ {i+1} 对 i=1,\dots,s-1.
前两条性质显然。等式
\psi_{1}+\cdots+\psi_{i}=1-\left(1-\varphi_{1}\right) \cdots\left(1-\varphi_{i}\right)当 i=1 时显然。若对某 i<s 成立，将 \psi_{i+1} 与上式相加，得到上式在 i+1 时的情形，于是有
\sum_{i=1}^{s} \psi_{i}(\boldsymbol{x})=1-\prod_{i=1}^{s}\left[1-\varphi_{i}(\boldsymbol{x})\right] \quad\left(\boldsymbol{x} \in\mathbb R^{n}\right).若 \boldsymbol{x}\in K，则对某些i有 \boldsymbol{x}\in B(\boldsymbol{x}_i)，因而 \varphi_i(\boldsymbol{x})=1，于是上式的连乘积为 0. 这就证明了第三条性质。
这个“变体”是稍弱的版本，可见于Rudin的数学分析。当我们只需要考虑C(\mathbb R)时，函数的构造容易很多，于是就有了这个技巧性很强的证明。
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