第一章：集合
集合的概念与运算
略
集合间的映射、集合的基数
引理（集合在映射下的分解）：若有f:\, X\to Y，g:\, Y\to X，则存在分解
X=A\cup A^\sim,\, Y=B\cup B^\sim,\quad A\cap A^\sim=\varnothing,B\cap B^\sim=\varnothing,\\
f(A)=B,\quad g(B^\sim)=A^\sim.
定理1（Cantor-Bernstein定理）：若集合X与Y的某个真子集对等，Y与X的某个真子集对等，则X\sim Y.
定理2：任一无限集E必包含一个可列子集．
定理3：若A_1,A_2,\dots是可列集，则并集\bigcup A_n也是可列集。
定理4：设A是无限集且其基数为\alpha．若B是至多可列集，则A\cup B的基数仍为\alpha.
定理5：集合A为无限集的充分且必要条件是：A与某真子集对等．
定理6：[0,1]是不可数集。
定理7：设有集合列\{A_k\}．若每个A_k的基数都是连续基数，则其并集\bigcup A_k的基数是连续基数．
定理8（无最大基数定理）：若A是非空集合，则A与其幂集\mathscr{P}(A)（由A的一切子集所构成的集合族）不对等．
点集
\mathbb{R}^n中点与点之间的距离、点集的极限点
略
\mathbb{R}^n中的基本点集：开集、闭集
若A\subset B且\overline A=B，则称A在B中稠密，或称A是B的稠密子集．若E\subset \mathbb{R}^1且\overline E无内点，则称E是无处稠密集．
定理9：\mathbb{R}^1中的非空开集是可数个互不相交的开区间（这里也包括无穷集）的并集；\mathbb{R}^n中的非空开集G是可列个互不相交的半开闭方体的并集．
\mathbb{R}^n中的开集还有一个重要事实，即\mathbb{R}^n中存在由可列个开集构成的开集族\Gamma，使得\mathbb{R}^n中任一开集均是\Gamma中某些开集的并集．
引理：\mathbb{R}^n中点集E的任一开覆盖\Gamma都含有一个可数子覆盖．
Borel 集、点集上的连续函数
定义：设\Gamma是由集合X中一些子集所构成的集合族且满足下述条件：
- \varnothing\in\Gamma;
- 若A\in\Gamma，则A^c\in\Gamma;
- 若A_n\in\Gamma,\, n=1,2,\dots，则\bigcup A_n\in\Gamma,
这时称\Gamma是一个\sigma-代数。
定义（生成\sigma-代数）：设\Sigma是集合X中一些子集所构成的集合族，考虑包含\Sigma的\sigma-代数\Gamma（即若A\in\Sigma，必有A\in\Gamma，这祥的\Gamma是存在的，如\mathscr{P}(X)）．记包含\Sigma的最小\sigma-代数为\Gamma(\Sigma)．也就是说，对任一包含的\sigma-代数\Gamma'，若A\in\Gamma(\Sigma)，则A\in\Gamma'，称\Gamma(\Sigma)为由\Sigma生成的\sigma-代数．
定义：由\mathbb{R}^n中一切开集构成的开集族所生成的\sigma-代数称为 Borel \sigma-代数．记为\mathscr{B}．\mathscr{B}中的元称为 Borel 集．
定理10（Baire）：设E\subset\mathbb{R}^n是F_\sigma集，即E=\bigcup F_k，若每个F_k无内点，则E也无内点。
定义：设E\subset\mathbb{R}^n．若\overline E=\mathbb{R}^n, 则称E为\mathbb{R}^n中的稠密集；若\stackrel{\circ}{\overline E}=\varnothing，则称E为\mathbb{R}^n中的无处稠密集；可数个无处稠密集的并集称为贫集或第一纲集．不是第一纲集的称为第二纲集．
Cantor 集
Cantor集C基本性质有：
- C是[0,1]中的非空有界闭集；
- C=C'，即C是完全集；
- C无内点；
- C的基数是c，且C中点x=\sum a_i/3^i,\, a_i\in\{0,2\}.
注，任一非空完全集的基数都是c，证明可查阅文献。
点集间的距离
定理11：若F\subset\mathbb{R}^n是非空闭集且x_0\in\mathbb{R}^n，则存在y_0\in F，使得|x_0-y_0|=d(x_0,F).
下述初等性质成立：
- x\in E，则d(x,E)=0;
- x\in E^\circ当且仅当d(x,E^c)>0;
- x\in E'当且仅当d(x,E\backslash\{x\})=0;
- x\in \overline E当且仅当d(x,E)=0;
- x\in\partial E当且仅当d(x,E)=d(x,E^c)=0;
定理12：若E是\mathbb{R}^n中非空点集，则d(x,E)作为x的函数在\mathbb{R}^n上是一致连续的．
推论：若F_1,F_2是\mathbb{R}^n中的两个非空闭集且其中至少有一个是有界的，则存在x_1\in F_1,\, x_2\in F_2，使得|x_1-x_2|=d(F_1,F_2).
定理13（连续延拓）：若F是\mathbb{R}^n中的闭集，f(x)是定义在F上的连续函数且|f(x)| \leqslant M\; (x \in F)，则存在\mathbb{R}^n上的连续函数g(x)满足：
|g(x)|\leqslant M,\quad g(x)=f(x),\quad x\in F.
该定理在f(x)无界时也成立（研究\arctan f(x)）
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