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点集的Lebesgue 外测度

定理1：\mathbb{R}^n中点集的外测度性质

1. 非负性：m^\ast(E)\geqslant0,\, m^\ast(\varnothing)=0；
2. 单调性：若E_1\subset E_2，则m^\ast(E_1)\leqslant m^\ast(E_2)；
3. 次可加性：\displaystyle m^{\ast}\left(\bigcup_{k=1}^{\infty} E_{k}\right) \leqslant \sum_{k=1}^{\infty} m^{\ast}\left(E_{k}\right).

引理：设E\subset \mathbb{R}^n,\, \delta>0，令
m^\ast_\delta(E)=\inf\left\{\sum_{k=1}^\infty|I_k|: \bigcup_{k=1}^\infty I_k\supset E,\, \text{每个开矩体边长}<\delta\right\},
则
m^\ast_\delta(E)=m^\ast(E).
定理2：设E_1,E_2是\mathbb{R}^n中的两个点集，若d(E_1,E_2)>0，则
m^{\ast}\left(E_{1} \cup E_{2}\right)=m^{\ast}\left(E_{1}\right)+m^{\ast}\left(E_{2}\right).
定理3（平移不变性）：设E\subset\mathbb{R}^n,\, x_0\in\mathbb{R}^n，记E+\{x_0\}=\{x+x_0,\, x\in E\}，则
m^\ast(E+\{x_0\})=m^\ast(E).

可测集与测度

定义：设E\subset \mathbb{R}^n,若对任意的点集T\subset \mathbb{R}^n，有
m^\ast(T)=m^\ast(T\cap E)+m^\ast(T\cap E^c),
则称E为 Lebesgue 可测集（或m^\ast-可测集），简称为可测集，其中T称为试验集（这一定义可测集的等式也称为 Carathéodory 条件）；可测集的全体称为可测集类，简记为\mathscr{M}.

注意到，对于\mathbb{R}^n中任一点集E，为了证明它是一个可测集，我们只需对任一点集T\subset \mathbb{R}^n证明m^\ast(T)\geqslant m^\ast(T\cap E)+m^\ast(T\cap E^c)即可，因为反向不等式总成立，又可知只需对m^\ast(T)<\infty的T来论证即可，因为它外测度无穷时不等式总成立。

下列初等性质成立；

• 若m^*(E)=0，则E\in\mathscr{M}；

• 若S\in\mathscr{M},且E_1\subset S,\, E_2\subset S^c，则
  m^{\ast}\left(E_{1} \cup E_{2}\right)=m^{\ast}\left(E_{1}\right)+m^{\ast}\left(E_{2}\right).

定理4（可测集的性质）：空集是可测集；可测集的补是可测集；可测集的并、交、差是可测集；若E_i\in\mathscr{M}，则其并集也属于\mathscr{M}，进一步若两两不交：E_i\cap E_j=\varnothing，则
m ^\ast\left(\bigcup_{i=1}^{\infty} E_{i}\right)=\sum_{i=1}^{\infty} m^{\ast}\left(E_{i}\right).
（即m^\ast在\mathscr{M}上满足可数可加性或称为\sigma-可加性）

从定理的结论可知，\mathbb{R}^n中可测集类构成一个\sigma-代数．对于可测集E，其外测度称为测度，记为m(E)，这就是通常所说的\mathbb{R}^n上的 Lebesgue 测度.

定理5（递增可测集列的测度运算）；若有递增可测集合列E_1\subset E_2\subset\cdots，则
m\left(\lim _{k \rightarrow \infty} E_{k}\right)=\lim _{k \rightarrow \infty} m\left(E_{k}\right).
定理6（递减可测集列的测度运算）；若有递减可测集合列E_1\supset E_2\supset\cdots，且m(E_1)<\infty，则
m\left(\lim _{k \rightarrow \infty} E_{k}\right)=\lim _{k \rightarrow \infty} m\left(E_{k}\right).
推论1：设\{E_k\}是可测集列，则
m\left(\liminf_{k\to\infty}E_k\right)\leqslant \liminf_{k\to\infty}m(E_k).

可测集与 Borel 集

引理（Carathéodory）：设G\neq \mathbb{R}^n是开集，E\subset G，令
E_{k}=\left\{x \in E: d\left(x, G^{c}\right) \geqslant 1 / k\right\} \quad(k=1,2, \cdots)
则
\lim_{k\to\infty} m^\ast(E_k)=m^\ast(E).
定理7：\mathbb{R}^n中的闭集是可测集。

推论2： Borel 集是可测集．

定理8：若E\in\mathscr{M}，则对任给的\varepsilon>0，有

• 存在包含E的开集G，使得m(G\backslash E)<\varepsilon；
• 存在含于E的闭集F，使得m(E\backslash F)<\varepsilon.

定理9：若E\in\mathscr{M}，则

• E=H\backslash Z_1，其中H是G_\delta集，m(Z_1)=0；
• E=K\cup Z_2，其中K是F_\sigma集，m(Z_2)=0.

G_\delta集，F_\sigma集皆为 Borel 集，从而上述定理说明了 Lebesgue 可测集与 Borel 集的简明关系．此处如果仅从测度的角度来看，那么上述定理指出：存在包含E的集H，m(H)=m(E)；存在含于E的集K，m(K)=m(E)．称如此的H与K为E的等测包与等测核.

定理10（外测度的正则性）：若E\subset \mathbb{R}^n，则存在包含E的G_\delta集H，使得m(H)=m^\ast(E)．（此时也称H为E的等测包）

注意，若H是E的等测包，并且m^\ast(E)<\infty，则有m(H)-m^\ast(E)=0，但m^\ast(H\backslash E)不一定等于零．不过可以证明H\backslash E中的任一可测子集皆为零测集．

推论3：设E_k\subset\mathbb{R}^n，则
m^\ast\left(\liminf_{k\to\infty}E_k\right)\leqslant \liminf_{k\to\infty}m^\ast(E_k).
推论4：若\{E_k\}是递增集合列，则\displaystyle \lim_{k\to\infty}m^\ast(E_k)=m^\ast(\lim_{k\to\infty}E_k).

正测度集与矩体的关系

定理11：设E是\mathbb{R}^n中的可测集且m(E)>0，0<\lambda<1，则存在矩体I，使得
\lambda|I|<m(I\cap E).
定理12（Steinhaus，1920）：设E是\mathbb{R}^n中的可测集且m(E)>0．作（ 向量差）点集E-E:=\{x-y: x,y\in E\}，则存在\delta_0>0，使得E-E\supset B(0,\delta_0).

不可测集

定理13：\mathbb{R}^n中存在不可测集W.