一致连续可被视作是特殊的一致收敛

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一致连续可被视作是特殊的一致收敛。

定义（对函数极限的一致收敛）：
设D和E是\mathbb{R}的子集，u_0（也可以是+\infty）是E的极限点，f(x,u)在D\times E上定义，且对任意的x\in D，存在有限极限：

\lim\limits_{u\to u_0}f(x,u)=g(x).

如果对任意的\varepsilon>0，存在\delta>0（或者U>0），使得当u\in E，0<|u-u_0|<\delta（或者u\in E,\, u>U）时，|f(x,u)-g(x)|<\varepsilon对所有的x\in D成立，就说当u\to u_0（或者u\to+\infty）时，函数f(x,u)对x\in D一致收敛于函数g(x).

现在令g(x)是某一致收敛函数，再令f(x,u)=g(x+u)，那么由一致收敛的定义：
对任意的\varepsilon>0，存在\delta>0，使得当0<|u|<\delta时，|g(x+u)-g(x)|=|f(x,u)-g(x)|<\varepsilon对所有的x\in D成立，这表明：当u\to0时函数f(x,u)对x一致收敛于g(x).