完备距离空间

度量空间$(X, d)$称作是完备的，如果$X$中的每一Cauchy列收敛于$X$中的点。这里给出有关完备性的基本的定理。

对完备度量空间，下面的定理1是基本的定理。它给出了一个定义在度量空间的稠密子集上的连续映射可以连续拓张到整个全空间的充分条件。

下面的定理2也是基本的。它断言任何不完备的度量空间总是可以在等距的意义下被视作一个完备度量空间的稠密子集。

另外两个完备度量空间的基本定理——压缩映射原理、Baire纲定理，已经分别在Functions of several variables和Baire 纲定理几种形式的等价性作了介绍。

下面将给出这两个定理的证明。值得指出的是，证明的思路均来自Walter Rudin的Principles of Mathematical Analysis的一些课后习题。

定理1

证明

我们需要证明$\tilde f$的存在性和唯一性。先看唯一性，比较容易看出。

首先，$X$稠于$\tilde X$，可推出$\tilde f(X)$稠于$\tilde f(\tilde X)$：对$\tilde f(\tilde X)$中一点$\tilde f(p)$，存在$X$中点列$\{p_n\}$，$p_n\to p$，由$\tilde f$连续性，$\tilde f(p_n)\to\tilde f(p)$，这表明$\tilde f(p)\in\tilde f(\tilde X)$是$\tilde f(X)$中一点列$\{\tilde f(p_n)\}$的极限，故$\tilde f(X)$稠于$\tilde f(\tilde X)$。

如果映射$g:\tilde X\to Y$满足在$X$上$g(x)=\tilde f(x)$，那么可以证明$g=\tilde f$：对$p\in\tilde X$，$X$中点列$\{p_n\}$满足$p_n\to p$，那么$\tilde f(p)=\lim \tilde f(p_n)=\lim g(p_n)=g(p)$，故$g=\tilde f$。

接下来看存在性。

对任一$p\in\tilde X$和任一正整数$n$，令$V_n(p)=\{q\in X\mid d(p,q)<1/n\}$，下面证明$\bigcap_{n=1}^\infty \overline{f(V_n(p))}$包含唯一一个点，记为$\tilde f(p)$，即为所需的$f$的连续延拓。首先需要一些引理。

在Numerical sequences and series中，定理7第二点给出了“当$E_n$为紧集”的情形，这里$E_n$变为了有界闭集。如果$X=\mathbb R^n$，那么紧集和有界闭集等价，那就不需要这个引理了，但$X$为一般的完备度量空间时则不然。下面给出证明。

引理1的证明：构造点列$\{p_n\}$，其中$p_n\in E_n$，$m\geqslant n$时由于$E_m\subset E_n$，有$p_m\in E_n$，可以看出这个点列是Cauchy列，这是因为$\operatorname{diam}\{p_k\}_{k=n}^\infty\leqslant\operatorname{diam}E_n\to0$，而$X$是完备的度量空间，所以$\{p_n\}$收敛至$X$中一点$p$，可以证明$\bigcap_{n=1}^\infty E_n=\{p\}$。由于$E_n$是闭集，$p$作为其极限点当然属于$E_n$，故$p\in\bigcap_{n=1}^\infty E_n$。若$p^\prime \in\bigcap_{n=1}^\infty E_n$，则$d(p,p^\prime )\leqslant d(p,p_n)+d(p_n,p)\leqslant 2\operatorname{diam}E_n\to0$，所以$p=p^\prime$，引理1得证。

证明是显然的。

由于$X$稠于$\tilde X$，当然有$\overline{f(V_n(p))}$非空；$f$是一致连续的，得出$\overline{f(V_n(p))}$是有界的闭集；由$\lim\operatorname{diam}V_n(p)=0$及引理2，$\lim\operatorname{diam}\overline{f(V_n(p))}=\lim\operatorname{diam} f(V_n(p))=0$；又显然有$\overline{f(V_{n+1}(p))}\subset \overline{f(V_n(p))}$；于是引理1所需的条件全部满足，故可定义$\tilde f(p)=\bigcap_{n=1}^\infty\overline{f(V_n(p))}$。当$p\in X$时，显然有$\tilde f(p)=f(p)$。

由于$f:X\to Y$是一致连续的映射，故对任给的$\varepsilon>0$，存在$\delta>0$，当$p,q\in X$且$d(p,q)<\delta$时有$d_Y(f(p),f(q))<\varepsilon/3$，下面证明，对于此$\delta$，当$p,q\in\tilde X$，$d(p,q)<\delta$时，就有$d_Y(\tilde f(p),\tilde f(q))<\varepsilon$。取$\{p_n\}$满足$p_n\in V_n(p)$，那么$\lim p_n=p$且$\lim f(p_n)=\tilde f(p)$；类似地可以取$\{q_n\}$。这样，存在正整数$N$，使得
$\begin{gathered} 2d(p_N,p)+d(p,q)<\delta,\quad d_Y(\tilde f(p)-\tilde f(p_N))<\frac\varepsilon3;\\ 2d(q_N,q)+d(p,q)<\delta,\quad d_Y(\tilde f(q)-\tilde f(q_N))<\frac\varepsilon3. \end{gathered}\begin{gathered} 2d(p_N,p)+d(p,q)<\delta,\quad d_Y(\tilde f(p)-\tilde f(p_N))<\frac\varepsilon3;\\ 2d(q_N,q)+d(p,q)<\delta,\quad d_Y(\tilde f(q)-\tilde f(q_N))<\frac\varepsilon3. \end{gathered}$

这样
$d(p_N,q_N)\leqslant d(p_N,p)+d(p,q)+d(q,q_N)<\delta,$

同时
$\begin{aligned} d_Y(\tilde f(p),\tilde f(q))&\leqslant d_Y(\tilde f(p),\tilde f(p_N))+d_Y(\tilde f(p_N),\tilde f(q_N))+d_Y(\tilde f(q_N),\tilde f(q))\\ &<\frac\varepsilon3+\frac\varepsilon3+\frac\varepsilon3=\varepsilon. \end{aligned}\begin{aligned} d_Y(\tilde f(p),\tilde f(q))&\leqslant d_Y(\tilde f(p),\tilde f(p_N))+d_Y(\tilde f(p_N),\tilde f(q_N))+d_Y(\tilde f(q_N),\tilde f(q))\\ &<\frac\varepsilon3+\frac\varepsilon3+\frac\varepsilon3=\varepsilon. \end{aligned}$

这就证明了$\tilde f$在$\tilde X$上一致连续，故它是$f$在$\tilde X$上的连续延拓。

另证

下面的引理3是显然的。

$X$稠于$\tilde X$，对$p\in \tilde X$，有收敛于$p$的$X$中的点列$\{p_n\}$，则$\{f(p_n)\}$是$Y$中的Cauchy列，而$Y$完备，故收敛于$Y$中的一点，设收敛于$\tilde f_1$；我们证明这个收敛的结果不依赖于$\{p_n\}$的选取，设同样地选取了$\{q_n\}$，而$\{f(q_n)\}$收敛于$\tilde f_2$，要证$\tilde f_1=\tilde f_2$。把$\{p_n\}$与$\{q_n\}$交错排列，记得到的新点列为$\{r_n\}$，即：$p_1,q_1,p_2,q_2,\dots$，则$r_n\in X$，$r_n\to p$，同样地$\{f(r_n)\}$应收敛于某极限$\tilde f_3$，注意到$\{f(p_n)\},\{f(q_n)\}$都是$\{f(r_n)\}$的子列，所以必有$\tilde f_1=\tilde f_2=\tilde f_3$，这就证明了极限唯一确定。于是可以定义映射$\tilde f:\tilde X\to Y$，$p\mapsto\tilde f_1$，可证这就是所需的连续延拓：当$p\in X$时，显然有$\tilde f(p)=f(p)$；对于$\tilde f$的一致连续性，与原证明的最后一段是一样的。

定理2

证明

类似于从$\mathbb Q$构建$\mathbb R$，不完备的$\mathbb Q$经过完备化得到了完备的$\mathbb R$，这个过程一个经典的做法是Cantor的利用Cauchy列的方法，这也是完备化方法最早的引进，这个思路可以用于启发此定理的证明。

引理4的证明：对任何$m,n$均有$d(p_n,q_n)\leqslant d(p_n,p_m)+d(p_m,q_m)+d(q_m,q_n)$，于是可推出$|d(p_n,q_n)-d(p_m,q_m)|\leqslant d(p_n,p_m)+d(q_n,q_m)$，进而可知$\{d(p_n,q_n)\}$是Cauchy列，而$\mathbb R$完备，故必收敛。

回到定理2，对$X$中的两个Cauchy列$\{p_n\},\{q_n\}$，称它们等价，如果$d(p_n,q_n)\to0$，那么这是一个等价关系：自反性和对称性显然，对于传递性，若$\{p_n\},\{q_n\}$等价、$\{q_n\},\{r_n\}$等价，则在$d(p_n,r_n)\leqslant d(p_n,q_n)+d(q_n,r_n)$两边取极限即知传递性也成立，所以这个关系确是等价关系。

令$\tilde X$为该等价关系得到的所有等价类的集合。若$P\in\tilde X$，$Q\in\tilde X$，$\{p_n\}\subset P$，$\{q_n\}\subset Q$，定义
$\tilde{d}(P,Q)=\lim_{n\to\infty}d(p_n,q_n),$

由引理4，这个极限是存在的。可以证明$\tilde{d}(P,Q)$跟$\{p_n\}.\{q_n\}$的选取无关：若$\{p^\prime _n\}\subset P$，那么$d(p_n,p_n^\prime )\to0$，由$|d(p_n,q_n)-d(p_n^\prime ,q_n)|\leqslant d(p_n,p_n^\prime )$知$\lim d(p_n,q_n)=\lim d(p_n^\prime ,q_n)$。这表明$\tilde{d}(P,Q)$是良好地定义的，进而不难看出，$\tilde{d}$是$\tilde X$上的距离函数。

下面证明：度量空间$\tilde X$是完备的。

取$\tilde X$中的Cauchy列$\{P_n\}$，$P_n$取其中的Cauchy列$\{p_{nk}\}_{k=1}^\infty$。对任给的$\varepsilon>0$，存在$N$，当$m,n>N$时，
$\tilde{d}(P_m,P_n)=\lim_{k\to\infty}d(p_{mk},p_{nk})<\frac\varepsilon3.$

对$n\in\mathbb N^\ast$，存在$N(n)\in\mathbb N^\ast$，当$k,l\geqslant N(n)$时，有$d(p_{nk},p_{nl})<\varepsilon/3$。对$X$中的点列$\{p_{n,N(n)}\}$，先证它是$X$中的Cauchy列。当$m,n>N$时，由于$\tilde{d}(P_m,P_n)<\varepsilon/3$，必存在$N_1$，当$k>N_1$时，$d(p_{mk},p_{nk})<\varepsilon/3$，这样当$k>\max\{N(m),N(n),N_1\}$时，
$\begin{aligned} d(p_{m,N(m)},p_{n,N(n)})&\leqslant d(p_{m,N(m)},p_{mk})+d(p_{mk},p_{nk})+d(p_{nk},p_{n,N(n)})\\ &<\frac\varepsilon3+\frac\varepsilon3+\frac\varepsilon3=\varepsilon. \end{aligned}\begin{aligned} d(p_{m,N(m)},p_{n,N(n)})&\leqslant d(p_{m,N(m)},p_{mk})+d(p_{mk},p_{nk})+d(p_{nk},p_{n,N(n)})\\ &<\frac\varepsilon3+\frac\varepsilon3+\frac\varepsilon3=\varepsilon. \end{aligned}$

这就证明了$\{p_{n,N(n)}\}$确实是Cauchy列，设它所在的$\tilde X$中的等价类为$P$，下面证明
$\tilde{d}(P_n,P)=\lim_{k\to\infty}d(p_{nk},p_{k,N(k)})\to0,\quad n\to\infty.$

这就证明了$\tilde X$的完备性。事实上，当$n>N$时，令$k>\max\{N,N(n)\}$，那么
$\begin{aligned} d(p_{nk},p_{k,N(k)})&\leqslant d(p_{nk},p_{n,N(n)})+d(p_{n,N(n)},p_{k,N(k)})\\ &<\frac\varepsilon3+\frac\varepsilon3<\varepsilon. \end{aligned}\begin{aligned} d(p_{nk},p_{k,N(k)})&\leqslant d(p_{nk},p_{n,N(n)})+d(p_{n,N(n)},p_{k,N(k)})\\ &<\frac\varepsilon3+\frac\varepsilon3<\varepsilon. \end{aligned}$

这就证明了$\tilde{d}(P_n,P)\to0$，$\tilde X$完备。

对每一$p\in X$，所有项都为$p$的点列是Cauchy列，令$P_p$为包含这一Cauchy列的$\tilde X$中的元素，那么显然对任何$p,q\in X$有$\tilde{d}(P_p,P_q)=d(p,q)$，这说明映射$\varphi:X\to\tilde X$，$p\mapsto P_p$是等距的。

再证明$\varphi(X)$稠于$\tilde X$。对$P\in \tilde X$，取其中的Cauchy列$\{p_n\}$，可以证明$\varphi(p_n)$是$\varphi(X)$中收敛于$P$的点列，即
$\tilde{d}(\varphi(p_n),P)=\lim_{k\to\infty}d(p_k,p_n)\to0,\quad n\to\infty.$

$\{p_n\}$是Cauchy列，则对任给$\varepsilon>0$，存在$N_2$，当$n,k>N_2$时有$d(p_k,p_n)<\varepsilon$，令$k\to\infty$可以轻易看出上式成立。

此外，当$X$本身就完备时，不难推出$\varphi(X)=\tilde X$，这只需$\tilde X\subset\varphi(X)$：任意$P\in \tilde X$，其中的Cauchy列$\{p_n\}$有极限$p\in X$，那么$\lim d(p_k,p)=0$，这恰说明$\{p_n\}$也在$\varphi(p)$中，即$P=\varphi(p)$。

最后是唯一性。设$\varphi(X)=\tilde X_0$，则$\tilde X_0$稠于$\tilde X$，同样地等距映射$\sigma:X\to\hat X$使$\sigma(X)=\hat X_0$稠于$\hat X$，那么显然存在$\tilde X_0$到$\hat X_0$的等距映射$\tau$。现在：$\tilde X_0$是$\tilde X$的稠密子集，$\hat X$为完备度量空间，$\tau:\tilde X_0\to\hat X$是一致连续的映射，那么，由定理1，$\tau$存在唯一的$\tilde X$上的连续拓张，仍记为$\tau:\tilde X\to\hat X$，反过来也可以有一致连续映射$\rho:\hat X\to\tilde X$。考虑$\tau\circ\rho$与$\rho\circ\tau$，它们都是一致连续函数，而在各自定义域内的一个稠密子集内均为恒等映射，所以由定理1得知它们都是恒等映射，这说明$\tau$是$1-1$的。至于$\tau$是等距的这一点，可以通过取$\tilde X_0$中的点列而不难得出。

另证

固定一点$a\in X$，对每一点$p\in X$定义函数$f_p(x)=d(x,p)-d(x,a)\, (x\in X)$，可以证明：

1. $|f_p(x)|\leqslant d(a,p)$，即此函数有界，这是显然的；

2. $f_p(x)$连续：
   $\begin{aligned} |f_p(x_1)-f_p(x_2)|&=|d(x_1,p)-d(x_1,a)-d(x_2,p)+d(x_2,a)|\\ &\leqslant|d(x_1,p)-d(x_2,p)|+|d(x_1,a)-d(x_2,a)|\\ &\leqslant2d(x_1,x_2). \end{aligned}\begin{aligned} |f_p(x_1)-f_p(x_2)|&=|d(x_1,p)-d(x_1,a)-d(x_2,p)+d(x_2,a)|\\ &\leqslant|d(x_1,p)-d(x_2,p)|+|d(x_1,a)-d(x_2,a)|\\ &\leqslant2d(x_1,x_2). \end{aligned}$

   这两点表明$f_p\in\mathcal{C}(X)$；

3. 对$\mathcal C(X)$上的函数赋予上确界范数：$|f|=\sup_{x\in X}|f(x)|$，则对任意的$p,q\in X$，$d_f(f_p,f_q)=|f_p-f_q|=d(p,q)$：
   $|f_p(x)-f_q(x)|=|d(x,p)-d(x,a)-d(x,q)+d(x,a)|\leqslant d(p,q),$

   当$x=p$或$x=q$时，等号成立。

若定义$\varphi(p)=f_p$，我们得到$\varphi:X\to\varphi(X)$是一个等距映射。

在Sequences and series of functions的定理8中已给出$\mathcal C(X)$的这种距离使其成为一个完备的度量空间，由于$\tilde X=\overline{\varphi(X)}$是$\mathcal C(X)$中的闭子集，故它是完备的，这说明：$X$与一个完备度量空间$\tilde X$的稠密子集等距。

唯一性同上。