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Weierstrass级数理论

Laurent级数

Weierstrass理论之一是用级数来研究与刻画函数的性质。在前两章中已经讲到了全纯函数的幂级数展开以及函数项级数等，这些结果与微积分中的级数理论大部分是一样的。但也有一些不同之处。当然，更重要的是与微积分中级数理论不相同的部分。在复变函数的级数理论中，与微积分级数理论最大的不同之处是：除了Taylor级数外，还有Laurent级数。一个函数的特性，除了全纯部分外，是由它的奇性所决定的。而用来刻画、研究奇性的有力工具就是Laurent级数。先给出一个有关函数项级数的Weierstrass定理，这是一条深刻的定理，这个定理在微积分中是没有的。

定理1（Weierstrass定理）：若$\{f_n(z)\}\, (n=1,2,\dots)$在$U\subseteq\mathbb{C}$上全纯，且$\sum_{n=1}^\infty f_n(z)$在$U$上内闭一致收敛到$f(z)$，则$f(z)$在$U$上全纯；且$\sum_{n=1}^\infty f_n^{(k)}(z)$内闭一致收敛到$f^{(k)}(z)\, (k=1,2,\dots)$.

定理1是很深刻的结果，它告诉我们：如果全纯函数项级数在域$U$上内闭一致收敛，则这个级数收敛到一个全纯函数，且逐项求导后的级数也内闭一致收敛到全纯函数的导数。数学分析中的定理为：在一闭区间上诸$f_n(z)$连续可导、逐项求导后级数一致收敛、原级数至少在某一点收敛，那么原级数一致收敛且和函数连续可导，导数等于逐项求导。

由最大模原理可得：若$U\subseteq\mathbb{C}$为有界域，若$\{f_n(z)\}\, (n=1,2,\dots)$在$D$内全纯，在$\overline D$上连续，且级数$\sum_{n=1}^\infty f_n(z)$在$\partial D$上一致收敛，则$\sum_{n=1}^\infty f_n(z)$在$\overline D$上一致收敛。因此，定理1中的条件“$\sum_{n=1}^\infty f_n(z)$在$U$上内闭一致收敛到$f(z)$” 可以改为“$\sum_{n=1}^\infty f_n(z)$在$U$中任一闭曲线上一致收敛到$f(z)$”，定理1依然成立。

现在讨论Laurent级数。

若$a\in\mathbb{C}$，而$c_n\, (n=0,\pm1,\pm2,\dots)$为复常数，则称$\sum_{n=-\infty}^{\infty}c_n(z-a)^n$为在$a$点的Laurent级数。即Laurent级数由两部分组成：一部分是非负幂的幂级数$\sum_{n=0}^{\infty}c_n(z-a)^n$；一部分是负幂的幂级数$\sum_{n=1}^{\infty}c_{-n}(z-a)^{-n}$. 若这两部分都在点$z=z_0$处收敛，则称Laurent级数在这点收敛。若$\sum_{n=0}^{\infty}c_n(z-a)^n$的收敛半径为$R>0$，则级数在$|z-a|<R$内绝对收敛，且内闭一致收敛，故级数的和（记作$\varphi(z)$）在$|z-a|<R$上全纯。记$\zeta=\frac{1}{z-a}$，则$\sum_{n=1}^{\infty} c_{-n}(z-a)^{-n}=\sum_{n=1}^{\infty} c_{-n} \zeta^{n}$. 设其收敛半径为$\lambda$且$\lambda>0$，则级数在$|\zeta|<\lambda$内绝对收敛，且内闭一致收敛，故级数$\sum_{n=1}^{\infty}c_{-n}(z-a)^{-n}$在$r=\frac{1}{\lambda}<|z-a|<\infty$内绝对收敛且内闭一致收敛，级数的和（记作$\psi(z)$）在$r<|z-a|<\infty$上全纯。如果$r>R$，则Laurent级数处处发散。如果$r=R$，则级数除了在$|z-a|=R$的点外，处处发散；而在$|z-a|=R$上有不同的情形，如 $\sum_{n=1, n \neq 0}^{\infty} \frac{z^{n}}{n^{2}}$ 在 $|z|=1$ 上处处收敛，$\sum_{n=-\infty}^{\infty} z^{n}$ 在 $|z|=1$ 上处处发散，$\sum_{n=-\infty, n \neq 0}^{\infty} \frac{z^{n}}{n}$ 在 $|z|=1$ 上除了 $z=1$ 外处处收敛。如果$r<R$，则级数在圆环$r<|z-a|<R$内绝对收敛且内闭一致收敛，在圆环外发散，称圆环为级数的收敛圆环。由定理1，级数在圆环内收敛到一个全纯函数。$\varphi(z)$在$|z-a|<R$ 内全纯，$\psi(z)$ 在 $r<|z-a|<\infty$ 内全纯，而 $f(z)=\varphi(z)+\psi(z)$在 $r<|z-a|<R$ 内全纯，$\sum_{n=0}^{\infty} c_{n}(z-a)^{n}$称为级数$\sum_{n=-\infty}^{\infty}c_n(z-a)^n$的全纯部分，$\sum_{n=1}^{\infty} c_{-n}(z-a)^{-n}$称为级数的主要部分（principal part）或奇异部分，即函数$f(z)$的特性主要由这部分所决定。

归纳起来，若Laurent级数的收敛圆环为$r<|z-a|<R$，则级数在此圆环内绝对收敛且内闭一致收敛，和函数$f(z)$在此圆环上全纯。反过来，有

定理2：若函数$f(z)$在圆环$V$：$r<|z-a|<R\; (0\leqslant r<R<\infty)$上全纯，则$f(z)$在$V$上有展开式

$f(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} c_{n}(z-a)^{n},$

其中

$c_{n}=\frac{1}{2 \pi \mathrm{i}} \int_{|\zeta-a|=\rho} \frac{f(\zeta)}{(\zeta-a)^{n+1}} \mathrm{~d} \zeta \quad(r<\rho<R).$

这种展开式是唯一的，称为$f(z)$在圆环$V$上的Laurent展开式，或Laurent级数。

孤立奇点

若函数 $f(z)$ 在点 $a$ 的邻域 $B_R(a) \backslash\{a\}$ 上全纯，则称 $a$ 点为 $f(z)$ 的一个孤立奇点。若 $a$ 为 $f(z)$ 的一个孤立奇点，由定理2，$f(z)$ 在 $0<|z-a|<R$ 上可展开成 Laurent 级数

$f(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} c_{n}(z-a)^{n},$

而

$c_{n}=\frac{1}{2 \pi \mathrm{i}} \int_{|\zeta-a|=\rho} \frac{f(\zeta)}{(\zeta-a)^{n+1}} \mathrm{~d} \zeta \quad(r<\rho<R).$

如上一节所说那样，$f(z)=\varphi(z)+\psi(z)$，这里

$\varphi(z)=\sum_{n=0}^{\infty} c_{n}(z-a)^{n}$

在$|z-a|<R$上全纯，为$f(z)$的Laurent展开式的全纯部分，而

$\psi(z)=\sum_{n=1}^{\infty} c_{-n}(z-a)^{-n}$

在$r<|z-a|<\infty$上全纯，为$f(z)$的Laurent展开式的主要部分。

讨论$\displaystyle\lim_{z\to a}f(z)$的情形，有下述三种可能：

（1）$\displaystyle\lim_{z\to a}f(z)$存在且有限，则由Riemann定理（上一章第三节定理9)，$f(z)$可解析开拓到$B_R(a) \backslash\{a\}$。因此，$\psi$中的$c_{-n}$全为零。反之，若$\psi(z)$中的$c_{-n}$全为零，则$f(z) =\varphi(z)$，而$\displaystyle\lim_{z\to a}f(z)=\varphi(a)$. 故$\displaystyle\lim_{z\to a}f(z)$存在且有限当且仅当$c_{-n}$全为零，这时称$a$为可去奇点。

（2）$\displaystyle\lim_{z\to a}f(z)$存在且无限，则充要条件为：$\psi(z)$中的$c_{-n}$只有有限个不为零，即

$\psi(z)=\frac{c_{-1}}{z-a}+\cdots+\frac{c_{-m}}{(z-a)^{m}} \quad\left(c_{-m} \neq 0\right).$

而

$f(z)=\varphi(z)+\psi(z)=\frac{c_{-m}}{(z-a)^{m}}+\cdots+\frac{c_{-1}}{z-a}+c_{0}+c_{1}(z-a)+\cdots,$

即

$\displaystyle f(z)=\frac{g(z)}{(z-a)^{m}},\quad g(z)=c_{-m}+c_{-m+1}(z-a)+\cdots \quad\left(c_{-m}=g(a) \neq 0\right),$

这时称$a$为$f(z)$的一个$\boldsymbol{m}$阶极点。$m = 1$时，称为简单极点。

从(1)、(2)立即得到

（3）$\displaystyle\lim_{z\to a}f(z)$不存在，其充要条件为$\psi(z)$中的$c_{-n}$有无穷多个不为零，这时称$a$为$f(z)$的本性奇点。

对于本性奇点，有如下重要的：

定理3（Weierstrass定理）：若$a$为$f(z)$的本性奇点，任给$\delta>0$，则对任意有限复数$A$及正数$\varepsilon>0$，在$0<|z-a|<\delta$内有一点$z$，使得$|f(z)-A|<\varepsilon$成立，即$f(z)$在本性奇点的邻域内的取值在$\mathbb{C}$上是稠密的。

Weierstrass定理十分深刻地刻画了$f(z)$在一个本性奇点附近的值的分布性质。但1879 年，Picard证明了更为一般、更为深刻的Picard定理：全纯函数在一个本性奇点的邻域内无穷多次地取到每个有限复值，至多除去一个例外值。

以上讨论孤立奇点是有限复数的情形，现在讨论孤立奇点是无穷远点的情形。

若函数$f(z)$在圆环$V:\, R<|z|<\infty\, (R>0)$上全纯，$z=\infty$为$f(z)$的一个孤立奇点。这时候，作变换$\zeta=\frac{1}{z}$，将$z=\infty$的邻域变为$\zeta=0$的邻域，于是$g(\zeta)=f(z)=f(\frac{1}{\zeta})$在$0<1 \zeta 1<\frac{1}{R}$上全纯，且可展开成Laurent级数

$g(\zeta)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} c_{-n} \zeta^{n}=\sum_{n=0}^{\infty} c_{-n} \zeta^{n}+\sum_{n=1}^{\infty} c_{n} \zeta^{-n}=\varphi(\zeta)+\psi(\zeta).$

$\varphi(\zeta)$ 为 $g(\zeta)$ 的 Laurent 展开式的全纯部分,而 $\psi(\zeta)$ 为 $g(\zeta)$的Laurent展开式的主要部分。于是

$f(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} \frac{c_{-n}}{z^{n}}=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{c_{-n}}{z^{n}}+\sum_{n=1}^{\infty} c_{n} z^{n}=\varphi_{0}(z)+\psi_{0}(z),$

其中，$\varphi_0(z)$为$f(z)$的Laurent展开式的全纯部分，$\psi_0(z)$为$f(z)$的Laurent展开式的主要部分。故

（1）当$z=\infty$为$f(z)$的可去奇点时，

$f(z)=c_{0}+\frac{c_{-1}}{z}+\frac{c_{-2}}{z^{2}}+\cdots,$

（2）当$z=\infty$为$f(z)$的$m$阶极点时，

$f(z)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{c_{-n}}{z^{n}}+c_{1} z+c_{2} z^{2}+\cdots+c_{m} z^{m} \quad\left(c_{m} \neq 0\right),$

（3）当$z=\infty$为$f(z)$的本性奇点时，

$f(z)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{c_{-n}}{z^{n}}+\sum_{n=1}^{\infty} c_{n} z^{n}.$

整函数与亚纯函数

若函数$f(z)$除了无穷远点外，在$\mathbb{C}$上是全纯的，则称$f(z)$为一个整函数(entire function)。于是，$f(z)$的Taylor展开式$f(z)=\sum_{n=0}^\infty c_n z^n$在$\mathbb{C}$上成立。$z=\infty$是孤立奇点，由Laurent展开式的唯一性，前面的Taylor展开式也是$f(z)$在无穷远点的邻域内的Laurent展开式。于是有三种可能：

（1）$z=\infty$为$f(z)$的可去奇点，则由Liouville定理（上一章第三节定理8），$f(z)$为常数。

（2）$z=\infty$为$f(z)$的一个$m$阶极点，则当$n>m$是$c_n=0$，即$f(z)$为一个$m$次多项式：

$f(z)=c_{0}+c_{1} z+c_{2} z^{2}+\cdots+c_{m} z^{m} \quad\left(c_{m} \neq 0\right).$

（3）$z=\infty$为$f(z)$的一个本性奇点，则

$f(z)=c_{0}+c_{1} z+c_{2} z^{2}+\cdots+c_{n} z^{n}+\cdots,$

其中$c_n(n\geqslant1)$有无穷多个不为0，这时称$f(z)$为超越整函数。例如，$\mathrm{e}^z, \sin z, \cos z$，等等。

若函数$f(z)$除了无穷远点外，在$\mathbb{C}$上只有极点（极点的个数可为有限个，也可为无限个），则称$f(z)$为一个亚纯函数(meromorphic function) 。整函数是亚纯函数，有理函数$f(z)=\frac{P_{n}(z)}{Q_{m}(z)}$也是亚纯函数，其中，$P_n(z), Q_m(z)$为两个既约多项式：

$\begin{gathered} P_{n}(z)=a_{0}+a_{1} z+\cdots+a_{n} z^{n} \quad\left(a_{n} \neq 0\right),\\ Q_{m}(z)=b_{0}+b_{1} z+\cdots+b_{m} z^{m} \quad\left(b_{m} \neq 0\right). \end{gathered}\begin{gathered} P_{n}(z)=a_{0}+a_{1} z+\cdots+a_{n} z^{n} \quad\left(a_{n} \neq 0\right),\\ Q_{m}(z)=b_{0}+b_{1} z+\cdots+b_{m} z^{m} \quad\left(b_{m} \neq 0\right). \end{gathered}$

$Q_m(z)$的零点是$f(z)$的零点，由于

$f(z)=\frac{1}{z^{m-n}} \frac{a_{n}+\frac{a_{n-1}}{z}+\cdots+\frac{a_{0}}{z^{n}}}{b_{m}+\frac{b_{m-1}}{z}+\cdots+\frac{b_{0}}{z^{m}}},$

所以

$\lim _{z \rightarrow \infty} f(z)=\left\{\begin{array}{ll}\dfrac{a_{n}}{b_{m}},&m=n, \\ \infty,&n>m, \\ 0,&n<m,\end{array}\begin{array}{ll}\dfrac{a_{n}}{b_{m}},&m=n, \\ \infty,&n>m, \\ 0,&n<m,\end{array}\right.$

即$z = \infty$或者是$f(z)$的可去奇点，或者是极点。

反过来，有如下的：

定理4：若$z=\infty$为亚纯函数$f(z)$的可去奇点或极点，则$f(z)$必为有理函数。

除去有理函数外的亚纯函数称为超越亚纯函数。超越亚纯函数或以$z=\infty$为本性奇点，或以$z=\infty$为它的极点的极限点。

上一章第五节中已经给出了单位圆的全纯自同构群（定理18），现在可以定出复平面$\mathbb{C}$及扩充复平面$\mathbb{C}^*$（即$\mathbb{C}$加上无穷远点$\infty$），也即Riemann球$S^2$的自同构群。

先是复平面$\mathbb{C}$的全纯自同构群$\operatorname{Aut}(\mathbb{C})$. $\operatorname{Aut}(\mathbb{C})$有所有的整线性变换$\{a z+b \mid a, b \in C, a \neq 0\}$所组成的，即$\operatorname{Aut}(\mathbb{C})$是由平移(translation)$\alpha(z)=z+b$及伸缩(dilation)$\alpha(z)=az$的复合所组成的。

再看$\mathbb{C}^\ast$，即扩充复平面的亚纯自同构群$\operatorname{Aut}(\mathbb{C}^\ast)$. $\operatorname{Aut}\left(\mathbb{C}^{\ast}\right)$ 是由所有分式线性变换 $\left\{\frac{a z+b}{c z+d} \mid a d-b c=1\right\}$所组成的。即$\operatorname{Aut}(\mathbb{C}^\ast)$是由平移$\alpha(z)=z+b$、伸缩$\alpha(z)=az$以及反演$\alpha(z)=1/z$的复合所组成的。

在复分析中有如下一条十分重要的定理：

单值化定理（Poincaré-Koebe定理）：任意单连通的Riemann曲面一定一对一地全纯等价于下列三个区域之一：单位圆，复平面$\mathbb{C}$，扩充复平面$\mathbb{C}^*$（即Riemann球面$S^2$).

Riemann曲面的意义将在下一章中叙述。由上述的结果及上一章第五节中的定理18，给出了上述三种域的自同构群，即定出了所有与单连通Riemann曲面一对一全纯等价的域的自同构群。在下一章中还有重要的Riemann映射定理：任意边界点至少有两点的单连通区域一定一对一地全纯等价于单位圆。故在一对一全纯等价的意义下，单连通区域只有这三个。有机会则讨论。

可以这样说：Poincaré-Koebe单值化定理是复分析中最重要和最美好的定理之一。

Weierstrass因子分解定理、Mittag-Leffler定理与插值定理

这一节的内容是三个构造性定理。

由于整函数除了无穷远点外是全纯的，故可以用上一章第三节中的Taylor级数来表达。由上一节，若$z=\infty$为整函数的极点，则$f(z)$就是一个多项式，因此整函数可以看成多项式的自然推广，是无穷多次阶的多项式。对于多项式，一个明确的表达式是用它的根（即零点）来表达。如$a_{1}, \cdots, a_{n}$为$n$次多项式$P_n (z)$的根，则$P_n (z)$可以表为$A\left(z-a_{1}\right) \cdots\left(z-a_{n}\right)$，这里，$A$为复常数。这个表达式称为$P_n (z)$的因子分解。对超越整函数，是否也可以因子分解，即如果$a_{1}, \cdots, a_{n},\dots$为整函数的无穷多个零点，是否可将此函数表示为$A\left(z-a_{1}\right) \cdots\left(z-a_{n}\right)\dots=A \prod_{i=1}^{\infty}\left(z-a_{i}\right)$？由于乘积是无穷乘积，就有个收敛的问题，故不能这样简单地从事。这个问题的正确回答是Weierstrass因子分解定理。对无穷乘积，若$\sum_{n=1}^{\infty}\left|u_{n}\right|$收敛，则称$\prod_{n=1}^{\infty}\left(1+u_{n}\right)$绝对收敛（注意到$\sum_{n=1}^{\infty}\left|u_{n}\right|$ 与 $\prod_{n=1}^{\infty}\left(1+\left|u_{n}\right|\right)$同时收敛或同时发散），于是：绝对收敛的无穷乘积一定收敛，且绝对收敛的无穷乘积可以改变因子的顺序而不影响无穷乘积的值。

现在来讨论整函数的因子分解。

若整函数$f(z)$无零点，则存在整函数$\varphi(z)$，使得$f(z) = \mathrm{e}^{\varphi(z)}$. 事实上，只要首先注意到函数$f'(z)/f(z)$在整个平面上解析，它是一个整函数，则$\psi(z)=\int_0^z \frac{f'(\zeta)}{f(\zeta)}\mathrm{~d}\zeta$也是整函数，而$f(z) \mathrm{e}^{-\psi(z)}$的复导数恒等于零。故$f(z)=\mathrm{e}^{\varphi(z)}$.

若$f(z)$是一个只有有限个零点的整函数，$0, a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}\left(a_{i} \neq 0\; (i=1, \cdots,n)\right)$是$f(z)$的零点，其阶分别为$m,m_1,\dots,m_n$，令

$p(z)=z^{m}\left(1-\frac{z}{a_{1}}\right)^{m_{1}} \cdots\left(1-\frac{z}{a_{n}}\right)^{m_{n}},$

则$h(z)=\frac{f(z)}{p(z)}$以$z=0,a_i\, (i=1,\dots,n)$为可去奇点，故$h(z)$为没有零点的整函数。于是$h(z)=\mathrm{e}^{\psi(z)},\, \psi(z)$为整函数。因此，$f(z)$可表为

$f(z)=z^{m}\left(1-\frac{z}{a_{1}}\right)^{m_{1}} \cdots\left(1-\frac{z}{a_{n}}\right)^{m_{n}} \mathrm{e}^{\psi(z)},$

即$f(z)$可表为一个多项式及一个无零点的整函数的乘积，而此多项式以$f(z)$的零点为零点，且阶相同。

若整函数$f(z)$有无穷多个零点且不恒等于零，由于$f(z)$的零点可列，可将$f(z)$的零点按模的大小排列成一个序列($z = 0$除外，将另做处理）$a_1,a_2,\dots,a_n,\dots$，则有

$0<\left|a_{n}\right| \leqslant\left|a_{n+1}\right|, \quad \lim _{n \rightarrow \infty}\left|a_{n}\right|=\infty.$

这是因为若零点有界，则可从中选出收敛子列，由连续性聚点还是零点，这不可能。

定理5（Weierstrass因子分解定理）：若$f(z)$为一整函数，$z=0$为$f(z)$的$m$重零点（$m$也可以为零），其余零点为$a_ {1}, a_ {2}, \cdots\left(0<\left|a_ {n}\right| \leqslant\left|a_ {n+1}\right|,\, \lim _ {n \rightarrow \infty}\left|a_ {n}\right|=\infty\right)$. 对任意的$R>0$，任取非负整数数列$k_1,k_2,\dots,k_n,\dots$，使得$\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{R}{\left|a_ {n}\right|}\right)^{k_ {n}+1}$收敛，则$f(z)$可表为

$f(z)=z^{m} \mathrm{e}^{h(z)} \prod_{n=1}^{\infty}\left(1-\frac{z}{a_{n}}\right) \mathrm{e}^{P_{n}(z)},$

其中$h(z)$为一整函数，$\mathrm{e}^{P_1(z)}=1$，而

$P_{n}(z)=\frac{z}{a_{n}}+\frac{1}{2}\left(\frac{z}{a_{n}}\right)^{2}+\cdots+\frac{1}{k_{n}}\left(\frac{z}{a_{n}}\right)^{k_{n}} \quad(n \geqslant 2).$

显然，可取$k_n=n-1$，则

$f(z)=z^{m} \mathrm{e}^{h(z)} \prod_{n=1}^{\infty}\left(1-\frac{z}{a_{n}}\right) \exp \left\{\frac{z}{a_{n}}+\frac{1}{2}\left(\frac{z}{a_{n}}\right)^{2}+\cdots+\frac{1}{n-1}\left(\frac{z}{a_{n}}\right)^{n-1}\right\}.$

由于$g(z)$不唯一，故$f(z)$的表达式也不唯一。

对于亚纯函数，可以有怎样的表达式？首先，从上述定理的证明中可得：

任意亚纯函数可以表为两个整函数之比。

由于任意亚纯函数可以表成两个整函数之比，而由Weierstrass因子分解定理，每个整函数可以表成定理中分解式的形式，故每个亚纯函数可表为两个形如定理中分解式的式子的商。这时，这个亚纯函数可以用它的零点及极点明确地表示。

此外，在上一节中已知，如果一个亚纯函数$f(z)$只有有限多个极点$a_1,a_2,\dots,a_n$，且$z=\infty$是它的极点或可去奇点，则$f(z)$为有理函数，并且有

$f(z)=c+p(z)+\sum_{j=1}^{n} \psi_{j}(z),$

这里，$c$为常数，$p(z)$为多项式，$\psi_j(z)$为极点$z=a_j$的主要部分（定理4）。

对于一个超越亚纯函数$f(z)$，$z=\infty$或者是它的本性奇点，或是它的极点的极限点。若$z=\infty$是$f(z)$的本性奇点，则$f(z)$的极点仍为有限多个，故$U(z) = f(z)-\sum_{j=1}^{n} \psi_{j}(z)$是一个超越整函数，因此

$f(z) = U(z)+\sum_{j=1}^{n} \psi_{j}(z).$

若$z=\infty$是$f(z)$的极点的极限点，这些极点是$a_1,a_2,\dots,a_n,\dots$. 按模的大小排列起来，则有$0<\left|a_ {n}\right| \leqslant\left|a_ {n+1}\right|,\, \lim _ {n \rightarrow \infty}\left|a_ {n}\right|=\infty$. 在$a_j$点，其主要部分为$\psi_j(z)$也是已给的。是否存在亚纯函数$f(z)$，以$a_1,a_2,\dots,a_n,\dots$为其极点，而以$\psi_1(z),\psi_2(z),\dots,\psi_n(z),\dots$为相应的主要部分？于是有

定理6（Mittag-Leffler定理）：存在这样的亚纯函数，以$a_1,a_2,\dots,a_n,\dots\, (0<\left|a_ {n}\right| \leqslant\left|a_ {n+1}\right|,\, \lim _ {n \rightarrow \infty}\left|a_ {n}\right|=\infty)$为其极点，而以$\psi_1(z),\psi_2(z),\dots,\psi_n(z),\dots$为相应的主要部分。

用$\bar\partial$-问题的解来证明Mittag-Leffler定理，干净利索。但如用古典复分析的办法来证，可以将所得的亚纯函数写得更清楚。

定理6'（Mittag-Leffler定理）：设$f(z)$为亚纯函数，$a_n\; (n=1,2,\dots)$为$f(z)$的极点，且$\left|a_ {n}\right| \leqslant\left|a_ {n+1}\right|,\, \lim _ {n \rightarrow \infty}\left|a_ {n}\right|=\infty$，则$f(z)$可写成

$f(z)=U(z)+\sum_{n=1}^{\infty}\left[\Psi_{n}(z)-P_{n}(z)\right],$

这里，$\Psi_n(z)$为$f(z)$在极点$z=a_n$处的主要部分，$P_n(z)\; (n=1,2,\dots)$为多项式，$U(z)$为整函数。

若已给$m$个点$z_1,z_2,\dots,z_m$及$m$个复数值$a_1,a_2,\dots,a_m$，一定可以找到一个多项式$p(z)$，使得$p(z)$在$z_j$的值等于$a_j\, (j = 1, 2,\dots, m)$. 这只要从$m$个方程$p(z_i) =a_j\, (j = 1, 2,\dots, m)$中解出$p(z)$的系数来即可。同样，若已给$m$个点$z_1,z_2,\dots,z_m$及复数值$a_{j, k}\left(j=1, \cdots, m ; 0 \leqslant k \leqslant n_{j}-1\right)$，这里$n_j$为正整数，则可以找到多项式$p(z)$，使得$\frac{p^{(k)}\left(z_{j}\right)}{k !}=a_{j, k}$，也就是可以找到多项式$p(z)$，使得$p(z)$在点$z_j$上的Taylor展开式的开始$n_j$项是所给定的多项式，下面给出一个十分一般的插值(interpolation)定理。

定理7(插值定理）：若$z_1,z_2,\dots$为$\mathbb{C}$中的离散点集，$n_1,n_2,\dots$为一个正整数序列，$a_{j, k}\left(j\geqslant1 ; 0 \leqslant k \leqslant n_{j}-1\right)$为复数序列，则一定存在一个整函数$g(z)$，使得

$g^{(k)}\left(z_{j}\right)=k ! a_{j, k} \quad\left(j \geqslant 1 ; 0 \leqslant k \leqslant n_{j}-1\right).$

即：如果预先给定一个点列$\{z_j\}$及每一点$z_j$上的Taylor展开式的开始$n_j$项，则一定存在一个整函数，在这些点上，有这样的Taylor展开式。

任给一个幂级数，未必能找到一个整函数，它的Taylor级数就是已给的幂级数。但定理7告诉我们，任给一个$n$次多项式，不论$n$多大（要紧的是$n$有限），一定能找到一个整函数，它的Taylor级数的开始$n$次多项式就是已给的这$n$次多项式。这显示了多项式与整函数之间的根本差别。因此，定理7是一条很深刻的定理。

留数定理

若函数$f(z)$在$B_r(a)\backslash \{a\}\; (r>0)$上全纯，$a$为$f(z)$的孤立奇点，$f(z)$在点$a$的留数定义为

$\operatorname{Res}(f, a)=\frac{1}{2 \pi \mathrm{i}} \int_{|z-a|=\rho} f(z) \mathrm{d} z,$

这里，$0<\rho<r$. 由于$f(z)$在$B_r(a)\backslash \{a\}$上可展开成Laurent级数$f(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} c_{n}(z-a)^{n}$，故$\operatorname{Res}(f, a)=c_{-1}.$

若$z=\infty$为$f(z)$的孤立奇点，$f(z)$在$R<|z|<\infty$内全纯，定义$f(z)$在$z=\infty$内的留数为

$\operatorname{Res}(f, \infty)=-\frac{1}{2 \pi \mathrm{i}} \int_{|z|=\rho} f(z) \mathrm{d} z,$

这里，$R<\rho<\infty$. 由于$f(z)$在$z = \infty$的邻域内可展开成Laurent级数$f(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} c_{n}(z-a)^{n}$，故$\operatorname{Res}(f, \infty)=-c_{-1}.$

若$a\; (a\neq\infty)$为$f(z)$的$m$阶极点，则

$\operatorname{Res}(f, a)=\frac{1}{(m-1) !} \lim _{z \rightarrow a} \frac{\mathrm{d}^{m-1}}{\mathrm{~d} z^{m-1}}\left[(z-a)^{m} f(z)\right].$

特别地，当$m=1$时，

$\operatorname{Res}(f, a)=g(a)=\lim _{z \rightarrow a}(z-a) f(z).$

对于无穷远点的留数，简单变换可知

$\operatorname{Res}(f(z), \infty)=-\operatorname{Res}\left(\frac{1}{z^2}f\left(\frac{1}{z}\right), 0\right).$

若$\infty$是$m$阶极点，则

$\operatorname{Res}(f, \infty)=\frac{(-1)^{m}}{(m+1) !} \lim _{x \rightarrow \infty} z^{m+2} f^{(m+1)}(z).$

可把可去奇点看作0阶极点，那么$m=0$时有$\operatorname{Res}(f, \infty)=\lim _{x \rightarrow \infty} z^{2} f^{\prime}(z)$. 又若$f(\infty)=0$，则$\operatorname{Res}(f, \infty)=-\lim _{x \rightarrow \infty} z f(z)$.

定理8（留数定理）：若$f(z)$在域$U\subseteq\mathbb{C}$上除去$z_1,z_2,\dots,z_n$之外是全纯的，且$f(z)$在$\overline{U}$上除去$z_1,z_2,\dots,z_n$之外是连续的，$\partial U$为可求长简单闭曲线，则

$\int_{\partial U} f(z) \mathrm{d} z=2 \pi \mathrm{i} \sum_{k=1}^{n} \operatorname{Res}\left(f, z_{k}\right).$

定理8'（留数定理）：若$f(z)$在$\mathbb{C}^*$上除去$z_1,z_2,\dots,z_n,\infty$之外是全纯的，$z_1,z_2,\dots,z_n,\infty$是$f(z)$的孤立奇点，则$f(z)$在所有这些孤立奇点的留数之和为零，即

$\sum_{k=1}^{n} \operatorname{Res}\left(f, z_{k}\right)+\operatorname{Res}(f, \infty)=0.$

这两条定理的证明是显然的，只要用Cauchy积分定理，立即可得。

留数定理本身是十分简单的，重要的是可以用它来计算一些定积分的值，而这些定积分的被积函数的原函数往往是求不出来的。用留数定理求定积分有种种技巧，如函数$f(z)$的选取，积分路线的选取等等。这里不拟对各种类型的实定积分进行一一的讨论与举例，因为这要占用不少篇幅，好在在一般的教科书上都能找到。

解析开拓

若$f(z)$在域$U\subseteq\mathbb{C}$上全纯。如果存在一个包含$U$的域$G$，有函数$F(z)$在$G$上全纯，且在$U$上$F(z) = f(z)$，则称$f(z)$可解析开拓（或全纯开拓）到$G\backslash U$. 由全纯函数的唯一性定理，如果在$G$内$F$存在，则是唯一的。同样，如果$f_1(z),f_2(z)$分别在域$U_1,U_2$从上全纯，且$U_{1} \cap U_{2}=U_{3} \neq \varnothing$，而在$U_3$上$f_1＝ f_2$，则在$U=U_1\cup U_2$上定义

$f(z)=\begin{cases} f_1(z),& z\in U_1\\ f_2(z),& z\in U_2. \end{cases}\begin{cases} f_1(z),& z\in U_1\\ f_2(z),& z\in U_2. \end{cases}$

于是$f$在$U$上全纯，称$f_1,f_2$互为解析开拓。

最自然、最重要的解析开拓的方法是用幂级数来进行解析开拓。由Abel定理，一个幂级数

$a_{0}+a_{1} z+\cdots+a_{n} z^{n}+\cdots$

存在一个收敛半径$R$，在$|z|<R$内级数绝对收敛且内闭一致收敛。故这是一个全纯函数，记作$f(z)$. 如果$z_0\in B_R(0)$，则$f(z)$可以在$z=z_0$处展开成Taylor级数

$f(z)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}\left(z_{0}\right)}{n !}\left(z-z_{0}\right)^{n}.$

若其收敛半径为$\rho$，则$\rho\geqslant R-|z_0|$. 如果$\rho> R-|z_0|$，则$B_{\rho}(z_0)$有一部分在$B_R(0)$外，于是$f(z)$可解析开拓到$B_{\rho}(z_0)\backslash B_R(0)$上去。若$\rho= R-|z_0|$，则$B_{\rho}(z_0)$与$B_R(0)$相切，设其切点为$\zeta_0$. 可以看出，$f(z)$不能于$\zeta_0$处解析开拓出去，称$\zeta_0$为$f(z)$的一个奇点。

如果$R$是幂级数的收敛半径，则一定在$|z|=R$即收敛圆周上至少有$f(z)$的一个奇点。下面这个著名的例子说明有这样的幂级数，它的收敛圆周上每一点都是奇点。

例：设$f(z)=\sum_{n=0}^{\infty} z^{n !}$，则$f(z)$的收敛圆周上的每一点都是奇点。

一个函数称为在一点$z_0$附近是解析的（或全纯的），如果这个函数在这个点附近可以展开成收敛幂级数，这是函数局部解析（或局部全纯）的定义。这个定义与之前的定义是一致的。有了解析开拓的概念后，可以定义整体解析（或整体全纯）函数。

从一个局部全纯函数$f(z)=\sum_{n=0}^{\infty} c_{n}(z-a)^{n}$出发，如其收敛半径为$R$，若$a_1\in B_R(a)$，则得另一个幂级数

$f_{1}(z)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}\left(a_{1}\right)}{n !}\left(z-a_{1}\right)^{n},$

其收敛半径为$R_1\geqslant R-|a-a_1|>0$. 称全纯函数$f_1(z),f_2(z)$为解析元素，而$f_1(z)$为$f(z)$的解析开拓．如有$m$个解析元素$f_{k}(z)=\sum_{n=0}^{\infty} c_{n}^{(k)}\left(z-a_{k}\right)^{n}(k=1,\dots,m)$, $f_k$是$f_{k-1}$的解析开拓，则$f_m$也是$f$的解析开拓。将所有由$f(z)$出发的解析开拓得到的解析元素的全体组成一个集合，这个集合称为整体解析（整体全纯）函数(global analytic function).

完全解析（完全全纯）函数(complete analytic function) 是一个整体解析函数包含有其中任何一个解析元素的所有解析开拓。一般来说，这是一个多值函数。所有解析开拓所对应的收敛圆之和称为完全解析函数的存在域。这当然不能再开拓出去。因此，存在域的边界点都是完全解析函数的奇点。