Weierstrass级数理论
Laurent级数
Weierstrass理论之一是用级数来研究与刻画函数的性质。在前两章中已经讲到了全纯函数的幂级数展开以及函数项级数等，这些结果与微积分中的级数理论大部分是一样的。但也有一些不同之处。当然，更重要的是与微积分中级数理论不相同的部分。在复变函数的级数理论中，与微积分级数理论最大的不同之处是：除了Taylor级数外，还有Laurent级数。一个函数的特性，除了全纯部分外，是由它的奇性所决定的。而用来刻画、研究奇性的有力工具就是Laurent级数。先给出一个有关函数项级数的Weierstrass定理，这是一条深刻的定理，这个定理在微积分中是没有的。
定理1（Weierstrass定理）：若\{f_n(z)\}\, (n=1,2,\dots)在U\subseteq\mathbb{C}上全纯，且\sum_{n=1}^\infty f_n(z)在U上内闭一致收敛到f(z)，则f(z)在U上全纯；且\sum_{n=1}^\infty f_n^{(k)}(z)内闭一致收敛到f^{(k)}(z)\, (k=1,2,\dots).
定理1是很深刻的结果，它告诉我们：如果全纯函数项级数在域U上内闭一致收敛，则这个级数收敛到一个全纯函数，且逐项求导后的级数也内闭一致收敛到全纯函数的导数。数学分析中的定理为：在一闭区间上诸f_n(z)连续可导、逐项求导后级数一致收敛、原级数至少在某一点收敛，那么原级数一致收敛且和函数连续可导，导数等于逐项求导。
由最大模原理可得：若U\subseteq\mathbb{C}为有界域，若\{f_n(z)\}\, (n=1,2,\dots)在D内全纯，在\overline D上连续，且级数\sum_{n=1}^\infty f_n(z)在\partial D上一致收敛，则\sum_{n=1}^\infty f_n(z)在\overline D上一致收敛。因此，定理1中的条件“\sum_{n=1}^\infty f_n(z)在U上内闭一致收敛到f(z)” 可以改为“\sum_{n=1}^\infty f_n(z)在U中任一闭曲线上一致收敛到f(z)”，定理1依然成立。
现在讨论Laurent级数。
若a\in\mathbb{C}，而c_n\, (n=0,\pm1,\pm2,\dots)为复常数，则称\sum_{n=-\infty}^{\infty}c_n(z-a)^n为在a点的Laurent级数。即Laurent级数由两部分组成：一部分是非负幂的幂级数\sum_{n=0}^{\infty}c_n(z-a)^n；一部分是负幂的幂级数\sum_{n=1}^{\infty}c_{-n}(z-a)^{-n}. 若这两部分都在点z=z_0处收敛，则称Laurent级数在这点收敛。若\sum_{n=0}^{\infty}c_n(z-a)^n的收敛半径为R>0，则级数在|z-a|<R内绝对收敛，且内闭一致收敛，故级数的和（记作\varphi(z)）在|z-a|<R上全纯。记\zeta=\frac{1}{z-a}，则\sum_{n=1}^{\infty} c_{-n}(z-a)^{-n}=\sum_{n=1}^{\infty} c_{-n} \zeta^{n}. 设其收敛半径为\lambda且\lambda>0，则级数在|\zeta|<\lambda内绝对收敛，且内闭一致收敛，故级数\sum_{n=1}^{\infty}c_{-n}(z-a)^{-n}在r=\frac{1}{\lambda}<|z-a|<\infty内绝对收敛且内闭一致收敛，级数的和（记作\psi(z)）在r<|z-a|<\infty上全纯。如果r>R，则Laurent级数处处发散。如果r=R，则级数除了在|z-a|=R的点外，处处发散；而在|z-a|=R上有不同的情形，如 \sum_{n=1, n \neq 0}^{\infty} \frac{z^{n}}{n^{2}} 在 |z|=1 上处处收敛，\sum_{n=-\infty}^{\infty} z^{n} 在 |z|=1 上处处发散，\sum_{n=-\infty, n \neq 0}^{\infty} \frac{z^{n}}{n} 在 |z|=1 上除了 z=1 外处处收敛。如果r<R，则级数在圆环r<|z-a|<R内绝对收敛且内闭一致收敛，在圆环外发散，称圆环为级数的收敛圆环。由定理1，级数在圆环内收敛到一个全纯函数。\varphi(z)在|z-a|<R 内全纯，\psi(z) 在 r<|z-a|<\infty 内全纯，而 f(z)=\varphi(z)+\psi(z)在 r<|z-a|<R 内全纯，\sum_{n=0}^{\infty} c_{n}(z-a)^{n}称为级数\sum_{n=-\infty}^{\infty}c_n(z-a)^n的全纯部分，\sum_{n=1}^{\infty} c_{-n}(z-a)^{-n}称为级数的主要部分（principal part）或奇异部分，即函数f(z)的特性主要由这部分所决定。
归纳起来，若Laurent级数的收敛圆环为r<|z-a|<R，则级数在此圆环内绝对收敛且内闭一致收敛，和函数f(z)在此圆环上全纯。反过来，有
定理2：若函数f(z)在圆环V：r<|z-a|<R\; (0\leqslant r<R<\infty)上全纯，则f(z)在V上有展开式
f(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} c_{n}(z-a)^{n},
其中
c_{n}=\frac{1}{2 \pi \mathrm{i}} \int_{|\zeta-a|=\rho} \frac{f(\zeta)}{(\zeta-a)^{n+1}} \mathrm{~d} \zeta \quad(r<\rho<R).
这种展开式是唯一的，称为f(z)在圆环V上的Laurent展开式，或Laurent级数。
孤立奇点
若函数 f(z) 在点 a 的邻域 B_R(a) \backslash\{a\} 上全纯，则称 a 点为 f(z) 的一个孤立奇点。若 a 为 f(z) 的一个孤立奇点，由定理2，f(z) 在 0<|z-a|<R 上可展开成 Laurent 级数
f(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} c_{n}(z-a)^{n},
而
c_{n}=\frac{1}{2 \pi \mathrm{i}} \int_{|\zeta-a|=\rho} \frac{f(\zeta)}{(\zeta-a)^{n+1}} \mathrm{~d} \zeta \quad(r<\rho<R).
如上一节所说那样，f(z)=\varphi(z)+\psi(z)，这里
\varphi(z)=\sum_{n=0}^{\infty} c_{n}(z-a)^{n}
在|z-a|<R上全纯，为f(z)的Laurent展开式的全纯部分，而
\psi(z)=\sum_{n=1}^{\infty} c_{-n}(z-a)^{-n}
在r<|z-a|<\infty上全纯，为f(z)的Laurent展开式的主要部分。
讨论\displaystyle\lim_{z\to a}f(z)的情形，有下述三种可能：
（1）\displaystyle\lim_{z\to a}f(z)存在且有限，则由Riemann定理（上一章第三节定理9)，f(z)可解析开拓到B_R(a) \backslash\{a\}。因此，\psi中的c_{-n}全为零。反之，若\psi(z)中的c_{-n}全为零，则f(z) =\varphi(z)，而\displaystyle\lim_{z\to a}f(z)=\varphi(a). 故\displaystyle\lim_{z\to a}f(z)存在且有限当且仅当c_{-n}全为零，这时称a为可去奇点。
（2）\displaystyle\lim_{z\to a}f(z)存在且无限，则充要条件为：\psi(z)中的c_{-n}只有有限个不为零，即
\psi(z)=\frac{c_{-1}}{z-a}+\cdots+\frac{c_{-m}}{(z-a)^{m}} \quad\left(c_{-m} \neq 0\right).
而
f(z)=\varphi(z)+\psi(z)=\frac{c_{-m}}{(z-a)^{m}}+\cdots+\frac{c_{-1}}{z-a}+c_{0}+c_{1}(z-a)+\cdots,
即
\displaystyle f(z)=\frac{g(z)}{(z-a)^{m}},\quad g(z)=c_{-m}+c_{-m+1}(z-a)+\cdots \quad\left(c_{-m}=g(a) \neq 0\right),
这时称a为f(z)的一个\boldsymbol{m}阶极点。m = 1时，称为简单极点。
从(1)、(2)立即得到
（3）\displaystyle\lim_{z\to a}f(z)不存在，其充要条件为\psi(z)中的c_{-n}有无穷多个不为零，这时称a为f(z)的本性奇点。
对于本性奇点，有如下重要的：
定理3（Weierstrass定理）：若a为f(z)的本性奇点，任给\delta>0，则对任意有限复数A及正数\varepsilon>0，在0<|z-a|<\delta内有一点z，使得|f(z)-A|<\varepsilon成立，即f(z)在本性奇点的邻域内的取值在\mathbb{C}上是稠密的。
Weierstrass定理十分深刻地刻画了f(z)在一个本性奇点附近的值的分布性质。但1879 年，Picard证明了更为一般、更为深刻的Picard定理：全纯函数在一个本性奇点的邻域内无穷多次地取到每个有限复值，至多除去一个例外值。
以上讨论孤立奇点是有限复数的情形，现在讨论孤立奇点是无穷远点的情形。
若函数f(z)在圆环V:\, R<|z|<\infty\, (R>0)上全纯，z=\infty为f(z)的一个孤立奇点。这时候，作变换\zeta=\frac{1}{z}，将z=\infty的邻域变为\zeta=0的邻域，于是g(\zeta)=f(z)=f(\frac{1}{\zeta})在0<1 \zeta 1<\frac{1}{R}上全纯，且可展开成Laurent级数
g(\zeta)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} c_{-n} \zeta^{n}=\sum_{n=0}^{\infty} c_{-n} \zeta^{n}+\sum_{n=1}^{\infty} c_{n} \zeta^{-n}=\varphi(\zeta)+\psi(\zeta).
\varphi(\zeta) 为 g(\zeta) 的 Laurent 展开式的全纯部分,而 \psi(\zeta) 为 g(\zeta)的Laurent展开式的主要部分。于是
f(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} \frac{c_{-n}}{z^{n}}=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{c_{-n}}{z^{n}}+\sum_{n=1}^{\infty} c_{n} z^{n}=\varphi_{0}(z)+\psi_{0}(z),
其中，\varphi_0(z)为f(z)的Laurent展开式的全纯部分，\psi_0(z)为f(z)的Laurent展开式的主要部分。故
（1）当z=\infty为f(z)的可去奇点时，
f(z)=c_{0}+\frac{c_{-1}}{z}+\frac{c_{-2}}{z^{2}}+\cdots,
（2）当z=\infty为f(z)的m阶极点时，
f(z)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{c_{-n}}{z^{n}}+c_{1} z+c_{2} z^{2}+\cdots+c_{m} z^{m} \quad\left(c_{m} \neq 0\right),
（3）当z=\infty为f(z)的本性奇点时，
f(z)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{c_{-n}}{z^{n}}+\sum_{n=1}^{\infty} c_{n} z^{n}.
整函数与亚纯函数
若函数f(z)除了无穷远点外，在\mathbb{C}上是全纯的，则称f(z)为一个整函数(entire function)。于是，f(z)的Taylor展开式f(z)=\sum_{n=0}^\infty c_n z^n在\mathbb{C}上成立。z=\infty是孤立奇点，由Laurent展开式的唯一性，前面的Taylor展开式也是f(z)在无穷远点的邻域内的Laurent展开式。于是有三种可能：
（1）z=\infty为f(z)的可去奇点，则由Liouville定理（上一章第三节定理8），f(z)为常数。
（2）z=\infty为f(z)的一个m阶极点，则当n>m是c_n=0，即f(z)为一个m次多项式：
f(z)=c_{0}+c_{1} z+c_{2} z^{2}+\cdots+c_{m} z^{m} \quad\left(c_{m} \neq 0\right).
（3）z=\infty为f(z)的一个本性奇点，则
f(z)=c_{0}+c_{1} z+c_{2} z^{2}+\cdots+c_{n} z^{n}+\cdots,
其中c_n(n\geqslant1)有无穷多个不为0，这时称f(z)为超越整函数。例如，\mathrm{e}^z, \sin z, \cos z，等等。
若函数f(z)除了无穷远点外，在\mathbb{C}上只有极点（极点的个数可为有限个，也可为无限个），则称f(z)为一个亚纯函数(meromorphic function) 。整函数是亚纯函数，有理函数f(z)=\frac{P_{n}(z)}{Q_{m}(z)}也是亚纯函数，其中，P_n(z), Q_m(z)为两个既约多项式：
\begin{gathered}
P_{n}(z)=a_{0}+a_{1} z+\cdots+a_{n} z^{n} \quad\left(a_{n} \neq 0\right),\\
Q_{m}(z)=b_{0}+b_{1} z+\cdots+b_{m} z^{m} \quad\left(b_{m} \neq 0\right).
\end{gathered}
Q_m(z)的零点是f(z)的零点，由于
f(z)=\frac{1}{z^{m-n}} \frac{a_{n}+\frac{a_{n-1}}{z}+\cdots+\frac{a_{0}}{z^{n}}}{b_{m}+\frac{b_{m-1}}{z}+\cdots+\frac{b_{0}}{z^{m}}},
所以
\lim _{z \rightarrow \infty} f(z)=\left\{\begin{array}{ll}\dfrac{a_{n}}{b_{m}},&m=n, \\ \infty,&n>m, \\ 0,&n<m,\end{array}\right.
即z = \infty或者是f(z)的可去奇点，或者是极点。
反过来，有如下的：
定理4：若z=\infty为亚纯函数f(z)的可去奇点或极点，则f(z)必为有理函数。
除去有理函数外的亚纯函数称为超越亚纯函数。超越亚纯函数或以z=\infty为本性奇点，或以z=\infty为它的极点的极限点。
上一章第五节中已经给出了单位圆的全纯自同构群（定理18），现在可以定出复平面\mathbb{C}及扩充复平面\mathbb{C}^*（即\mathbb{C}加上无穷远点\infty），也即Riemann球S^2的自同构群。
先是复平面\mathbb{C}的全纯自同构群\operatorname{Aut}(\mathbb{C}). \operatorname{Aut}(\mathbb{C})有所有的整线性变换\{a z+b \mid a, b \in C, a \neq 0\}所组成的，即\operatorname{Aut}(\mathbb{C})是由平移(translation)\alpha(z)=z+b及伸缩(dilation)\alpha(z)=az的复合所组成的。
再看\mathbb{C}^\ast，即扩充复平面的亚纯自同构群\operatorname{Aut}(\mathbb{C}^\ast). \operatorname{Aut}\left(\mathbb{C}^{\ast}\right) 是由所有分式线性变换 \left\{\frac{a z+b}{c z+d} \mid a d-b c=1\right\}所组成的。即\operatorname{Aut}(\mathbb{C}^\ast)是由平移\alpha(z)=z+b、伸缩\alpha(z)=az以及反演\alpha(z)=1/z的复合所组成的。
在复分析中有如下一条十分重要的定理：
单值化定理（Poincaré-Koebe定理）：任意单连通的Riemann曲面一定一对一地全纯等价于下列三个区域之一：单位圆，复平面\mathbb{C}，扩充复平面\mathbb{C}^*（即Riemann球面S^2).
Riemann曲面的意义将在下一章中叙述。由上述的结果及上一章第五节中的定理18，给出了上述三种域的自同构群，即定出了所有与单连通Riemann曲面一对一全纯等价的域的自同构群。在下一章中还有重要的Riemann映射定理：任意边界点至少有两点的单连通区域一定一对一地全纯等价于单位圆。故在一对一全纯等价的意义下，单连通区域只有这三个。有机会则讨论。
可以这样说：Poincaré-Koebe单值化定理是复分析中最重要和最美好的定理之一。
Weierstrass因子分解定理、Mittag-Leffler定理与插值定理
这一节的内容是三个构造性定理。
由于整函数除了无穷远点外是全纯的，故可以用上一章第三节中的Taylor级数来表达。由上一节，若z=\infty为整函数的极点，则f(z)就是一个多项式，因此整函数可以看成多项式的自然推广，是无穷多次阶的多项式。对于多项式，一个明确的表达式是用它的根（即零点）来表达。如a_{1}, \cdots, a_{n}为n次多项式P_n (z)的根，则P_n (z)可以表为A\left(z-a_{1}\right) \cdots\left(z-a_{n}\right)，这里，A为复常数。这个表达式称为P_n (z)的因子分解。对超越整函数，是否也可以因子分解，即如果a_{1}, \cdots, a_{n},\dots为整函数的无穷多个零点，是否可将此函数表示为A\left(z-a_{1}\right) \cdots\left(z-a_{n}\right)\dots=A \prod_{i=1}^{\infty}\left(z-a_{i}\right)？由于乘积是无穷乘积，就有个收敛的问题，故不能这样简单地从事。这个问题的正确回答是Weierstrass因子分解定理。对无穷乘积，若\sum_{n=1}^{\infty}\left|u_{n}\right|收敛，则称\prod_{n=1}^{\infty}\left(1+u_{n}\right)绝对收敛（注意到\sum_{n=1}^{\infty}\left|u_{n}\right| 与 \prod_{n=1}^{\infty}\left(1+\left|u_{n}\right|\right)同时收敛或同时发散），于是：绝对收敛的无穷乘积一定收敛，且绝对收敛的无穷乘积可以改变因子的顺序而不影响无穷乘积的值。
现在来讨论整函数的因子分解。
若整函数f(z)无零点，则存在整函数\varphi(z)，使得f(z) = \mathrm{e}^{\varphi(z)}. 事实上，只要首先注意到函数f'(z)/f(z)在整个平面上解析，它是一个整函数，则\psi(z)=\int_0^z \frac{f'(\zeta)}{f(\zeta)}\mathrm{~d}\zeta也是整函数，而f(z) \mathrm{e}^{-\psi(z)}的复导数恒等于零。故f(z)=\mathrm{e}^{\varphi(z)}.
若f(z)是一个只有有限个零点的整函数，0, a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}\left(a_{i} \neq 0\; (i=1, \cdots,n)\right)是f(z)的零点，其阶分别为m,m_1,\dots,m_n，令
p(z)=z^{m}\left(1-\frac{z}{a_{1}}\right)^{m_{1}} \cdots\left(1-\frac{z}{a_{n}}\right)^{m_{n}},
则h(z)=\frac{f(z)}{p(z)}以z=0,a_i\, (i=1,\dots,n)为可去奇点，故h(z)为没有零点的整函数。于是h(z)=\mathrm{e}^{\psi(z)},\, \psi(z)为整函数。因此，f(z)可表为
f(z)=z^{m}\left(1-\frac{z}{a_{1}}\right)^{m_{1}} \cdots\left(1-\frac{z}{a_{n}}\right)^{m_{n}} \mathrm{e}^{\psi(z)},
即f(z)可表为一个多项式及一个无零点的整函数的乘积，而此多项式以f(z)的零点为零点，且阶相同。
若整函数f(z)有无穷多个零点且不恒等于零，由于f(z)的零点可列，可将f(z)的零点按模的大小排列成一个序列(z = 0除外，将另做处理）a_1,a_2,\dots,a_n,\dots，则有
0<\left|a_{n}\right| \leqslant\left|a_{n+1}\right|, \quad \lim _{n \rightarrow \infty}\left|a_{n}\right|=\infty.
这是因为若零点有界，则可从中选出收敛子列，由连续性聚点还是零点，这不可能。
定理5（Weierstrass因子分解定理）：若f(z)为一整函数，z=0为f(z)的m重零点（m也可以为零），其余零点为a_ {1}, a_ {2}, \cdots\left(0<\left|a_ {n}\right| \leqslant\left|a_ {n+1}\right|,\, \lim _ {n \rightarrow \infty}\left|a_ {n}\right|=\infty\right). 对任意的R>0，任取非负整数数列k_1,k_2,\dots,k_n,\dots，使得\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{R}{\left|a_ {n}\right|}\right)^{k_ {n}+1}收敛，则f(z)可表为
f(z)=z^{m} \mathrm{e}^{h(z)} \prod_{n=1}^{\infty}\left(1-\frac{z}{a_{n}}\right) \mathrm{e}^{P_{n}(z)},
其中h(z)为一整函数，\mathrm{e}^{P_1(z)}=1，而
P_{n}(z)=\frac{z}{a_{n}}+\frac{1}{2}\left(\frac{z}{a_{n}}\right)^{2}+\cdots+\frac{1}{k_{n}}\left(\frac{z}{a_{n}}\right)^{k_{n}} \quad(n \geqslant 2).
显然，可取k_n=n-1，则
f(z)=z^{m} \mathrm{e}^{h(z)} \prod_{n=1}^{\infty}\left(1-\frac{z}{a_{n}}\right) \exp \left\{\frac{z}{a_{n}}+\frac{1}{2}\left(\frac{z}{a_{n}}\right)^{2}+\cdots+\frac{1}{n-1}\left(\frac{z}{a_{n}}\right)^{n-1}\right\}.
由于g(z)不唯一，故f(z)的表达式也不唯一。
对于亚纯函数，可以有怎样的表达式？首先，从上述定理的证明中可得：
任意亚纯函数可以表为两个整函数之比。
由于任意亚纯函数可以表成两个整函数之比，而由Weierstrass因子分解定理，每个整函数可以表成定理中分解式的形式，故每个亚纯函数可表为两个形如定理中分解式的式子的商。这时，这个亚纯函数可以用它的零点及极点明确地表示。
此外，在上一节中已知，如果一个亚纯函数f(z)只有有限多个极点a_1,a_2,\dots,a_n，且z=\infty是它的极点或可去奇点，则f(z)为有理函数，并且有
f(z)=c+p(z)+\sum_{j=1}^{n} \psi_{j}(z),
这里，c为常数，p(z)为多项式，\psi_j(z)为极点z=a_j的主要部分（定理4）。
对于一个超越亚纯函数f(z)，z=\infty或者是它的本性奇点，或是它的极点的极限点。若z=\infty是f(z)的本性奇点，则f(z)的极点仍为有限多个，故U(z) =
f(z)-\sum_{j=1}^{n} \psi_{j}(z)是一个超越整函数，因此
f(z) = U(z)+\sum_{j=1}^{n} \psi_{j}(z).
若z=\infty是f(z)的极点的极限点，这些极点是a_1,a_2,\dots,a_n,\dots. 按模的大小排列起来，则有0<\left|a_ {n}\right| \leqslant\left|a_ {n+1}\right|,\, \lim _ {n \rightarrow \infty}\left|a_ {n}\right|=\infty. 在a_j点，其主要部分为\psi_j(z)也是已给的。是否存在亚纯函数f(z)，以a_1,a_2,\dots,a_n,\dots为其极点，而以\psi_1(z),\psi_2(z),\dots,\psi_n(z),\dots为相应的主要部分？于是有
定理6（Mittag-Leffler定理）：存在这样的亚纯函数，以a_1,a_2,\dots,a_n,\dots\, (0<\left|a_ {n}\right| \leqslant\left|a_ {n+1}\right|,\, \lim _ {n \rightarrow \infty}\left|a_ {n}\right|=\infty)为其极点，而以\psi_1(z),\psi_2(z),\dots,\psi_n(z),\dots为相应的主要部分。
用\bar\partial-问题的解来证明Mittag-Leffler定理，干净利索。但如用古典复分析的办法来证，可以将所得的亚纯函数写得更清楚。
定理6'（Mittag-Leffler定理）：设f(z)为亚纯函数，a_n\; (n=1,2,\dots)为f(z)的极点，且\left|a_ {n}\right| \leqslant\left|a_ {n+1}\right|,\, \lim _ {n \rightarrow \infty}\left|a_ {n}\right|=\infty，则f(z)可写成
f(z)=U(z)+\sum_{n=1}^{\infty}\left[\Psi_{n}(z)-P_{n}(z)\right],
这里，\Psi_n(z)为f(z)在极点z=a_n处的主要部分，P_n(z)\; (n=1,2,\dots)为多项式，U(z)为整函数。
若已给m个点z_1,z_2,\dots,z_m及m个复数值a_1,a_2,\dots,a_m，一定可以找到一个多项式p(z)，使得p(z)在z_j的值等于a_j\, (j = 1, 2,\dots, m). 这只要从m个方程p(z_i) =a_j\, (j = 1, 2,\dots, m)中解出p(z)的系数来即可。同样，若已给m个点z_1,z_2,\dots,z_m及复数值a_{j, k}\left(j=1, \cdots, m ; 0 \leqslant k \leqslant n_{j}-1\right)，这里n_j为正整数，则可以找到多项式p(z)，使得\frac{p^{(k)}\left(z_{j}\right)}{k !}=a_{j, k}，也就是可以找到多项式p(z)，使得p(z)在点z_j上的Taylor展开式的开始n_j项是所给定的多项式，下面给出一个十分一般的插值(interpolation)定理。
定理7(插值定理）：若z_1,z_2,\dots为\mathbb{C}中的离散点集，n_1,n_2,\dots为一个正整数序列，a_{j, k}\left(j\geqslant1 ; 0 \leqslant k \leqslant n_{j}-1\right)为复数序列，则一定存在一个整函数g(z)，使得
g^{(k)}\left(z_{j}\right)=k ! a_{j, k} \quad\left(j \geqslant 1 ; 0 \leqslant k \leqslant n_{j}-1\right).
即：如果预先给定一个点列\{z_j\}及每一点z_j上的Taylor展开式的开始n_j项，则一定存在一个整函数，在这些点上，有这样的Taylor展开式。
任给一个幂级数，未必能找到一个整函数，它的Taylor级数就是已给的幂级数。但定理7告诉我们，任给一个n次多项式，不论n多大（要紧的是n有限），一定能找到一个整函数，它的Taylor级数的开始n次多项式就是已给的这n次多项式。这显示了多项式与整函数之间的根本差别。因此，定理7是一条很深刻的定理。
留数定理
若函数f(z)在B_r(a)\backslash \{a\}\; (r>0)上全纯，a为f(z)的孤立奇点，f(z)在点a的留数定义为
\operatorname{Res}(f, a)=\frac{1}{2 \pi \mathrm{i}} \int_{|z-a|=\rho} f(z) \mathrm{d} z,
这里，0<\rho<r. 由于f(z)在B_r(a)\backslash \{a\}上可展开成Laurent级数f(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} c_{n}(z-a)^{n}，故\operatorname{Res}(f, a)=c_{-1}.
若z=\infty为f(z)的孤立奇点，f(z)在R<|z|<\infty内全纯，定义f(z)在z=\infty内的留数为
\operatorname{Res}(f, \infty)=-\frac{1}{2 \pi \mathrm{i}} \int_{|z|=\rho} f(z) \mathrm{d} z,
这里，R<\rho<\infty. 由于f(z)在z = \infty的邻域内可展开成Laurent级数f(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} c_{n}(z-a)^{n}，故\operatorname{Res}(f, \infty)=-c_{-1}.
若a\; (a\neq\infty)为f(z)的m阶极点，则
\operatorname{Res}(f, a)=\frac{1}{(m-1) !} \lim _{z \rightarrow a} \frac{\mathrm{d}^{m-1}}{\mathrm{~d} z^{m-1}}\left[(z-a)^{m} f(z)\right].
特别地，当m=1时，
\operatorname{Res}(f, a)=g(a)=\lim _{z \rightarrow a}(z-a) f(z).
对于无穷远点的留数，简单变换可知
\operatorname{Res}(f(z), \infty)=-\operatorname{Res}\left(\frac{1}{z^2}f\left(\frac{1}{z}\right), 0\right).
若\infty是m阶极点，则
\operatorname{Res}(f, \infty)=\frac{(-1)^{m}}{(m+1) !} \lim _{x \rightarrow \infty} z^{m+2} f^{(m+1)}(z).
可把可去奇点看作0阶极点，那么m=0时有\operatorname{Res}(f, \infty)=\lim _{x \rightarrow \infty} z^{2} f^{\prime}(z). 又若f(\infty)=0，则\operatorname{Res}(f, \infty)=-\lim _{x \rightarrow \infty} z f(z).
定理8（留数定理）：若f(z)在域U\subseteq\mathbb{C}上除去z_1,z_2,\dots,z_n之外是全纯的，且f(z)在\overline{U}上除去z_1,z_2,\dots,z_n之外是连续的，\partial U为可求长简单闭曲线，则
\int_{\partial U} f(z) \mathrm{d} z=2 \pi \mathrm{i} \sum_{k=1}^{n} \operatorname{Res}\left(f, z_{k}\right).
定理8'（留数定理）：若f(z)在\mathbb{C}^*上除去z_1,z_2,\dots,z_n,\infty之外是全纯的，z_1,z_2,\dots,z_n,\infty是f(z)的孤立奇点，则f(z)在所有这些孤立奇点的留数之和为零，即
\sum_{k=1}^{n} \operatorname{Res}\left(f, z_{k}\right)+\operatorname{Res}(f, \infty)=0.
这两条定理的证明是显然的，只要用Cauchy积分定理，立即可得。
留数定理本身是十分简单的，重要的是可以用它来计算一些定积分的值，而这些定积分的被积函数的原函数往往是求不出来的。用留数定理求定积分有种种技巧，如函数f(z)的选取，积分路线的选取等等。这里不拟对各种类型的实定积分进行一一的讨论与举例，因为这要占用不少篇幅，好在在一般的教科书上都能找到。
解析开拓
若f(z)在域U\subseteq\mathbb{C}上全纯。如果存在一个包含U的域G，有函数F(z)在G上全纯，且在U上F(z) = f(z)，则称f(z)可解析开拓（或全纯开拓）到G\backslash U. 由全纯函数的唯一性定理，如果在G内F存在，则是唯一的。同样，如果f_1(z),f_2(z)分别在域U_1,U_2从上全纯，且U_{1} \cap U_{2}=U_{3} \neq \varnothing，而在U_3上f_1＝ f_2，则在U=U_1\cup U_2上定义
f(z)=\begin{cases}
f_1(z),& z\in U_1\\
f_2(z),& z\in U_2.
\end{cases}
于是f在U上全纯，称f_1,f_2互为解析开拓。
最自然、最重要的解析开拓的方法是用幂级数来进行解析开拓。由Abel定理，一个幂级数
a_{0}+a_{1} z+\cdots+a_{n} z^{n}+\cdots
存在一个收敛半径R，在|z|<R内级数绝对收敛且内闭一致收敛。故这是一个全纯函数，记作f(z). 如果z_0\in B_R(0)，则f(z)可以在z=z_0处展开成Taylor级数
f(z)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}\left(z_{0}\right)}{n !}\left(z-z_{0}\right)^{n}.
若其收敛半径为\rho，则\rho\geqslant R-|z_0|. 如果\rho> R-|z_0|，则B_{\rho}(z_0)有一部分在B_R(0)外，于是f(z)可解析开拓到B_{\rho}(z_0)\backslash B_R(0)上去。若\rho= R-|z_0|，则B_{\rho}(z_0)与B_R(0)相切，设其切点为\zeta_0. 可以看出，f(z)不能于\zeta_0处解析开拓出去，称\zeta_0为f(z)的一个奇点。
如果R是幂级数的收敛半径，则一定在|z|=R即收敛圆周上至少有f(z)的一个奇点。下面这个著名的例子说明有这样的幂级数，它的收敛圆周上每一点都是奇点。
例：设f(z)=\sum_{n=0}^{\infty} z^{n !}，则f(z)的收敛圆周上的每一点都是奇点。
一个函数称为在一点z_0附近是解析的（或全纯的），如果这个函数在这个点附近可以展开成收敛幂级数，这是函数局部解析（或局部全纯）的定义。这个定义与之前的定义是一致的。有了解析开拓的概念后，可以定义整体解析（或整体全纯）函数。
从一个局部全纯函数f(z)=\sum_{n=0}^{\infty} c_{n}(z-a)^{n}出发，如其收敛半径为R，若a_1\in B_R(a)，则得另一个幂级数
f_{1}(z)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}\left(a_{1}\right)}{n !}\left(z-a_{1}\right)^{n},
其收敛半径为R_1\geqslant R-|a-a_1|>0. 称全纯函数f_1(z),f_2(z)为解析元素，而f_1(z)为f(z)的解析开拓．如有m个解析元素f_{k}(z)=\sum_{n=0}^{\infty} c_{n}^{(k)}\left(z-a_{k}\right)^{n}(k=1,\dots,m), f_k是f_{k-1}的解析开拓，则f_m也是f的解析开拓。将所有由f(z)出发的解析开拓得到的解析元素的全体组成一个集合，这个集合称为整体解析（整体全纯）函数(global analytic function).
完全解析（完全全纯）函数(complete analytic function) 是一个整体解析函数包含有其中任何一个解析元素的所有解析开拓。一般来说，这是一个多值函数。所有解析开拓所对应的收敛圆之和称为完全解析函数的存在域。这当然不能再开拓出去。因此，存在域的边界点都是完全解析函数的奇点。
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